From bcee37a8dda3ced1c09a671ddf321352bbc284e9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sun, 13 Nov 2022 11:43:52 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BE=D1=82=D1=87=D1=91=D1=82=D1=8B=20=D0=BF=D0=BE=201,=203?=
 =?UTF-8?q?,=204,=206=20=D0=B8=207=20=D0=BB=D0=B0=D0=B1=D0=B0=D0=BC?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 reports/lab4/lab4.tex | 85 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 85 insertions(+)
 create mode 100644 reports/lab4/lab4.tex

(limited to 'reports/lab4/lab4.tex')

diff --git a/reports/lab4/lab4.tex b/reports/lab4/lab4.tex
new file mode 100644
index 0000000..65665bf
--- /dev/null
+++ b/reports/lab4/lab4.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+\documentclass[a4paper,oneside]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{minted}
+\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{float}
+
+\newtheorem{theorem}{Теорема}
+\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
+
+% --- Определение --- %
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Определение}
+\newtheorem*{definition*}{Определение}
+% ------------------- %
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem*{example}{Пример}
+
+
+\title{{Криптографические методы защиты информации}\\{Лабораторная работа №4}}
+\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа, 2 вариант}
+\date{\the\year{} г.}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\begin{theorem}[Безу]
+  Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $P(a)$.
+  \label{thm:bezout}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+  Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на двучлен $x - a$:
+  \begin{equation*}
+    P(x)=(x - a) \cdot Q(x) + R(x)
+  \end{equation*}
+  где $R(x)$ --- остаток. Так как $\deg R(x) < \deg(x - a) = 1$, то $R(x)$
+  --- многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за $r$.
+  Подставляя $x = a$, поскольку $(a-a) \cdot Q(a) = 0$, имеем $P(a) = R(x) = r$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+  Многочлен степени $\leq 3$ неприводим над полем $F$ $\iff$ он не имеет корней
+  в поле $F$.
+  \label{thm:irreducibility}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+  Если многочлен $f$ неприводим над $F$, то по теореме \ref{thm:bezout} он не
+  имеет корней в поле $F$. Обратно, если $f$ приводим над $F$ и его степень 2
+  или 3, то он имеет линейный делитель над $F$, следовательно, он имеет корень в
+  $F$.
+\end{proof}
+
+% \begin{example}
+%   % Пример с приводимым многочленом <= 3
+% \end{example}
+
+% \begin{example}
+%   % Пример с неприводимым многочленом <= 3
+% \end{example}
+
+\begin{example}
+  Теорема \ref{thm:irreducibility} для многочленов степени $n \geq 4$ в общем
+  случае неверна. $x^4 + x^2 + 1$ не имеет корней в поле $F_{11}$, но имеет
+  разложение
+  \begin{align*}
+    (x^2 + x + 1) \cdot (x^2 + 10x + 1) &=
+    x^4 + 10x^3 + x^2 + x^3 + 10x^2 + x + x^2 + 10x + 1 = \\
+    &= x^4 + 11x^3 + 12x^2 + 11x + 1 = \\
+    &= x^4 + 0x^3 + 1x^2 + 0x + 1 = \\
+    &= x^4 + x^2 + 1
+  \end{align*}
+\end{example}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

