From 5e94dedcc44c77327b37f34792bc1a47a5be60a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew <saintruler@gmail.com>
Date: Wed, 22 Apr 2020 22:22:29 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=20=D0=BB?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0=D0=B1=D0=BE=D1=80=D0=B0=D1=82=D0=BE=D1=80=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=D0=B5=20=D0=BF=D0=BE=20=D1=84=D0=B8=D0=B7=D0=B8=D0=BA=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 physics/double_pendulum/pendulum.tex | 476 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 476 insertions(+)
 create mode 100644 physics/double_pendulum/pendulum.tex

(limited to 'physics/double_pendulum/pendulum.tex')

diff --git a/physics/double_pendulum/pendulum.tex b/physics/double_pendulum/pendulum.tex
new file mode 100644
index 0000000..f0e53e0
--- /dev/null
+++ b/physics/double_pendulum/pendulum.tex
@@ -0,0 +1,476 @@
+\documentclass{beamer}
+
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{tempora}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usetheme{Madrid}
+
+\title{Двойной математический маятник}
+\author{Гущин Андрей, 131 группа, факультет КНиИТ}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Определение}
+
+\begin{columns}
+    \column{0.6\textwidth}
+
+    \textbf{Двойным маятником} называются два скрепленных
+    математических маятника, двигающихся в одной
+    плоскости, причем точка привеса первого маятника 
+    неподвижна, а точка привеса второго маятника 
+    совпадает с тяжелой материальной точкой первого маятника.
+
+    \column{0.4\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.5\textheight]{Double-Pendulum.png}
+        \caption{Схема двойного маятника}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Математическая модель}
+
+\begin{columns}
+    \column{0.6\textwidth}
+    Обозначим как $O_1$ и $O_2$ точки привеса, $l_1$ и $l_2$ длины,
+    $Q_1$ и $Q_2$ веса первого и второго маятника соответственно.
+
+    В качестве обобщенных координат этой системы выберем углы
+    $\varphi_1$ и $\varphi_2$, которые составляют соответственно
+    $l_1$ и $l_2$ с вертикалью.
+
+    \column{0.4\textwidth}
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics{pendulum.png}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Кинетическая энергия системы}
+
+    Подсчитаем кинетическую энергию системы $T$, которая
+    состоит из суммы кинетических энергий первого маятника $T_1$
+    и второго маятника $T_2$.
+
+    \[ T_1 = \frac{Q_1 l_1}{2g} \dot{\varphi_1}^2 \]
+
+    \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} v^2 \]
+    где $v$ -- скорость точки $Q_2$. Вектор скорости $v$ можно рассматривать
+    как сумму вектора вразательной скорости $v'$ точки $Q_2$ вокруг точки
+    $O_2$ и вектора $v_{02}$ скорости точки $O_2$:
+    \[ v = v' + v_{02} \]
+
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+    Вектор $v'$ перпендикулярен к $l_2$ и вектор $v_{02}$ перпендикулярен
+    к $O_1 O_2$ $\implies$ из треугольника, образованного векторами
+    $v'$, $v_{02}$ и $v$, видно, что угол между $v'$ и $v_{02}$ будет
+    равен $\pi - (\varphi_1 - \varphi_2)$, откуда
+    \[ v^2 = v'^2 + v_{02}^2 + 2v' v_{02} \cos (\varphi_1 - \varphi_2) \]
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.6\textwidth] {vectors.png}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+    Но $v' = l_1 \dot{\varphi_2}$, $v_{02} = l_2 \dot{\varphi_1}$ и для 
+    малых колебаний можно принять $\cos (\varphi_1 - \varphi_2) = 1$, тогда
+    \[ v^2 = l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+    Из данных вычислений получаем
+    \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2}\]
+
+    Кинетическую энергию системы теперь запишем в виде:
+    \[ 
+        T = \frac{Q_1 l_1^2 + Q_2 l_1^2}{2g} \dot{\varphi_1}^2 +
+        \frac{Q_2 l_2^2}{2g} \dot{\varphi_2}^2 +
+        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2}
+    \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Потенциальная энергия системы}
+
+    Так как рассматриваемая система находится под действием сил тяжести,
+    то потенциальная энергия системы будет равна
+    \[ P = Q_1 h_1 + Q_2 h_2 \]
+    где $h_1$ и $h_2$ -- высота точек $m_1$ и $m_2$, под некоторым
+    произвольно выбранным уровнем, который расположен на расстоянии
+    $l_1 + l_2$ от точки $O_1$, тогда
+    \[ h_1 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 \]
+    \[ h_2 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 - l_2 \cos \varphi_2 \]
+
+    Разлагая косинусы в ряд и ограничиваяст в этих разложениях вторыми
+    степенями малых углов отклонения, получим:
+    \[ 
+        P = Q_1 \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + 
+        Q_2 \left( \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + \frac{l_2}{2} \varphi_2^2 \right) 
+    \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Уравнения движения и их интегрирование}
+
+    Зная кинетическую и потенциальную энергию системы, запишем
+    уравнения движения системы (уравнения Лагранжа второго рода)
+    в виде:
+    \[ 
+        \frac{Q_1 + Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_1 + 
+        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_2} +
+        (Q_1 + Q_2) l_1 \varphi_1 = 0
+    \]
+
+    \[
+        \frac{Q_2 l_2^2}{g} \ddot{\varphi_2} +
+        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \varphi_1 +
+        Q_2 l_1 \varphi_2 = 0
+    \]
+
+    Коэффициенты этих уравнения обозначаются в виде
+
+    \[
+        a_{11} = \frac{Q_1 + Q_2}{g} l_1^2, \,
+        a_{12} = \frac{Q_1 l_1 l_2}{g}, \,
+        a_{22} = \frac{Q_2 l_2^2}{g},
+    \]
+    \[
+        c_{11} = (Q_1 + Q_2) l_1, \,
+        c_{22} = Q_2 l_2, \,
+        (c_{12} = 0)
+    \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Уравнение частот}
+
+    Запишем уравнение частот:
+    \[ 
+        \left( \frac{g}{l_1} - k^2 \right) \left( \frac{g}{l_2} - k^2 \right) -
+        k^4 \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = 0
+    \]
+
+    Введем обозначения:
+    \[
+        \frac{g}{l_1} = n_1^2, \,
+        \frac{g}{l_2} = n_2^2, \,
+        \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = \chi^2
+    \]
+
+    Тогда уравнение частот примет вид:
+    \[ (n_1^2 - k^2) (n_2^2 - k^2) - \chi^2 k^4 = 0 \]
+    \[ (1 - \chi^2) k^2 - (n_1^2 - n_2^2) k^2 + n_1^2 n_2^2 = 0 \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+    Корнями уравнения частот являются:
+    \[
+        k_{1,2}^2 = \frac{1}{2 (1 - \chi^2)}
+        \left( n_1^2 + n_2^2 \pm \sqrt{(n_2^2 - n_1^2)^2 + 4 \chi^2 n_1^2 n_2^2} \right)
+    \]
+    
+    Выражения, определяющие $k_1^2$ и $k_2^2$, будут положительны.\
+    Значения $k_1$ и $k_2$ определяют собственные частоты системы.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Уравнения главных колебаний}
+
+    Уравнениями главных колебаний системы в рассматриваемом случае являются:
+
+    \[ \varphi_1^{(1)} = C_1 (c_{11} - k_1^2 a_{11}) \sin (k_1 t + \alpha_1) \]
+    \[ \varphi_2^{(1)} = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) \]
+
+    \[ \varphi_1^{(2)} = C_2 (c_{11} - k_2^2 a_{11}) \sin (k_2 t + \alpha_2) \]
+    \[ \varphi_2^{(2)} = C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2) \]
+
+    где $C_1$, $C_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ -- произвольные постоянные,
+    подлежащие определению из начальных условий.
+    
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+    Отношение амплитуд главных колебаний будет:
+
+    \[ 
+        \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_1^2}, \,
+        \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_2^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_2^2}
+    \]
+    
+    Но так как $\frac{c_{11}}{a_{11}} = n_1^2$, то
+
+    \[ 
+        \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_1^2}, \,
+        \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_2^2}
+    \]
+
+    Из этих равенств следует, что 
+    \[ n_1^2 > k_1^2, \, n_2^2 > k_1^2 \]
+    \[ k_2^2 > n_1^2, \, k_2^2 > n_2^2 \]
+
+    Поэтому \[ \beta_1 > 0, \, \beta_2 < 0 \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+\begin{columns}
+    
+    \column{0.5\textwidth}
+
+    Имеем, что при главном колебании низшей частоты $k_1$ знаки $\varphi_1$ и
+    $\varphi_2$ одинаковы, а при колебаниях высшей частоты $k_2$ знаки 
+    $\varphi_1$ и $\varphi_2$ различны. Это означает, что в первом главном 
+    колебании прямые $l_1$ и $l_2$ отклоняются в одну сторону от вертикали и
+    отношение углов отклонения при этом остается постоянным 
+    $\varphi_1^{(1)} = \beta_1 \varphi_2^{(1)}$.
+
+    \column{0.5\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.35\textheight]{two_states.png}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+\end{columns}
+
+    Во втором главном колебании отклонение указанных прямых происходит по 
+    разные стороны от вертикали и отношение углов также остается неизменным
+    $\varphi_1^2 = \beta_2 \varphi_2^2$.
+    
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+
+    Общее решение исходной системы дифференциальных уравнений будет вида:
+    \[ 
+        \varphi_1 = C_1 (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \sin (k_1 t + \alpha_1) + 
+        C_2 (c_{22} - k_2 a_{22}) \sin (k_2 t + \alpha_2)
+    \]
+    \[
+        \varphi_2 = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) + 
+        C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2)
+    \]
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Главные координаты}
+
+    Введем новые переменные:
+    \[
+        \Theta_1 = C_1 \sin (k_1 t + \alpha_1), \,
+        \Theta_2 = C_2 \sin (k_2 t + \alpha_2)
+    \]
+
+    Тогда
+    \[ \varphi_1 = (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \Theta_1 + (c_{22} - k_2^2 a_{22}) \Theta_2 \]
+    \[ \varphi_2 = k_1^2 a_{12} \Theta_1 - k_2^2 a_{12} \Theta_2 \]
+
+    Из этого следует, что новые переменные полностью описывают движение
+    рассматриваемой механической системы, следовательно, их можно выбрать в
+    качестве обобщенных координат системы.
+
+    Приведённые ранее выражения для $\beta_1$ и $\beta_2$ указывают, что
+    $\Theta_1$ и $\Theta_2$ являются главными координатами системы.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Применение}
+
+    Конструкции, похожие на двойной маятник зачастую применяют в местах,
+    где необходимо уменьшить амплитуду механических вибраций. Такие вибрации
+    могут причинять дискомфорт, урон или даже полный отказ системы.
+
+\begin{columns}
+
+    \column{0.6\textwidth}
+
+    Как пример можно привести небоскрёбы, в которых применяются 
+    \textbf{инерционные демпферы}. Как правило, демпферы представляют собой 
+    огромные бетонные или стальные блоки, установленные в небоскребах или
+    других конструкциях и перемещаемые для компенсации резонансной 
+    частоты колебаний конструкции с помощью пружин, жидкости или маятников. 
+
+    \column{0.4\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.35\textheight]{taipei_101.jpg}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+    
+
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Применение}
+
+\begin{columns}
+    
+    \column{0.4\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.4\textheight]{Taipei_101_Tuned_Mass_Damper.png}
+        \caption{Демпфер в небоскребе Тайбэй 101}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+    \column{0.6\textwidth}
+
+    В таких конструкциях в качествет основного \textit{обратного} маятника
+    выступает само здание, а дополнительная масса прикреплена для завершения
+    двойного маятника.
+
+    Когда верх здания приходит в движение, гигантский шар, раскачивается
+    подобно гигантскому маятнику. Он ударяет по масленым амортизаторам,
+    которые рассеивают энергию колебаний. Таким образом, когда здание
+    отклоняется в одну сторону, маятник двигается в другую, сокращая,
+    таким образом, раскачивание небоскрёба.
+
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Применение}
+
+\begin{columns}
+    
+    \column{0.6\textwidth}
+
+    Похожую конструкцию имеют плавающие маяки, где в качестве главного маяка
+    выступает сам поплавок, а вторым маятником является фонарь.
+
+    \column{0.4\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.5\textheight]{mayak.png}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+\end{columns}
+
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Применение}
+
+    Еще один пример двойного маятника мы имеем в колоколе. В 1876 году в Кёльне
+    имел место случай, на первый взгляд очень странный, -- не удавалось
+    заставить звонить большой колокол, только что подвешенный тогда на башне
+    собора: когда пытались звонить, язык совершал относительно колокола
+    столь малые колебания, что не удавалось произвести удара, хотя язык и был
+    достаточно длинен для того, чтобы достать до стенок колокола. На основе
+    предыдущих рассуждений было установлени, что для этого колокола 
+    $l_1 - l = 65.3$см и $\lambda = 66.7$см, так что при ничтожности массы
+    языка по сравнению с массой колокола приближенной равенство их фоз
+    было обнаружено из совпадения этих значений.
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Применение}
+
+\begin{columns}
+    
+    \column{0.7\textwidth}
+
+    Двойной маятник подвергается \textbf{хаотическому движению}, 
+    и его движение очень чувствительно к начальным значениям. На картинке
+    показано количество времени, которое должно пройти перед тем, как маятник
+    перевернется как функция от начальной позиции. Цвет каждого пикселя
+    показывает перевернется ли маятник в течение
+    \begin{itemize}
+        \item $10 \sqrt{l / g}$ секунд (зеленый)
+        \item $100 \sqrt{l / g}$ секунд (красный)
+        \item $1000 \sqrt{l / g}$ секунд (фиолетовый)
+        \item $10000 \sqrt{l / g}$ секунд (синий)
+    \end{itemize}
+
+    Начальные значения, которые не ведут к перевороту в течение $10000 \sqrt{l / g}$
+    нарисованы белым цветом.
+
+    \column{0.3\textwidth}
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[height=0.4\textheight]{Double_pendulum_flips_graph.png}
+        \caption{}
+        \label{}
+    \end{figure}
+
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Источники}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Голубева, О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. - Москва: ``Высшая школа'', 1968. - 487с.
+        \item Леви-Чивита, T. Курс теоретической механики / Т. Леви-Чивита, У. Амальди - Москва: ``Москва'', 1951. - 556с.
+        \item Аганова, А.Ю. Инерционный демпфер сердце тейбей 101 / А.Ю. Аганова, Н.Д. Комарова // Инновационная наука. - 2015.
+        \item https://en.wikipedia.org/wiki/Double\_pendulum
+        \item https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned\_mass\_damper
+    \end{itemize}
+
+\end{frame}
+
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.3

