\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{example}{Пример}


\title{{Криптографические методы защиты информации}\\{Лабораторная работа №4}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа, 2 вариант}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}
\maketitle

\begin{theorem}[Безу]
  Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $P(a)$.
  \label{thm:bezout}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на двучлен $x - a$:
  \begin{equation*}
    P(x)=(x - a) \cdot Q(x) + R(x)
  \end{equation*}
  где $R(x)$ --- остаток. Так как $\deg R(x) < \deg(x - a) = 1$, то $R(x)$
  --- многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за $r$.
  Подставляя $x = a$, поскольку $(a-a) \cdot Q(a) = 0$, имеем $P(a) = R(x) = r$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Многочлен степени $\leq 3$ неприводим над полем $F$ $\iff$ он не имеет корней
  в поле $F$.
  \label{thm:irreducibility}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Если многочлен $f$ неприводим над $F$, то по теореме \ref{thm:bezout} он не
  имеет корней в поле $F$. Обратно, если $f$ приводим над $F$ и его степень 2
  или 3, то он имеет линейный делитель над $F$, следовательно, он имеет корень в
  $F$.
\end{proof}

% \begin{example}
%   % Пример с приводимым многочленом <= 3
% \end{example}

% \begin{example}
%   % Пример с неприводимым многочленом <= 3
% \end{example}

\begin{example}
  Теорема \ref{thm:irreducibility} для многочленов степени $n \geq 4$ в общем
  случае неверна. $x^4 + x^2 + 1$ не имеет корней в поле $F_{11}$, но имеет
  разложение
  \begin{align*}
    (x^2 + x + 1) \cdot (x^2 + 10x + 1) &=
    x^4 + 10x^3 + x^2 + x^3 + 10x^2 + x + x^2 + 10x + 1 = \\
    &= x^4 + 11x^3 + 12x^2 + 11x + 1 = \\
    &= x^4 + 0x^3 + 1x^2 + 0x + 1 = \\
    &= x^4 + x^2 + 1
  \end{align*}
\end{example}

\end{document}