From bcee37a8dda3ced1c09a671ddf321352bbc284e9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sun, 13 Nov 2022 11:43:52 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BE=D1=82=D1=87=D1=91=D1=82=D1=8B=20=D0=BF=D0=BE=201,=203?=
 =?UTF-8?q?,=204,=206=20=D0=B8=207=20=D0=BB=D0=B0=D0=B1=D0=B0=D0=BC?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 reports/lab1/lab1.tex | 115 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 115 insertions(+)
 create mode 100644 reports/lab1/lab1.tex

(limited to 'reports/lab1/lab1.tex')

diff --git a/reports/lab1/lab1.tex b/reports/lab1/lab1.tex
new file mode 100644
index 0000000..f7bd293
--- /dev/null
+++ b/reports/lab1/lab1.tex
@@ -0,0 +1,115 @@
+\documentclass[a4paper,oneside]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{amsthm}
+
+\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
+\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
+
+% --- Определение --- %
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
+\newtheorem*{definition*}{Определение}
+% ------------------- %
+
+\date{}
+
+
+\title{Криптографические методы защиты информации, Лабораторная работа №1}
+\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа, 2 вариант}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{definition*}
+    Группой называется пара $<G, \cdot>$, где $G$ – непустое множество, а
+    $\cdot$ – бинарная операция, удовлетворяющая следующим трём аксиомам:
+    \begin{enumerate}
+        \item Ассоциативность
+        \item Существование единичного (нейтрального) элемента
+        \item Существование обратного элемента
+    \end{enumerate}
+\end{definition*}
+
+Поле является алгебраической структурой с двумя бинарными операциями
+– операцией сложения и операцией умножения. Поскольку, для элементов
+поля по каждой из этих операций существует обратный элемент, то в поле
+определены 4 арифметических операции – сложение, вычитание, умножение
+и деление.
+
+Простейшее поле состоит ровно из p элементов, где $p$-произвольное простое
+число, включая $p = 2$:
+\begin{equation*}
+    F_p = \{ 0, 1, 2, \dots, p - 1 \}
+\end{equation*}
+
+Полем называется алгебраическая структура $<F, +, \cdot>$, состоящая
+из непустого множества и двух бинарных операция. Поле является группой
+по сложению и группой по умножению (обратный элемент по умножению
+рассматривается для ненулевых элементов), связанных аксиомами дистрибутивности $(\forall a, b, c \in F)$.
+
+*Определение*. Порядком элемента $a$ группы $G$ (обозначается
+$ord_G(a)$) называется наименьшее число $k$ такое, что $a^k =
+1$. Порядком группы называется число ее элементов.
+
+Порядком (по умножению) ненулевого элемента $a$ поля $F_p$ называется
+наименьшая степень $t$ такая, что выполняется условие
+\begin{equation*}
+    a^t \pmod p = 1
+\end{equation*}
+
+\begin{theorem*}[Лагранжа]
+    Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка
+    группы.
+\end{theorem*}
+
+Элемент $a \in G$ называется \textit{примитивным} элементом или
+генератором группы, если его порядок $ord_G(a)$ равен порядку
+группы. Не любая группа имеет генератор. Группа, в которой есть
+генератор, порождается одним элементом и называется циклической.
+
+Проверим, что 2 является порождающим элементом простого конечного поля
+$F_{29}$
+\begin{align*}
+    2^{1} &= 2 \pmod {29} = 2 \\
+    2^{2} &= 2 \cdot 2 \pmod {29} = 4 \\
+    2^{3} &= 4 \cdot 2 \pmod {29} = 8 \\
+    2^{4} &= 8 \cdot 2 \pmod {29} = 16 \\
+    2^{5} &= 16 \cdot 2 \pmod {29} = 3 \\
+    2^{6} &= 3 \cdot 2 \pmod {29} = 6 \\
+    2^{7} &= 6 \cdot 2 \pmod {29} = 12 \\
+    2^{8} &= 12 \cdot 2 \pmod {29} = 24 \\
+    2^{9} &= 24 \cdot 2 \pmod {29} = 19 \\
+    2^{10} &= 19 \cdot 2 \pmod {29} = 9 \\
+    2^{11} &= 9 \cdot 2 \pmod {29} = 18 \\
+    2^{12} &= 18 \cdot 2 \pmod {29} = 7 \\
+    2^{13} &= 7 \cdot 2 \pmod {29} = 14 \\
+    2^{14} &= 14 \cdot 2 \pmod {29} = 28 \\
+    2^{15} &= 28 \cdot 2 \pmod {29} = 27 \\
+    2^{16} &= 27 \cdot 2 \pmod {29} = 25 \\
+    2^{17} &= 25 \cdot 2 \pmod {29} = 21 \\
+    2^{18} &= 21 \cdot 2 \pmod {29} = 13 \\
+    2^{19} &= 13 \cdot 2 \pmod {29} = 26 \\
+    2^{20} &= 26 \cdot 2 \pmod {29} = 23 \\
+    2^{21} &= 23 \cdot 2 \pmod {29} = 17 \\
+    2^{22} &= 17 \cdot 2 \pmod {29} = 5 \\
+    2^{23} &= 5 \cdot 2 \pmod {29} = 10 \\
+    2^{24} &= 10 \cdot 2 \pmod {29} = 20 \\
+    2^{25} &= 20 \cdot 2 \pmod {29} = 11 \\
+    2^{26} &= 11 \cdot 2 \pmod {29} = 22 \\
+    2^{27} &= 22 \cdot 2 \pmod {29} = 15 \\
+    2^{28} &= 15 \cdot 2 \pmod {29} = 1
+\end{align*}
+
+Порядок элемента 2 в поле $F_{29}$ равно 28 (то есть $p - 1$), таким
+образом число 2 является порождающим элементом конечного поля
+$F_{29}$.
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

