From 771eb7d246ed5fd03594361232fdc3239c2fea29 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew <saintruler@gmail.com>
Date: Wed, 6 May 2020 19:44:04 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=BF=D0=B8=D1=81=D0=B0=D0=BB=20=D0=BB?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0=D0=B1=D1=83=20=D0=BF=D0=BE=20=D1=84=D0=B8=D0=B7=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=BA=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 physics/lab5/lab5.tex | 113 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 107 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'physics/lab5/lab5.tex')

diff --git a/physics/lab5/lab5.tex b/physics/lab5/lab5.tex
index 7f85905..558c2f3 100644
--- a/physics/lab5/lab5.tex
+++ b/physics/lab5/lab5.tex
@@ -55,7 +55,7 @@
 \usepackage{array}
 \usepackage[english,russian]{babel}
 
-\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+% \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
 \usepackage{url}
 
 \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
@@ -73,7 +73,7 @@
 \chair{}
 
 % Тема работы
-\title{Измерение скорости полета пули}
+\title{Измерение ускорения силы тяжести}
 
 % Курс
 \course{1}
@@ -162,10 +162,10 @@ $a_2$ для вычислений.
     \label{fig:plot}
 \end{figure}
 
-По рабочей формуле (\ref{fml:working}) вычислил значение ускорения свободного
+По рабочей формуле (\ref{eq:working}) вычислил значение ускорения свободного
 падения $g$ и занёс в табл. \ref{tbl:results}.
 \begin{equation}
-    \label{fml:working}
+    \label{eq:working}
     g = \frac{4 \pi^2 (a_1 + a_2)}{T_0^2}
 \end{equation}
 
@@ -214,7 +214,7 @@ $a_2$ для вычислений.
     \label{tbl:results}
 \end{table}
 
-Табличное значние $g = 981$ см/с$^2$. Полученное значение $g = 1026.9$ 
+Табличное значние $g = 981$ см/с$^2$. Полученное значение $g = 1026.9$ см/с$^2$
 отличается от него на $4.68\%$.
 
 \subsection{Вывод}
@@ -240,19 +240,120 @@ $a_2$ для вычислений.
         Полный период колебаний физического маятника:
         \begin{equation}
             T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{Pa}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mga}}
+            \label{eq:phys_pend}
         \end{equation}
 
-        % ДОПИСАТЬ
+        Для случая математического маятника-грузика малых размеров имеем $a = l$
+        и $I = ml^2$, где $m$ и $l$ -- соответственно масса грузика и длина
+        нити маятника. Тогда получим:
+
+        \begin{equation}
+            T = 2 \pi \sqrt{\frac{m l^2}{mgl}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
+            \label{eq:math_pend}
+        \end{equation}
+        
+        Отсюда вытекает, что периоды колебаний физического и математического
+        маятников будут равны, если $l = \frac{I}{ma}$.
+
+        Эта величина носит название ``приведённой длины физического маятника''
+        и равна длине математического маятника с тем же периодом колебаний.
+        
+        Но данные соотношения справедливы лишь для малых углов отклонения.
+        В противном случае период колебания будет зависеть от угла $\varphi$.
+        Таким образом, период колебаний математического маятника:
+
+        \begin{equation}
+            T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
+            \left(
+                1 + \frac{1}{4} \sin^2 \frac{\varphi}{2}
+            \right)
+            \label{eq:math_pend_phi}
+        \end{equation}
+
+        Преобразуем выражение (\ref{eq:phys_pend}). По теореме Штейнера момент
+        инерции тела $I$ можно представить как
+
+        \begin{equation*}
+            I = I_0 + ma^2
+        \end{equation*}
+
+        где $I_0$ -- момент инерции тела относительно оси, параллельной оси
+        вращения и проходящей через точку $a$ -- центр тяжести тела.
+
+        Тогда формула (\ref{eq:phys_pend}) примет вид
+        \begin{equation}
+            T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a^2}{mga}}
+            \label{eq:phys_pend_2}
+        \end{equation}
+
+        При достаточно малых значениях $a$, когда выполняется условие 
+        $ma_2 << l_0$ из равенства (\ref{eq:phys_pend_2}) имеем
+        \begin{equation}
+            T \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{l_0}{mga}} \sim a^{-\frac{1}{2}}
+        \end{equation}
+
+        Следовательно, с увеличением значения $a$ значение периода колебания $T$
+        будет уменьшаться. При небольших значениях $a$ рост момента инерции не
+        оказывает решающего влияния на изменение периода колебаний, и 
+        наблюдается спад кривой. Но начиная с $a = a_0$, рост момента инерции
+        оказывает большее влияние на период колебаний, чем влияние возвращающего
+        момента $M$, и имеет место подъём кривой (рис. \ref{fig:curve}).
+
+        \begin{figure}[H]
+            \centering
+            \includegraphics[width=0.5\textwidth]{curve.png}
+            \caption{}
+            \label{fig:curve}
+        \end{figure}
 
     \item
         \textit{Что такое ускорение силы тяжести и какими факторами оно
         определяется?}
 
+        Ускорение силы тяжести (или ускорение свободного падения) -- ускорение, 
+        придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других 
+        сил.
+
+        Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты, 
+        времени суток, атмосферного давления и других факторов. Приблизительно 
+        оно может быть вычислено (в м/с$^2$) по эмпирической формуле:
+        \begin{equation*}
+            g = 9.780318  \cdot
+            (1 + 0.005302 \sin^2 \varphi - 0.000006 \sin^2 2 \varphi)
+            - 0.000003086 h
+        \end{equation*}
+        где $\varphi$ -- широта рассматриваемого места,
+        $h$ -- высота над уровнем моря в метрах.
+
+        В соответствии с законом всемирного тяготения, оно вычисляется по формуле
+        \begin{equation*}
+            g = G \frac{M}{(r + h)^2}
+        \end{equation*}
+        где $G$ -- гравитационная постоянная, $M$ -- масса планеты,
+        $r$ -- радиус планеты, $h$ -- высота тела над поверхностью планеты.
+
     \item
         \textit{Как определить ускорение силы тяжести по кривой зависимости 
         периода колебаний маятника-стержня от расстояния между точкой подвеса
         и центром тяжести маятника?}
 
+        Если маятник подвешен сначала на расстоянии $a_1$ от центра тяжести, а 
+        затем на расстоянии $a_2$, то соответствующие периоды будут иметь вид        
+        \begin{equation}
+            \left.
+            \begin{array}{lr}
+                T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a_1^2}{m g a_1}} \\
+                T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a_2^2}{m g a_2}}
+            \end{array} \right\}
+            \label{eq:t_system}
+        \end{equation}
+        
+        Из системы (\ref{eq:t_system}), исключив $I_0$ можно определить величину
+        $g$ -- ускорение свободного падения:
+        \begin{equation}
+            \frac{4 \pi^2 (a_1^2 - a_2^2)}{a_1 T_1^2 - a_2 T_2^2}
+        \end{equation}
+
     \item
         \textit{Каковы причины систематической погрешности при избранном методе
         измерения ускорения?}
-- 
cgit v1.2.3

