diff options
| -rw-r--r-- | refmat/SCWorks.cls | 915 | ||||
| -rw-r--r-- | refmat/img/geomsmisel.png | bin | 0 -> 20717 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/img5.png | bin | 0 -> 9558 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/img6.png | bin | 0 -> 24131 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/img7.png | bin | 0 -> 11381 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/parS.png | bin | 0 -> 19052 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/polarS.png | bin | 0 -> 25099 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/img/rectS.png | bin | 0 -> 17301 bytes | |||
| -rw-r--r-- | refmat/refmat.tex | 384 |
9 files changed, 1299 insertions, 0 deletions
diff --git a/refmat/SCWorks.cls b/refmat/SCWorks.cls new file mode 100644 index 0000000..9ff59a5 --- /dev/null +++ b/refmat/SCWorks.cls @@ -0,0 +1,915 @@ +\LoadClass[14pt]{extarticle}
+%\RequirePackage[14pt]{extsizes}
+\RequirePackage[
+ a4paper, mag=1000,
+ left=2.5cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2cm, bindingoffset=0cm,
+ headheight=0cm, footskip=1cm, headsep=0cm
+ ]{geometry}
+\RequirePackage{setspace}
+\RequirePackage{calc}
+\RequirePackage{titlesec}
+\RequirePackage{titletoc}
+\RequirePackage{caption}
+\RequirePackage{graphicx}
+\RequirePackage[inline]{enumitem}
+
+
+
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Input data
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\def\chair#1{\gdef\@chair{#1}}\chair{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\worktype#1{\gdef\@worktype{#1}}
+\def\worktitle{\@title}
+\def\typework#1{\gdef\@typework{#1}}
+\def\disserform#1{\gdef\@disserform{#1}}
+\def\disserformP#1{\gdef\@disserformP{#1}}
+\def\disserformR#1{\gdef\@disserformR{#1}}
+\def\disserformV#1{\gdef\@disserformV{#1}}
+\def\course#1{\gdef\@course{#1}}\course{2}
+\def\group#1{\gdef\@group{#1}}\group{211}
+\def\department#1{\gdef\@department{#1}}\department{\cyr\cyrf\cyra\cyrk%
+\cyru\cyrl\cyrsftsn\cyrt\cyre\cyrt\cyra\ \CYRK\CYRN\cyri\CYRI\CYRT}
+\def\otdelenie#1{\gdef\@otdelenie{#1}}
+\def\studentName{\@author}
+%\def\studentName#1{\gdef\@studentName{#1}}
+\def\satitle#1{\gdef\@satitle{#1}}\satitle{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\saname#1{\gdef\@saname{#1}}\saname{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\critictitle#1{\gdef\@critictitle{#1}}\critictitle{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\criticname#1{\gdef\@criticname{#1}}\criticname{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\secrname#1{\gdef\@secrname{#1}}\secrname{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\chtitle#1{\gdef\@chtitle{#1}}\chtitle{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\chname#1{\gdef\@chname{#1}}\chname{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+%\def\year#1{\gdef\@year{#1}}
+\def\spectype#1{\gdef\@spectype{#1}}
+\def\spectyperod#1{\gdef\@spectyperod{#1}}
+\def\workform#1{\gdef\@workform{#1}}
+\def\practtype#1{\gdef\@practtype{#1}}\practtype{\cyr\cyru\cyrch\cyre\cyrb%
+\cyrn\cyra\cyrya}
+\def\term#1{\gdef\@term{#1}}\term{2}
+\def\duration#1{\gdef\@duration{#1}}\duration{2}
+\def\protnum#1{\gdef\@protnum{#1}}\protnum{\hbox to 1cm{\hrulefill}}
+\def\protdate#1{\gdef\@protdate{#1}}\protdate{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\practStart#1{\gdef\@practStart{#1}}\practStart{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\practFinish#1{\gdef\@practFinish{#1}}\practFinish{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\reviewtype#1{\gdef\@reviewtype{#1}}\reviewtype{\CYRO\CYRT%
+\CYRZ\CYRERY\CYRV}
+
+\def\patitle#1{\gdef\@patitle{#1}}\patitle{\@satitle}
+\def\paname#1{\gdef\@paname{#1}}\paname{\@saname}
+
+\def\napravlenie#1{\gdef\@napravlenie{#1}}\napravlenie{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+\def\Napravlenie{\@napravlenie}
+
+
+\def\studenttitle#1{\gdef\@studenttitle{#1}}\studenttitle{\cyr\cyrs\cyrt%
+\cyru\cyrd\cyre\cyrn\cyrt\cyra}
+\def\studentdone#1{\gdef\@studentdone{#1}}\studentdone{\cyrp\cyrr\cyro%
+\cyrsh\cyre\cyrd\cyrsh\cyre\cyrg\cyro}
+\def\studentfemale{\studenttitle{\cyrs\cyrt\cyru\cyrd\cyre\cyrn\cyrt%
+\cyrk\cyri}\studentdone{\cyrp\cyrr\cyro\cyrsh\cyre\cyrd\cyrsh%
+\cyre\cyrishrt}}
+
+%\newcommand{\MakeTitle}{}
+
+\def\workname#1{\gdef\@workname{#1}}
+
+%\hbox to 3cm{\hrulefill}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+\newcommand{\signature}[2]{
+\hbox to 7cm{#1\hfill} \hbox to 3cm{\hrulefill} \hbox to 6cm{\hfill #2}}
+
+\newcommand{\inlinesignature}[2]{%
+#1\qquad \hbox to 3cm{\hrulefill}\quad #2}
+
+
+\newcommand{\signatureline}{}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\scaleUnivName}{0.97}
+
+\DeclareOption{times}{%
+ \renewcommand{\rmdefault}{ftm}
+ \renewcommand{\scaleUnivName}{1.0}
+}
+
+\DeclareOption{spec}{%
+ \spectype{\cyr\cyrs\cyrp\cyre\cyrc\cyri\cyra\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro%
+ \cyrs\cyrt\cyri}
+ \spectyperod{\cyrs\cyrp\cyre\cyrc\cyri\cyra\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro%
+ \cyrs\cyrt\cyri}
+ \workform{\cyr\CYRS\CYRP\CYRE\CYRC\CYRI\CYRA\CYRL\CYRI\CYRS\CYRT\CYRA}
+ \disserform{\CYRD\CYRI\CYRP\CYRL\CYRO\CYRM\CYRN\CYRA\CYRYA\ \CYRR\CYRA%
+ \CYRB\CYRO\CYRT\CYRA}
+ \disserformP{\CYRD\CYRI\CYRP\CYRL\CYRO\CYRM\CYRN\CYRO\CYRISHRT\ \CYRR%
+ \CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRE}
+ \disserformR{\CYRD\CYRI\CYRP\CYRL\CYRO\CYRM\CYRN\CYRO\CYRISHRT\ \CYRR%
+ \CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRERY}
+ \disserformV{\CYRD\CYRI\CYRP\CYRL\CYRO\CYRM\CYRN\CYRU\CYRYU\ \CYRR\CYRA%
+ \CYRB\CYRO\CYRT\CYRU}
+}
+
+\DeclareOption{bachelor}{%
+ \spectype{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyrr\cyra\cyrv\cyrl\cyre\cyrn\cyri\cyrya}
+ \spectyperod{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyrr\cyra\cyrv\cyrl\cyre\cyrn\cyri \cyryu}
+ \workform{\cyr\CYRB\CYRA\CYRK\CYRA\CYRL\CYRA\CYRV\CYRR\CYRA}
+ \disserform{\CYRB\CYRA\CYRK\CYRA\CYRL\CYRA\CYRV\CYRR\CYRS\CYRK\CYRA%
+ \CYRYA\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRA}
+ \disserformP{\CYRB\CYRA\CYRK\CYRA\CYRL\CYRA\CYRV\CYRR\CYRS\CYRK\CYRO%
+ \CYRISHRT\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRE}
+ \disserformR{\CYRB\CYRA\CYRK\CYRA\CYRL\CYRA\CYRV\CYRR\CYRS\CYRK\CYRO%
+ \CYRISHRT\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRERY}
+ \disserformV{\CYRB\CYRA\CYRK\CYRA\CYRL\CYRA\CYRV\CYRR\CYRS\CYRK\CYRU%
+ \CYRYU\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRU}
+}
+
+\DeclareOption{master}{%
+ \spectype{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyrr\cyra\cyrv\cyrl\cyre\cyrn\cyri\cyrya}
+ \spectyperod{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyrr\cyra\cyrv\cyrl\cyre\cyrn\cyri \cyryu}
+ \workform{\cyr\CYRM\CYRA\CYRG\CYRI\CYRS\CYRT\CYRR\CYRA}
+ \disserform{\CYRM\CYRA\CYRG\CYRI\CYRS\CYRT\CYRE\CYRR\CYRS\CYRK\CYRA%
+ \CYRYA\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRA}
+ \disserformP{\CYRM\CYRA\CYRG\CYRI\CYRS\CYRT\CYRE\CYRR\CYRS\CYRK\CYRO%
+ \CYRISHRT\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRE}
+ \disserformR{\CYRM\CYRA\CYRG\CYRI\CYRS\CYRT\CYRE\CYRR\CYRS\CYRK\CYRO%
+ \CYRISHRT\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRERY}
+ \disserformV{\CYRM\CYRA\CYRG\CYRI\CYRS\CYRT\CYRE\CYRR\CYRS\CYRK\CYRU%
+ \CYRYU\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRU}
+}
+
+\DeclareOption{coursework}{%
+ \worktype{\cyr\CYRK\cyru\cyrr\cyrs\cyro\cyrv\cyra\cyrya\ \cyrr\cyra\cyrb%
+ \cyro\cyrt\cyra}
+ \renewcommand{\maketitle}{\CDMakeTitle}
+ \workname{\MakeUppercase{\@worktype}}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn\cyra}
+}
+
+\DeclareOption{diploma}{%
+ \worktype{\cyr\CYRV\cyrery\cyrp\cyru\cyrs\cyrk\cyrn\cyra\cyrya\ \cyrk\cyrv%
+ \cyra\cyrl\cyri\cyrf\cyri\cyrk\cyra\cyrc\cyri\cyro\cyrn\cyrn\cyra%
+ \cyrya\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyra}
+ \worktype{\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyra}
+ \renewcommand{\maketitle}{\CDMakeTitle}
+ \workname{\MakeUppercase{\@disserform}}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn\cyra}
+}
+
+\DeclareOption{autoref}{%
+ \workname{\cyr\CYRA\CYRV\CYRT\CYRO\CYRR\CYRE\CYRF\CYRE\CYRR\CYRA\CYRT\ %
+ \MakeUppercase{\@disserformR}}
+ \worktype{\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyra}
+ \renewcommand{\maketitle}{\CDMakeTitle}
+ %\workname{\MakeUppercase{\@disserform}}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn\cyra}
+}
+
+\DeclareOption{nir}{%
+ \workname{\cyr\CYRO\CYRT\CYRCH\CYRE\CYRT\ \CYRO\ \CYRN\CYRA\CYRU\CYRCH%
+ \CYRN\CYRO-\CYRI\CYRS\CYRS\CYRL\CYRE\CYRD\CYRO\CYRV\CYRA\CYRT\CYRE\CYRL%
+ \CYRSFTSN\CYRS\CYRK\CYRO\CYRISHRT\ \CYRR\CYRA\CYRB\CYRO\CYRT\CYRE}
+ \worktype{\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyra}
+ \renewcommand{\maketitle}{\CDMakeTitle}
+ %\workname{\MakeUppercase{\@disserform}}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn\cyra}
+}
+
+\DeclareOption{pract}{%
+ \worktype{\cyr\CYRO\cyrt\cyrch\cyre\cyrt\ \cyro\ \cyrp\cyrr\cyra\cyrk\cyrt%
+ \cyri\cyrk\cyre}
+ \renewcommand{\maketitle}{\MakeTitlePr}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn}
+}
+
+\DeclareOption{review}{%
+ \reviewtype{\CYRO\CYRT\CYRZ\CYRERY\CYRV}
+ \worktype{\cyrn\cyra\cyru\cyrch\cyrn\cyro\cyrg\cyro\ \cyrr\cyru\cyrk%
+ \cyro\cyrv\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrya\ \cyro\ \cyrv\cyrery%
+ \cyrp\cyru\cyrs\cyrk\cyrn\cyro\cyrishrt\ \cyrk\cyrv\cyra\cyrl\cyri\cyrf%
+ \cyri\cyrk\cyra\cyrc\cyri\cyro\cyrn\cyrn\cyro\cyrishrt\ \cyrr\cyra\cyrb%
+ \cyro\cyrt\cyre}
+ \workname{\cyr\cyrn\cyra\cyru\cyrch\cyrn\cyro\cyrg\cyro\ \cyrr\cyru\cyrk%
+ \cyro\cyrv\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrya\ \cyro\ \MakeLowercase{\@disserformP}}
+ %\workname{\@worktype\ \MakeLowercase{\@workform}}
+ \renewcommand{\maketitle}{\MakeTitleReview}
+ \renewcommand{\signatureline}{%
+ \par\noindent%
+ \CYRN\cyra\cyru\cyrch\cyrn\cyrery\cyrishrt\ \cyrr\cyru\cyrk\cyro\cyrv%
+ \cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\\%
+ \signature{\@satitle}{\@saname}\\%
+ }
+}
+
+\DeclareOption{assignment}{%
+ \reviewtype{\CYRZ\CYRA\CYRD\CYRA\CYRN\CYRI\CYRE}
+ \worktype{\cyrn\cyra\ \cyrv\cyrery\cyrp\cyru\cyrs\cyrk\cyrn\cyru%
+ \cyryu\ \cyrk\cyrv\cyra\cyrl\cyri\cyrf\cyri\cyrk\cyra\cyrc\cyri\cyro%
+ \cyrn\cyrn\cyru\cyryu\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyru}
+ \workname{\cyr\cyrn\cyra\ \MakeLowercase{\@disserformV}}
+ %\workname{\@worktype\ \MakeLowercase{\@workform}}
+ \renewcommand{\maketitle}{\MakeTitleAssign}
+ \renewcommand{\signatureline}{%
+
+ \vfill%
+ \noindent%
+ \textbf{\CYRS\cyrr\cyro\cyrk\ \cyrp\cyrr\cyre\cyrd\cyro\cyrs\cyrt\cyra%
+ \cyrv\cyrl\cyre\cyrn\cyri\cyrya\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyrery:}\ \@practFinish
+
+ \vspace{2em}\raggedright
+ \noindent \CYRR\cyra\cyrs\cyrs\cyrm\cyro\cyrt\cyrr\cyre\cyrn\cyro\ %
+ \cyrn\cyra\ \cyrz\cyra\cyrs\cyre\cyrd\cyra\cyrn\cyri\cyri\ \cyrk\cyra%
+ \cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyrery\ \@chair
+
+ \vspace{1em}
+ \CYRP\cyrr\cyro\cyrt\cyro\cyrk\cyro\cyrl\ \textnumero\ \@protnum\ \cyro%
+ \cyrt\ \@protdate
+
+ \vspace{1em}
+ \raggedright
+ \noindent
+ \inlinesignature{\CYRS\cyre\cyrk\cyrr\cyre\cyrt\cyra\cyrr\cyrsftsn}{\@secrname}
+
+ \vspace{2em}
+ \noindent\raggedright
+ \CYRD\cyra\cyrt\cyra\ \cyrv\cyrery\cyrd\cyra\cyrch\cyri\ \cyrz\cyra%
+ \cyrd\cyra\cyrn\cyri\cyrya\ \@practStart
+
+ \vspace{1em}
+ \noindent\raggedright
+ \inlinesignature{\CYRZ\cyra\cyrd\cyra\cyrn\cyri\cyre\ \cyrp\cyro\cyrl%
+ \cyru\cyrch\cyri\cyrl}{\hbox to 3cm{\hrulefill}}
+
+ \vspace{1cm}
+ }
+}
+
+\DeclareOption{critique}{%
+ \reviewtype{\CYRR\CYRE\CYRC\CYRE\CYRN\CYRZ\CYRI\CYRYA}
+ \worktype{\cyrn\cyra\ \cyrv\cyrery\cyrp\cyru\cyrs\cyrk\cyrn\cyru%
+ \cyryu\ \cyrk\cyrv\cyra\cyrl\cyri\cyrf\cyri\cyrk\cyra\cyrc\cyri\cyro%
+ \cyrn\cyrn\cyru\cyryu\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyru}
+ \workname{\cyr\cyrn\cyra\ \MakeLowercase{\@disserformV}}
+ %\workname{\@worktype\ \MakeLowercase{\@workform}}
+ \renewcommand{\maketitle}{\MakeTitleReview}
+ \renewcommand{\signatureline}{%
+ \par\noindent%
+ \CYRR\cyre\cyrc\cyre\cyrn\cyrz\cyre\cyrn\cyrt\\%
+ \signature{\@critictitle}{\@criticname}\\%
+ }
+}
+
+
+\DeclareOption{referat}{%
+ \worktype{\cyr\CYRR\cyre\cyrf\cyre\cyrr\cyra\cyrt}
+ \workname{\MakeUppercase{\@worktype}}
+ \renewcommand{\maketitle}{\RefMakeTitle}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn}
+}
+
+\DeclareOption{labwork}{%
+ \worktype{\cyr\CYRL\cyra\cyrb\cyro\cyrr\cyra\cyrt\cyro\cyrr\cyrn\cyra\cyrya\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyra}
+ \workname{\MakeUppercase{\@worktype}}
+ \renewcommand{\maketitle}{\RefMakeTitle}
+ \typework{\cyr\cyrn\cyra\cyrp\cyri\cyrs\cyra\cyrn}
+}
+
+\DeclareOption{och}{%
+ \otdelenie{\cyr\cyro\cyrch\cyrn\cyro\cyrishrt\ \cyrf\cyro\cyrr\cyrm%
+ \cyrery\ \cyro\cyrb\cyru\cyrch\cyre\cyrn\cyri\cyrya}
+}
+
+\DeclareOption{zaoch}{%
+ \otdelenie{\cyr\cyrz\cyra\cyro\cyrch\cyrn\cyro\cyrishrt\ \cyrf\cyro\cyrr%
+ \cyrm\cyrery\ \cyro\cyrb\cyru\cyrch\cyre\cyrn\cyri\cyrya}
+}
+
+\ExecuteOptions{coursework,och,bachelor}
+\ProcessOptions
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}%
+{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+\onehalfspacing
+\parindent=1.25cm
+\pagestyle{headings}
+\renewcommand{\@oddhead}{}
+\renewcommand{\@oddfoot}{\hfil \thepage}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Table and figure numbering by sections
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newif\if@secNumbering\@secNumberingfalse
+\newcommand{\secNumbering}{
+ \renewcommand{\thefigure}{\arabic{section}.\arabic{figure}}
+ \renewcommand{\thetable}{\arabic{section}.\arabic{table}}
+ \renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
+ \@addtoreset{figure}{section}
+ \@addtoreset{table}{section}
+ \@addtoreset{equation}{section}
+ \@secNumberingtrue
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Table and figure captions
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\def\CaptionName#1{\gdef\@captionname{#1}}
+\newlength\tmp %10cm
+\setlength{\tmp}{1ex}
+\setlength{\belowcaptionskip}{1ex}
+\setlength{\abovecaptionskip}{1ex}
+
+\captionsetup[figure]{name=\CYRR\cyri\cyrs\cyru\cyrn\cyro\cyrk, labelsep=endash,
+ justification=centering, font={small}, skip=\abovecaptionskip, position=below}
+\captionsetup[table]{name=\CYRT\cyra\cyrb\cyrl\cyri\cyrc\cyra, labelsep=endash, format=plain,
+ justification=RaggedRight, singlelinecheck=false, font={small}, position=top}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Table of contents
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\renewcommand{\tableofcontents}%
+{\structformat\section*{\uppercase{\cyr\CYRS\CYRO\CYRD\CYRE\CYRR\CYRZH\CYRA%
+\CYRN\CYRI\CYRE}}\secformat\@starttoc{toc}
+\thispagestyle{empty}}
+
+\renewcommand{\@dotsep}{1.5}
+\renewcommand{\@pnumwidth}{1.0em}
+
+\newcommand{\l@abcd}[2]{{\@dottedtocline{0}{0pt}{0pt}{#1}{#2}}}
+
+\renewcommand{\l@section}{\@dottedtocline{1}{0em}{1.5em}}
+\renewcommand{\l@subsection}{\@dottedtocline{2}{1.5em}{2.3em}}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Sections, subsections
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Numbering
+\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
+\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
+\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}.\arabic{subsubsection}}
+
+\newcommand{\sectionbreak}{\clearpage}
+
+% Contents, intro, conclusion
+\newcommand{\structformat}
+{
+ \titlespacing{\section}
+ {0cm}{3ex plus 1ex minus .2ex}{1.4ex plus.2ex}
+ \titleformat{\section}[block]
+ {\centering\bfseries}
+ {\thesection}{0ex}{}
+}
+
+% Sections, subsections
+\newcommand{\secformat}
+{
+ \titlespacing{\section}
+ {0cm}{3ex plus 1ex minus .2ex}{0.4ex plus.2ex}
+ \titleformat{\section}[block]
+ {\hspace{1.25cm}\raggedright\bfseries}
+ {\thesection}{1ex}{}
+}
+
+\newif\if@hyperrefloaded\@hyperrefloadedfalse
+\AtBeginDocument{\@ifpackageloaded{hyperref}%
+ {\@hyperrefloadedtrue}{\@hyperrefloadedfalse}%
+}
+
+%\RequirePackage{ifthen}
+\newcommand{\starsection}[1]{
+ \structformat
+ \section*{#1}%
+ \if@hyperrefloaded
+ \phantomsection
+ \fi
+ \addcontentsline{toc}{section}{#1}
+ \setcounter{section}{0}
+ \secformat
+}
+
+
+\setcounter{section}{0}
+\secformat
+
+
+\newcommand{\intro}{\starsection{\cyr\CYRV\CYRV\CYRE\CYRD\CYRE%
+\CYRN\CYRI\CYRE}}
+\newcommand{\abbreviations}{\starsection{\CYRO\CYRB\CYRO\CYRZ\CYRN\CYRA%
+\CYRCH\CYRE\CYRN\CYRI\CYRYA\ \CYRI\ \CYRS\CYRO\CYRK\CYRR\CYRA\CYRSHCH%
+\CYRE\CYRN\CYRI\CYRYA}}
+\newcommand{\definitions}{\starsection{\CYRO\CYRP\CYRR\CYRE\CYRD\CYRE%
+\CYRL\CYRE\CYRN\CYRI\CYRYA}}
+\newcommand{\defabbr}{\starsection{\CYRO\CYRP\CYRR\CYRE\CYRD\CYRE\CYRL%
+\CYRE\CYRN\CYRI\CYRYA, \CYRO\CYRB\CYRO\CYRZ\CYRN\CYRA\CYRCH\CYRE\CYRN%
+\CYRI\CYRYA\ \CYRI\ \CYRS\CYRO\CYRK\CYRR\CYRA\CYRSHCH\CYRE\CYRN\CYRI\CYRYA}}
+\newcommand{\conclusion}{\starsection{\cyr\CYRZ\CYRA\CYRK\CYRL\CYRYU%
+\CYRCH\CYRE\CYRN\CYRI\CYRE}}
+
+% Section and subsection parameters
+\titlespacing{\section}
+{0cm}{3ex plus 1ex minus .2ex}{0.4ex plus.2ex}
+
+\titleformat{\subsection}[block]
+{\hspace{1.25cm}\normalfont\bfseries}
+{\thesubsection}{1ex}{}
+\titlespacing{\subsection}
+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}
+
+\titleformat{\subsubsection}[block]
+{\hspace{1.25cm}\normalfont}
+{\thesubsubsection}{1ex}{}
+\titlespacing{\subsubsection}
+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+%\AddEnumerateCounter{\Asbuk}{\@Asbuk}{\CYRM}
+%\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\@asbuk}{\cyrm}
+
+\makeatletter
+\def\redeflsection{\def\l@section{\@dottedtocline{1}{0em}{10em}}}
+\renewcommand{\appendix}{\par%
+
+ \renewcommand{\secNumbering}{
+ \renewcommand{\thefigure}{\Asbuk{section}.\arabic{figure}}
+ \renewcommand{\thetable}{\Asbuk{section}.\arabic{table}}
+ \renewcommand{\theequation}{\Asbuk{section}.\arabic{equation}}
+ \@addtoreset{figure}{section}
+ \@addtoreset{table}{section}
+ \@addtoreset{equation}{section}
+
+ }
+ \if@secNumbering
+ \secNumbering
+ \fi
+ \setcounter{section}{0}%
+ \setcounter{subsection}{0}%
+ \renewcommand{\appendixname}{\cyr\CYRP\CYRR\CYRI\CYRL\CYRO\CYRZH\CYRE%
+ \CYRN\CYRI\CYRE}%
+ \def\sectionname{\appendixname}%
+ \addtocontents{toc}{\protect\redeflsection}%
+ \gdef\thesection{\Asbuk{section}}%
+ \titlespacing{\section}
+ %{0cm}{1ex plus 0.1ex minus .2ex}{1.1ex plus.1ex}
+ {0cm}{3ex plus 1ex minus .2ex}{0.4ex plus.2ex}
+ \titleformat{\section}[display]
+ {\centering\normalfont\bfseries}
+ {\appendixname\hspace{1ex}\thesection}{0ex}{}
+
+
+ \titlecontents{section}
+ [3ex]
+ {\hspace{-3ex}}
+ {\appendixname~\thecontentslabel\hspace{2ex}}
+ {\hspace{2.3em}}
+ {\titlerule*[0.98ex]{.}\contentspage}
+
+}
+
+
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Title pages
+% --------------------------------------------------------------------------%
+%\newcommand{\shapka}{{\centering \CYRM\CYRI\CYRN\CYRO\CYRB\CYRR\CYRN\CYRA%
+%\CYRU\CYRK\CYRI\ \CYRR\CYRO\CYRS\CYRS\CYRI\CYRI\\ %
+%\CYRF\cyre\cyrd\cyre\cyrr\cyra\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyrg\cyro%
+%\cyrs\cyru\cyrd\cyra\cyrr\cyrs\cyrt\cyrv\cyre\cyrn\cyrn\cyro\cyre\ %
+%\cyrb\cyryu\cyrd\cyrzh\cyre\cyrt\cyrn\cyro\cyre\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra%
+%\cyrz\cyro\cyrv\cyra\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyru%
+%\cyrch\cyrr\cyre\cyrzh\cyrd\cyre\cyrn\cyri\cyre\ \cyrv\cyrery\cyrs%
+%\cyrsh\cyre\cyrg\cyro\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra\cyrz%
+%\cyro\cyrv\cyra\cyrn\cyri\cyrya\\
+%\textbf{<<\CYRS\CYRA\CYRR\CYRA\CYRT\CYRO\CYRV\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT\ %
+%\CYRN\CYRA\CYRC\CYRI\CYRO\CYRN\CYRA\CYRL\CYRSFTSN\CYRN\CYRERY%
+%\CYRISHRT\ \CYRI\CYRS\CYRS\CYRL\CYRE\CYRD\CYRO\CYRV\CYRA\CYRT\CYRE\CYRL%
+%\CYRSFTSN\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT\ %
+%\CYRG\CYRO\CYRS\CYRU\CYRD\CYRA\CYRR\CYRS\CYRT\CYRV\CYRE\CYRN\CYRN\CYRERY%
+%\CYRISHRT\ \CYRU\CYRN\CYRI\CYRV\CYRE\CYRR\CYRS\CYRI\CYRT\CYRE\CYRT\ %
+%\CYRI\CYRM\CYRE\CYRN\CYRI~\CYRN.\,\CYRG.\,\CYRCH\CYRE\CYRR\CYRN\CYRERY%
+%\CYRSH\CYRE\CYRV\CYRS\CYRK\CYRO\CYRG\CYRO>>}\\}}
+
+%\newcommand{\shapka}{{\centering \CYRM\CYRI\CYRN\CYRO\CYRB\CYRR\CYRN\CYRA%
+%\CYRU\CYRK\CYRI\ \CYRR\CYRO\CYRS\CYRS\CYRI\CYRI\\ \hspace{-1em}%
+%\CYRF\cyre\cyrd\cyre\cyrr\cyra\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyrg\cyro%
+%\cyrs\cyru\cyrd\cyra\cyrr\cyrs\cyrt\cyrv\cyre\cyrn\cyrn\cyro\cyre\ %
+%\cyrb\cyryu\cyrd\cyrzh\cyre\cyrt\cyrn\cyro\cyre\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra%
+%\cyrz\cyro\cyrv\cyra\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyru%
+%\cyrch\cyrr\cyre\cyrzh\cyrd\cyre\cyrn\cyri\cyre\ \\\cyrv\cyrery\cyrs%
+%\cyrsh\cyre\cyrg\cyro\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra\cyrz%
+%\cyro\cyrv\cyra\cyrn\cyri\cyrya\\\hspace{-2em}
+%{
+%\textbf{<<\CYRS\CYRA\CYRR\CYRA\CYRT\CYRO\CYRV\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT\ %
+%\CYRN\CYRA\CYRC\CYRI\CYRO\CYRN\CYRA\CYRL\CYRSFTSN\CYRN\CYRERY%
+%\CYRISHRT\ \CYRI\CYRS\CYRS\CYRL\CYRE\CYRD\CYRO\CYRV\CYRA\CYRT\CYRE\CYRL%
+%\CYRSFTSN\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT}} \\%
+%{\textbf{\CYRG\CYRO\CYRS\CYRU\CYRD\CYRA\CYRR\CYRS\CYRT\CYRV\CYRE\CYRN\CYRN\CYRERY%
+%\CYRISHRT\ \CYRU\CYRN\CYRI\CYRV\CYRE\CYRR\CYRS\CYRI\CYRT\CYRE\CYRT}} \\%
+%{\textbf{\CYRI\CYRM\CYRE\CYRN\CYRI~\CYRN.\,\CYRG.\,\CYRCH\CYRE\CYRR\CYRN\CYRERY%
+%\CYRSH\CYRE\CYRV\CYRS\CYRK\CYRO\CYRG\CYRO>>}}\\}}
+
+\newcommand{\shapka}{{\centering \CYRM\CYRI\CYRN\CYRO\CYRB\CYRR\CYRN\CYRA%
+\CYRU\CYRK\CYRI\ \CYRR\CYRO\CYRS\CYRS\CYRI\CYRI\\ %
+\CYRF\cyre\cyrd\cyre\cyrr\cyra\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyrg\cyro%
+\cyrs\cyru\cyrd\cyra\cyrr\cyrs\cyrt\cyrv\cyre\cyrn\cyrn\cyro\cyre\ %
+\cyrb\cyryu\cyrd\cyrzh\cyre\cyrt\cyrn\cyro\cyre\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra%
+\cyrz\cyro\cyrv\cyra\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\cyrn\cyro\cyre\ \cyru%
+\cyrch\cyrr\cyre\cyrzh\cyrd\cyre\cyrn\cyri\cyre\ \\\cyrv\cyrery\cyrs%
+\cyrsh\cyre\cyrg\cyro\ \cyro\cyrb\cyrr\cyra\cyrz%
+\cyro\cyrv\cyra\cyrn\cyri\cyrya\\[0.2em]
+
+\centerline{\scalebox{\scaleUnivName}[1.0]{\parbox[t]{1.1\textwidth}
+{\centering
+\textbf{<<\CYRS\CYRA\CYRR\CYRA\CYRT\CYRO\CYRV\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT\ %
+\CYRN\CYRA\CYRC\CYRI\CYRO\CYRN\CYRA\CYRL\CYRSFTSN\CYRN\CYRERY%
+\CYRISHRT\ \CYRI\CYRS\CYRS\CYRL\CYRE\CYRD\CYRO\CYRV\CYRA\CYRT\CYRE\CYRL%
+\CYRSFTSN\CYRS\CYRK\CYRI\CYRISHRT\ \\%
+\CYRG\CYRO\CYRS\CYRU\CYRD\CYRA\CYRR\CYRS\CYRT\CYRV\CYRE\CYRN\CYRN\CYRERY%
+\CYRISHRT\ \CYRU\CYRN\CYRI\CYRV\CYRE\CYRR\CYRS\CYRI\CYRT\CYRE\CYRT\ \\%
+\CYRI\CYRM\CYRE\CYRN\CYRI~\CYRN.\,\CYRG.\,\CYRCH\CYRE\CYRR\CYRN\CYRERY%
+\CYRSH\CYRE\CYRV\CYRS\CYRK\CYRO\CYRG\CYRO>>}}}}}}
+
+\newcommand{\CDMakeTitle}
+{
+\thispagestyle{empty}
+\shapka
+%\vspace{0.5cm}
+\begin{center}
+%\parbox{8cm}{
+%\raggedright
+\CYRK\cyra\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyra\ \@chair
+%}
+\end{center}
+
+\vspace{14pt}
+\vspace{1cm}
+{\centering
+\textbf{\MakeUppercase{\@title}}
+\\[0.3cm]
+{\@workname}
+
+}
+
+\vspace{1.5cm}
+\begin{flushleft}
+\@studenttitle\ \@course\ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs\cyra\ \@group\ \cyrg%
+\cyrr\cyru\cyrp\cyrp\cyrery\\
+\@spectype\ \@napravlenie\\
+\@department\\
+\@author
+\end{flushleft}
+\vfill
+
+\noindent
+\CYRN\cyra\cyru\cyrch\cyrn\cyrery\cyrishrt\ \cyrr\cyru\cyrk\cyro\cyrv%
+\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\\
+\signature{\@satitle}{\@saname}\\[14pt]
+\CYRZ\cyra\cyrv\cyre\cyrd\cyru\cyryu\cyrshch\cyri\cyrishrt\ \cyrk\cyra%
+\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyro\cyrishrt\\
+\signature{\@chtitle}{\@chname}
+
+\vfill
+{\centering{\cyr\CYRS\cyra\cyrr\cyra\cyrt\cyro\cyrv\ \@date}
+
+}
+\newpage
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Title page of internship
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\MakeTitlePr}
+{
+\thispagestyle{empty}
+\begin{center}
+\shapka
+\end{center}
+\vspace{0.5cm}
+
+
+\begin{flushright}
+ \parbox{7cm}{
+ \begin{flushleft}
+ \CYRU\CYRT\CYRV\CYRE\CYRR\CYRZH\CYRD\CYRA\CYRYU\\
+ \CYRZ\cyra\cyrv.\cyrk\cyra\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyro\cyrishrt,\\
+ \@chtitle\\
+ \hbox to 7cm{\hrulefill\ \@chname}
+ \end{flushleft}
+ }
+\end{flushright}
+
+\vspace{1cm}
+\begin{center}\textbf{\MakeUppercase{\@worktype}}\end{center}
+\begin{flushleft}
+ \vspace{12pt}
+ \@studenttitle\ \@course\ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs\cyra\ \@group\ \cyrg%
+ \cyrr\cyru\cyrp\cyrp\cyrery\ \@department\\
+ \@author
+ \vspace{0.5cm}
+
+
+ \cyrv\cyri\cyrd\ \cyrp\cyrr\cyra\cyrk\cyrt\cyri\cyrk\cyri: \@practtype\\
+ \cyrk\cyra\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyra: \@chair\\
+ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs: \@course\\
+ \cyrs\cyre\cyrm\cyre\cyrs\cyrt\cyrr: \@term\\
+ \cyrp\cyrr\cyro\cyrd\cyro\cyrl\cyrzh\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\cyrn%
+ \cyro\cyrs\cyrt\cyrsftsn: \@duration\ \cyrn\cyre\cyrd., \cyrs\ \@practStart\ \cyrg. \cyrp\cyro\ \@practFinish\ \cyrg.
+\end{flushleft}
+%\parindent=-0.2cm
+\vspace{1cm}
+
+\noindent
+\CYRR\cyru\cyrk\cyro\cyrv\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\ \cyrp%
+\cyrr\cyra\cyrk\cyrt\cyri\cyrk\cyri\ \cyro\cyrt\ \cyru\cyrn\cyri\cyrv%
+\cyre\cyrr\cyrs\cyri\cyrt\cyre\cyrt\cyra,\\[12pt]%
+\signature{\@satitle}{\@saname}\\[14pt]
+\CYRR\cyru\cyrk\cyro\cyrv\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\ \cyrp%
+\cyrr\cyra\cyrk\cyrt\cyri\cyrk\cyri\ \cyro\cyrt\ \cyro\cyrr\cyrg\cyra%
+\cyrn\cyri\cyrz\cyra\cyrc\cyri\cyri\ (\cyru\cyrch\cyrr\cyre\cyrzh\cyrd%
+\cyre\cyrn\cyri\cyrya, \cyrp\cyrr\cyre\cyrd\cyrp\cyrr\cyri\cyrya\cyrt%
+\cyri\cyrya),\\[12pt]%
+\signature{\@patitle}{\@paname}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+\vspace*{11cm}
+\CYRT\cyre\cyrm\cyra\ \cyrp\cyrr\cyra\cyrk\cyrt\cyri\cyrk\cyri:<<\@title>>
+\parindent=1.25cm
+\newpage
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Title page of review
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\MakeTitleReview}
+{
+\pagestyle{empty}
+\begin{center}
+\shapka
+\end{center}
+
+
+{
+\centering
+\textbf{\MakeUppercase{\@reviewtype}}\\[-0.3em]
+\textbf{\@workname}\\[0.3em]
+<<{\MakeUppercase{\@title}}>>
+
+\@studenttitle\ \@course\ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs\cyra\ %
+\@department\\
+
+\centering
+{\@author}\\
+
+\centering
+\@studentdone\ \cyro\cyrb\cyru\cyrch\cyre\cyrn\cyri\cyre\ \cyrp%
+\cyro\ \@spectyperod\ \@napravlenie
+
+}
+\vspace{2em}
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Title page of assignment
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\MakeTitleAssign}
+{
+\pagestyle{empty}
+\begin{center}
+\shapka
+\end{center}
+
+{
+\centering
+\CYRK\cyra\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyra\ \@chair
+
+
+\vspace{6em}
+\centering
+\textbf{\MakeUppercase{\@reviewtype}\\%[-0.3em]
+\@workname}
+
+\vspace{0.3em}
+\raggedright
+\cyrp\cyro\ \@spectyperod\ \@napravlenie\\
+\@studenttitle\ \@course\ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs\cyra\ %
+\@department\\
+\MakeUppercase{\@author}\\
+\textbf{\CYRT\cyre\cyrm\cyra\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyrery:} <<{\MakeUppercase{\@title}}>>
+
+}
+
+\vfill
+
+\noindent
+\CYRN\cyra\cyru\cyrch\cyrn\cyrery\cyrishrt\ \cyrr\cyru\cyrk\cyro\cyrv%
+\cyro\cyrd\cyri\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\\
+\signature{\@satitle}{\@saname}\\[14pt]
+\CYRZ\cyra\cyrv\cyre\cyrd\cyru\cyryu\cyrshch\cyri\cyrishrt\ \cyrk\cyra%
+\cyrf\cyre\cyrd\cyrr\cyro\cyrishrt\\
+\signature{\@chtitle}{\@chname}
+
+\vfill
+{\centering{\cyr\CYRS\cyra\cyrr\cyra\cyrt\cyro\cyrv\ \@date}
+
+}
+\newpage
+\begin{center}\bf
+C\cyro\cyrd\cyre\cyrr\cyrzh\cyra\cyrn\cyri\cyre\ \cyrr\cyra\cyrb%
+\cyro\cyrt\cyrery
+\end{center}
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Referat title page
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\RefMakeTitle}
+{
+\thispagestyle{empty}
+\shapka
+
+\vspace{3cm}
+{\centering
+\textbf{\MakeUppercase{\@title}}
+\\[0.3cm]
+{\@workname}
+
+}
+
+\vspace{1.5cm}
+\begin{flushleft}
+\@studenttitle\ \@course\ \cyrk\cyru\cyrr\cyrs\cyra\ \@group\ \cyrg%
+\cyrr\cyru\cyrp\cyrp\cyrery\\
+\@spectype\ \@napravlenie\\
+\@department\\
+\@author
+\end{flushleft}
+\vfill
+
+\noindent
+\CYRP\cyrr\cyro\cyrv\cyre\cyrr\cyri\cyrl\\
+\signature{\@satitle}{\@saname}
+
+\vfill
+{\centering{\cyr\CYRS\cyra\cyrr\cyra\cyrt\cyro\cyrv\ \@date}
+
+}
+\newpage
+}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% Last page
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\newcommand{\lastpage}
+{
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+\vspace*{11cm}
+\@worktype\ <<\@title>>\ \@typework\ \cyrm\cyrn\cyro\cyrishrt\ %
+\cyrs\cyra\cyrm\cyro\cyrs\cyrt\cyro\cyrya\cyrt\cyre\cyrl\cyrsftsn\cyrn%
+\cyro, \cyri\ \cyrn\cyra\ \cyrv\cyrs\cyre\ \cyri\cyrs\cyrt\cyro\cyrch%
+\cyrn\cyri\cyrk\cyri, \cyri\cyrm\cyre\cyryu\cyrshch\cyri\cyre\cyrs%
+\cyrya\ \cyrv\ \cyrr\cyra\cyrb\cyro\cyrt\cyre, \cyrd\cyra\cyrn\cyrery\ %
+\cyrs\cyro\cyro\cyrt\cyrv\cyre\cyrs\cyrt\cyrv\cyru\cyryu\cyrshch\cyri%
+\cyre\ \cyrs\cyrs\cyrery\cyrl\cyrk\cyri.\par
+\parindent=9cm
+\parbox{8cm}{
+\begin{flushleft}
+\hbox to 6cm{\hbox to 3.5cm{\hrulefill}/\hbox to 3.5cm{\hrulefill}/}
+\end{flushleft}
+}
+}
+
+\AddEnumerateCounter{\Asbuk}{\@Asbuk}{\CYRM}
+\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\@asbuk}{\cyrm}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% enumerations
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\setlist{noitemsep}
+%\setlist[1]{labelindent=\parindent} % < Usually a good idea
+\setlist[itemize]{
+%leftmargin=52pt,
+rightmargin=0pt,
+labelsep=7pt,
+labelwidth=20pt,
+itemindent=0pt,
+listparindent=0pt,
+topsep=0pt,%4pt plus 2pt minus 4pt,
+partopsep=0pt,% plus 1pt minus 1pt,
+parsep=0pt,% plus 1pt,
+itemsep=0 pt%\parsep
+}
+\setlist[enumerate]{
+%leftmargin=52pt,
+rightmargin=0pt,
+labelsep=5pt,
+labelwidth=20pt,
+itemindent=0pt,
+listparindent=0pt,
+topsep=0pt,%4pt plus 2pt minus 4pt,
+partopsep=0pt,% plus 1pt minus 1pt,
+parsep=0pt,% plus 1pt,
+itemsep=0pt%\parsep
+}
+\setlist[itemize,1]{label={\normalfont\bfseries\textemdash}}
+%\setlist[enumerate]{labelsep=*, leftmargin=1.5pc}
+\setlist[enumerate,1]{label=\arabic*., ref=\arabic*}
+\setlist[enumerate,2]{label=\emph{\asbuk*}), ref=\theenumi.\emph{\asbuk*}}
+\setlist[enumerate,3]{label=\roman*., ref=\theenumii.\roman*}
+\setlist[enumerate,4]{label=\Asbuk*., ref=\theenumiii.\Asbuk*}
+%\setlist[description]{font=\sffamily\bfseries}
+
+%%%\renewcommand{\@listI}{%
+%%%\leftmargin=52pt
+%%%\rightmargin=0pt
+%%%\labelsep=7pt
+%%%\labelwidth=20pt
+%%%\itemindent=0pt
+%%%\listparindent=0pt
+%%%\topsep=4pt plus 2pt minus 4pt
+%%%\partopsep=0pt plus 1pt minus 1pt
+%%%\parsep=0pt plus 1pt
+%%%\itemsep=\parsep}
+
+%%%\renewcommand\theenumi {\@arabic\c@enumi}
+%%%\renewcommand\theenumii {\asbuk{enumii}}
+%%%\renewcommand\theenumiii{\@roman\c@enumiii}
+%%%\renewcommand\theenumiv {\Asbuk{enumiv}}
+%%%\newcommand\atheenumi{\asbuk{enumi}}
+%%%\newcommand\atheenumii{\asbuk{enumii}}
+%%%\renewcommand\labelenumi {\theenumi.}
+%%%\renewcommand\labelenumii {\theenumii.}
+%%%\renewcommand\labelenumiii{\theenumiii.}
+%%%\renewcommand\labelenumiv {\theenumiv.}
+%%%\renewcommand\p@enumii {\theenumi}
+%%%\renewcommand\p@enumiii {\theenumi.\theenumii}
+%%%\renewcommand\p@enumiv {\p@enumiii.\theenumiii}
+%%%\renewcommand\labelitemi {\normalfont\bfseries\textemdash}
+%%%\renewcommand\labelitemii {\normalfont\bfseries\textendash}
+%%%\renewcommand\labelitemiii{\textperiodcentered}
+%%%\renewcommand\labelitemiv {\textasteriskcentered}
+%%%
+%%%\renewcommand{\@listI}{%
+%%%\leftmargin=52pt
+%%%\rightmargin=0pt
+%%%\labelsep=7pt
+%%%\labelwidth=20pt
+%%%\itemindent=0pt
+%%%\listparindent=0pt
+%%%\topsep=4pt plus 2pt minus 4pt
+%%%\partopsep=0pt plus 1pt minus 1pt
+%%%\parsep=0pt plus 1pt
+%%%\itemsep=\parsep}
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+% References
+% --------------------------------------------------------------------------%
+\makeatletter
+\def\@biblabel#1{#1 }
+
+\renewenvironment{thebibliography}[1]
+{
+ \starsection{\cyr\CYRS\CYRP\CYRI\CYRS\CYRO\CYRK\ \CYRI\CYRS\CYRP\CYRO\CYRL%
+ \CYRSFTSN\CYRZ\CYRO\CYRV\CYRA\CYRN\CYRN\CYRERY\CYRH\ \CYRI\CYRS\CYRT%
+ \CYRO\CYRCH\CYRN\CYRI\CYRK\CYRO\CYRV}
+ \list{\@biblabel{\@arabic\c@enumiv}}%
+ {\settowidth\labelwidth{\@biblabel{#1}}%
+ \leftmargin\labelwidth
+ \advance\leftmargin\labelsep
+ \setlength{\itemsep}{0pt}
+ \@openbib@code
+ \usecounter{enumiv}%
+ \let\p@enumiv\@empty
+ \renewcommand\theenumiv{\@arabic\c@enumiv}}%
+ \sloppy
+ \clubpenalty4000
+ \@clubpenalty \clubpenalty
+ \widowpenalty4000%
+ \sfcode`\.\@m}
+{\def\@noitemerr
+ {\@latex@warning{Empty `thebibliography' environment}}%
+ \endlist}
+
+\makeatother
+% --------------------------------------------------------------------------%
diff --git a/refmat/img/geomsmisel.png b/refmat/img/geomsmisel.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..014d152 --- /dev/null +++ b/refmat/img/geomsmisel.png diff --git a/refmat/img/img5.png b/refmat/img/img5.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..a98ba3a --- /dev/null +++ b/refmat/img/img5.png diff --git a/refmat/img/img6.png b/refmat/img/img6.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..31968d8 --- /dev/null +++ b/refmat/img/img6.png diff --git a/refmat/img/img7.png b/refmat/img/img7.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4b3ac0a --- /dev/null +++ b/refmat/img/img7.png diff --git a/refmat/img/parS.png b/refmat/img/parS.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3f8a822 --- /dev/null +++ b/refmat/img/parS.png diff --git a/refmat/img/polarS.png b/refmat/img/polarS.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..47db057 --- /dev/null +++ b/refmat/img/polarS.png diff --git a/refmat/img/rectS.png b/refmat/img/rectS.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..983ce18 --- /dev/null +++ b/refmat/img/rectS.png diff --git a/refmat/refmat.tex b/refmat/refmat.tex new file mode 100644 index 0000000..b17262b --- /dev/null +++ b/refmat/refmat.tex @@ -0,0 +1,384 @@ +\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}
+% параметр - тип обучения - одно из значений:
+% spec - специальность
+% bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
+% master - магистратура
+% параметр - форма обучения - одно из значений:
+% och - очное (по умолчанию)
+% zaoch - заочное
+% параметр - тип работы - одно из значений:
+% referat - реферат
+% coursework - курсовая работа (по умолчанию)
+% diploma - дипломная работа
+% pract - отчет по практике
+% параметр - включение шрифта
+% times - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
+% по умолчанию выключен
+\usepackage{subfigure}
+\usepackage{tikz,pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.5}
+\usepackage{float}
+
+%\usepackage{titlesec}
+\setcounter{secnumdepth}{4}
+%\titleformat{\paragraph}
+%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
+%\titlespacing*{\paragraph}
+%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}
+
+\titleformat{\paragraph}[block]
+{\hspace{1.25cm}\normalfont}
+{\theparagraph}{1ex}{}
+\titlespacing{\paragraph}
+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{tempora}
+
+\usepackage[sort,compress]{cite}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{fancyvrb}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{listingsutf8}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{array}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+\usepackage{url}
+
+\usepackage{underscore}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{indentfirst}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{tikz}
+
+\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
+\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
+\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}
+
+\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}
+
+\newtheorem{lem}{Лемма}
+
+\begin{document}
+
+% Кафедра (в родительном падеже)
+\chair{}
+
+% Тема работы
+\title{Геометрические и физические приложения определенного интеграла}
+
+% Курс
+\course{2}
+
+% Группа
+\group{231}
+
+% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
+\department{факультета КНиИТ}
+
+% Специальность/направление код - наименование
+%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
+%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
+%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
+%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
+\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}
+
+% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
+% \studenttitle{Студентки}
+
+% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
+\author{Гущина Андрея Юрьевича}
+
+% Заведующий кафедрой
+% \chtitle{} % степень, звание
+% \chname{}
+
+%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
+\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание
+\saname{Е. В. Разумовская}
+
+% Руководитель практики от организации (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+% \patitle{к.ф.-м.н.}
+% \paname{С.~В.~Миронов}
+
+% Семестр (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\term{8}
+
+% Наименование практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practtype{преддипломная}
+
+% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+%\duration{4}
+
+% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practStart{30.04.2019}
+%\practFinish{27.05.2019}
+
+% Год выполнения отчета
+\date{2020}
+
+\maketitle
+
+% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
+% (по умолчанию - нумерация сквозная)
+% (допускается оба вида нумерации)
+% \secNumbering
+
+%-------------------------------------------------------------------------------------------
+\intro
+\subsection*{Определение определенного интеграла Римана.}
+
+Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году,
+и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
+
+Пусть $f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. Обозначим буквой $R$ разбиение $[a; b]$ на $n$ частичных отрезков
+с помощью несовпадающих точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$ (т.е. $R = \left\{x_i\right\}$).
+Обозначим $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$ "--- длину частичного отрезка разбиения $[x_i ; x_{i+1}]$,
+а $\Delta = max$ $\Delta x_i$ (где $0 \leq i \leq n - 1$) "--- диаметр разбиения.
+
+Возьмем произвольную точку $\xi_i \in [x_i ; x_{i+1}]$ $\forall i = 0, n-1$ и составим интегральную сумму
+$S_R (\xi) = f(\xi_0)\Delta x_0 + \cdots + f(\xi_{n-1})\Delta x_{n-1} = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i)\Delta x_i$.
+
+Если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0$ $: \forall R$ $: \Delta < \delta$,
+где $\forall \xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)$ выполняется $|S_R(\xi) - S| < \varepsilon$, то $f(x)$ называется
+интегрируемой на отрезке $[a; b]$, а S собственно называют интегралом Римана от $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и обозначают $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$.
+
+Смысл этого определения также в том, что $\exists \displaystyle\lim_{\Delta \to 0}S_R(\xi) = S < \infty$ и $S$
+не зависит ни от выбора $R$, ни от выбора $\xi_i$.
+
+\subsection*{Геометрический смысл определенного интеграла Римана.}
+
+Пусть $f(x) > 0$ на отрезке $[a; b]$. Рассмотрим график $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.
+Величина $f(\xi_i)\Delta x_i$ равна площади прямоугольника со сторонами $f(\xi_i)$ и $\Delta x_i$.
+Сумма $S_R(\xi)$ есть площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников.
+
+Тогда при $\Delta \to 0$ получаем, что $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = S_G$ равен площади фигуры,
+ограниченной $y = f(x), y = 0, x = a, x = b$ и называемой \textbf{криволинейной трапецией}.
+Если $f(x) < 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -S_G$, а если же $f(x)$ на $[a; b]$ меняет свой знак,
+то интеграл равен сумме площадей криволинейных трапеций.
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/geomsmisel.png}
+ \caption{Криволинейная трапеция}
+ \end{figure}
+
+\subsection*{Свойства определенного интеграла}
+
+Пусть $f(x), g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a; b]$. Положим $\int\limits_{a}^{a} f(x)dx = 0$,
+$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a} f(x)dx$. Определенный интеграл обладает следующими свойствами:
+
+\begin{enumerate}
+ \item $\int\limits_{a}^{b} (c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x))dx = c_1 \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x)dx + c_2 \cdot \int\limits_{a}^{b} g(x)dx $
+ \item $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx$
+ \item Если $f(x) \geq g(x)$ на $[a, b] \implies \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geq \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$
+ \item Если $g(x) \geq 0$ на $[a, b]$, $m = inf_{[a, b]} f(x), M = sup_{[a, b]} f(x) \implies$
+
+ $\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot g(x)dx = \mu \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$, где $m \leq \mu \leq M$
+\end{enumerate}
+
+\section{Вычисление площадей плоских областей}
+
+\subsection{Площадь фигуры в прямоугольных координатах}
+Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом
+\[\int\limits_{a}^{b} (y_2(x) - y_1(x)) dx = S\] от разницы кривых, где одна из них всегда принимает
+не меньшие значения чем другая ($y_2(x) \geq y_1(x)$), а также кривые непрерывны.
+Пределы интегрирования -- прямые $x_1 = a$, $x_2 = b$ -- ограничивают фигуру ($a < b$, чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/rectS.png}
+ \caption{Фигура, ограниченная двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми}
+ \end{figure}
+
+\subsection{Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде}
+Если имеем $x = x(t), y = y(t)$ -- параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой
+кривой на промежутке $[0;T]$, что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой, то ее площадь $S$ находим формулой
+\[ S = - \int\limits_{0}^{T} x'(t)y(t)dt = \int\limits_{0}^{T} x(t)y'(t)dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{T} [x(t)y'(t) - x'(t)y(t)]dt \]
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/parS.png}
+ \caption{Фигура, ограниченная кривой, заданной в параметрическом виде}
+ \end{figure}
+
+\subsection{Площадь фигуры в полярных координатах}
+Площадь $S$ криволинейного сектора $OAB$, ограниченного непрерывной кривой $r = r(\phi)$
+и двумя лучами $\phi = \alpha$ и $\phi = \beta$, где $\alpha < \beta$ равняется половине определенного интеграла от
+квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла:
+\[ S = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^2 (\phi) d\phi \]
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/polarS.png}
+ \caption{Cектор, ограниченный кривой и двумя полуполярными углами}
+ \end{figure}
+
+\section{Вычисление длины дуги кривой}
+
+\subsection{Длина дуги в прямоугольных координатах}
+Пусть некоторая функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что тоже самое, дугу кривой $AB$:
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/img7.png}
+ \caption{Кривая AB}
+ \end{figure}
+
+В предположение о непрерывности производной $f'(x)$ на $[a; b]$, длина кривой $AB$ выражается формулой:
+
+\[L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \text{, или же } L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx\]
+
+\newpage
+\subsection{Длина дуги кривой, заданной параметрически}
+Если кривая $C$ задана уравнениями $x = x (t), y = y(t)$ $(t \in [t_0 ; T])$, где $x(t)$ и $y(t)$
+непрерывные на $[t_0 ; T]$ функции, то длина дуги кривой $C$ равняется определенному интегралу:
+
+\[l = \int\limits_{t_0}^{T} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt\]
+
+\subsection{Длина дуги в полярных координатах}
+Если кривая задана уравнением $r = r(\phi), (\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2)$ в полярной системе координат,
+где функция является гладкой непрерывной на промежутке $r (\phi) \in C^1 [\phi_1 ; \phi_2]$,
+тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле
+
+\[l = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{(r(\phi))^2 + (r'(\phi))^2} d\phi\]
+
+\section{Вычисление площади поверхности вращения}
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в декартовой системе координат}
+
+Площадь поверхности $P$, что образована вращением гладкой кривой $AB$ вокруг оси $Ox$, где $y(x)$ -- непрерывная гладкая функция ($y = f(x)$), равняется
+
+\[P = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| ds = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx \]
+, где $ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx $ -- дифференциал дуги.
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в параметрическом виде}
+
+Если $x = x(t), y = y(t)$ и $ t_0 \leq t \leq T$ (т.е. кривая задана параметрически), то площадь поверхности можно высчитать следующим образом:
+\[ P = 2 \pi \int\limits_{t_0}^{T} y(t) \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+ \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt \]
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в полярных координатах}
+
+Если кривая задана в полярных координатах уравнением $\rho= f (\phi)$, где $\alpha \leq \phi \leq \beta$,
+а функция $f(\phi)$ имеет непрерывную производную $f'(\phi)$ на $[\alpha;\beta]$, то, учитывая, что $y = \rho\sin\phi= f(\phi)\sin\phi$, получим:
+
+\[ P= 2 \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\phi \sqrt{(\rho'_{\phi})^2 + \rho^2}\,d\phi \]
+
+\section{Объем тела вращения}
+
+\subsection{Объем тела вращения в декартовом виде вокруг осей Ox, Oy}
+
+Пусть область, которую мы будем вращать, представляет собой самую классическую криволинейную трапецию.
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/img6.png}
+ \caption{Криволинейная трапеция}
+ \end{figure}
+
+Естественно, что вращать её можно только вокруг оси Оx. Если же эту трапецию сдвинуть вправо по горизонтали так,
+чтобы она не пересекала ось Oy, то её можно вращать и относительно этой оси. Получаем следующие формулы:
+\[ V^{Ox} = \pi \int\limits_{a}^{b} y^2(x) dx ; \; V^{Oy} = 2 \pi \int\limits_{a}^{b} xy(x) dx \]
+
+\subsection{Объём тела вращения, заданное уравнением кривой в параметрическом виде}
+
+Пусть кривые заданы в параметрическом виде. Так как такие кривые являются замкнутыми, параметр t должен меняться таким образом,
+чтобы замкнутая фигура при обходе её по кривой (границе) оставалась слева.
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.55\textwidth]{img/img5.png}
+ \caption{Замкнутая кривая}
+ \end{figure}
+
+Тогда для вычисления объёмов тел вращения относительно оси ОХ или OY используются следующие формулы:
+\[ V^{Ox} = - \pi \int\limits_{t_1}^{t^2} y^2(t) x' dt ; \; V^{Oy} = \pi \int\limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) dt\]
+
+\subsection{Объем тела вращения в полярных координатах}
+
+Если кривые заданы полярными координатами ($r = r (\phi)$), тогда будет справедлива следующая формуля расчета объема тела вращения:
+
+\[ V = \frac{2 \pi}{3} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^3 (\phi) sin \phi d \phi, \] где $0 \leq \alpha \leq \phi \leq \beta \leq \pi$.
+
+\section{Механические приложения}
+
+\subsection{Вычисление массы кривой}
+
+Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой $C$.
+Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью $\rho (x, y, z)$. Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
+\[ m = \int\limits_{C} \rho (x, y, z) ds \]
+
+Если кривая $C$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой
+\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dz}{dt} \right)^2} dt \]
+
+В случае плоской кривой, заданной в плоскости $Oxy$, масса определяется как
+\[ m = \int\limits_C \rho(x, y) ds \]
+или в параметрической форме
+\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2} dt \]
+
+\subsection{Статические моменты относительно Ox, Oy}
+
+Статическим моментом точки относительно оси называется произведе-ние массы точки на расстояние до прямой.
+Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна $\rho (x, y) = 1$ (тогда масса кривой равна ее длине),
+и найдём статический момент кривой относительно оси Ox . Пусть кривая задана уравнением $y = y(x), a \leq x \leq b$.
+Возьмем на кривой точку $(x, y)$ и вырежем из кривой элементарный участок длины $dl$, содержащий точку $(x, y)$.
+Если считать массу участка, равную $dl$, сосредоточенной в точке $(x, y)$, то элементарный момент,
+то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси Ox равен $dS = y \cdot dl$.
+Тогда статический момент всей кривой относительно оси Ox, находится по последующей формуле:
+\[ S_x = \int\limits_a^b y(x) \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]
+
+Аналогичным образом выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси Oy:
+
+\[ S_y = \int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]
+
+\subsection{Моменты инерции относительно осей Ox, Oy}
+
+Моментом инерции материальной точки $A$ относительно оси $l$ называется число $md^2$, где $m$ — масса точки, а $d$ — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.
+
+Пусть $\Gamma$ — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине $dl$, а момент инерции $dl_x$ такого участка относительно оси абсцисс равен $y^2 dl$. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:
+\[ I_x=\int\limits_{0}^{l} y^2\,dl. \text { Так же доказывается, что } I_y= \int\limits_{0}^{l} x^2\,dl \text{ и } I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(x^2+y^2\bigr)dl, \]
+где $I_0$ — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что $I_0 = I_x + I_y$.
+
+Если линия $\Gamma$ задана параметрическими уравнениями:
+
+$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant l$, то
+$I_x=\int\limits_{0}^{l} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.$
+
+Аналогичные формулы справедливы для $I_y$ и $I_0$:
+
+\[ I_y=\int\limits_{0}^{l} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2 + \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,; \]
+\[ \qquad I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\, \]
+\subsection{Координаты центра тяжести}
+
+Центром тяжести материальной плоской кривой $y = f(x), x \in [a; b]$ называется точка плоскости,
+обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу $m$ заданной кривой,
+то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой $y = f(x)$ относительно той же оси.
+Обозначим через $C (x_c ; y_c)$ центр тяжести кривой AB. Тогда координаты центра тяжести вычисляются по следующим формулам:
+
+\[ x_c = \frac{\int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx} ; \;
+y_c = \frac{\int\limits_a^b y \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}\]
+
+Также имеет место следующие две формулы для определения центра тяжести дуги окружности:
+
+\[ x_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} x dl ; \; y_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} y dl\]
+
+где $l$ - длина дуги.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file |