From b0a73327ce9f549d8df681859344685ac06828cf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrew Date: Thu, 5 Nov 2020 04:32:52 +0400 Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=20=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D1=84=D0=B5=D1=80=D0=B0=D1=82=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BC?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=82=D0=B0=D0=BD=D1=83?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- refmat/refmat.tex | 384 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 384 insertions(+) create mode 100644 refmat/refmat.tex (limited to 'refmat/refmat.tex') diff --git a/refmat/refmat.tex b/refmat/refmat.tex new file mode 100644 index 0000000..b17262b --- /dev/null +++ b/refmat/refmat.tex @@ -0,0 +1,384 @@ +\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks} +% параметр - тип обучения - одно из значений: +% spec - специальность +% bachelor - бакалавриат (по умолчанию) +% master - магистратура +% параметр - форма обучения - одно из значений: +% och - очное (по умолчанию) +% zaoch - заочное +% параметр - тип работы - одно из значений: +% referat - реферат +% coursework - курсовая работа (по умолчанию) +% diploma - дипломная работа +% pract - отчет по практике +% параметр - включение шрифта +% times - включение шрифта Times New Roman (если установлен) +% по умолчанию выключен +\usepackage{subfigure} +\usepackage{tikz,pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.5} +\usepackage{float} + +%\usepackage{titlesec} +\setcounter{secnumdepth}{4} +%\titleformat{\paragraph} +%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{} +%\titlespacing*{\paragraph} +%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex} + +\titleformat{\paragraph}[block] +{\hspace{1.25cm}\normalfont} +{\theparagraph}{1ex}{} +\titlespacing{\paragraph} +{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex} + +% --------------------------------------------------------------------------% + + +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphicx} +\graphicspath{ {./images/} } +\usepackage{tempora} + +\usepackage[sort,compress]{cite} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{fancyvrb} +\usepackage{listings} +\usepackage{listingsutf8} +\usepackage{longtable} +\usepackage{array} +\usepackage[english,russian]{babel} + +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\usepackage{url} + +\usepackage{underscore} +\usepackage{setspace} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{tikz} + +\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}} +\newcommand{\specialcell}[2][c]{% +\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}} + +\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}} + +\newtheorem{lem}{Лемма} + +\begin{document} + +% Кафедра (в родительном падеже) +\chair{} + +% Тема работы +\title{Геометрические и физические приложения определенного интеграла} + +% Курс +\course{2} + +% Группа +\group{231} + +% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ") +\department{факультета КНиИТ} + +% Специальность/направление код - наименование +%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия} +%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем} +%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника} +%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия} +\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность} + +% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна. +% \studenttitle{Студентки} + +% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже +\author{Гущина Андрея Юрьевича} + +% Заведующий кафедрой +% \chtitle{} % степень, звание +% \chname{} + +%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу) +\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание +\saname{Е. В. Разумовская} + +% Руководитель практики от организации (только для практики, +% для остальных типов работ не используется) +% \patitle{к.ф.-м.н.} +% \paname{С.~В.~Миронов} + +% Семестр (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\term{8} + +% Наименование практики (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\practtype{преддипломная} + +% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики, +% для остальных типов работ не используется) +%\duration{4} + +% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\practStart{30.04.2019} +%\practFinish{27.05.2019} + +% Год выполнения отчета +\date{2020} + +\maketitle + +% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам +% (по умолчанию - нумерация сквозная) +% (допускается оба вида нумерации) +% \secNumbering + +%------------------------------------------------------------------------------------------- +\intro +\subsection*{Определение определенного интеграла Римана.} + +Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, +и является одной из первых формализаций понятия интеграла. + +Пусть $f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. Обозначим буквой $R$ разбиение $[a; b]$ на $n$ частичных отрезков +с помощью несовпадающих точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$ (т.е. $R = \left\{x_i\right\}$). +Обозначим $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$ "--- длину частичного отрезка разбиения $[x_i ; x_{i+1}]$, +а $\Delta = max$ $\Delta x_i$ (где $0 \leq i \leq n - 1$) "--- диаметр разбиения. + +Возьмем произвольную точку $\xi_i \in [x_i ; x_{i+1}]$ $\forall i = 0, n-1$ и составим интегральную сумму +$S_R (\xi) = f(\xi_0)\Delta x_0 + \cdots + f(\xi_{n-1})\Delta x_{n-1} = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i)\Delta x_i$. + +Если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0$ $: \forall R$ $: \Delta < \delta$, +где $\forall \xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)$ выполняется $|S_R(\xi) - S| < \varepsilon$, то $f(x)$ называется +интегрируемой на отрезке $[a; b]$, а S собственно называют интегралом Римана от $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и обозначают $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$. + +Смысл этого определения также в том, что $\exists \displaystyle\lim_{\Delta \to 0}S_R(\xi) = S < \infty$ и $S$ +не зависит ни от выбора $R$, ни от выбора $\xi_i$. + +\subsection*{Геометрический смысл определенного интеграла Римана.} + +Пусть $f(x) > 0$ на отрезке $[a; b]$. Рассмотрим график $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$. +Величина $f(\xi_i)\Delta x_i$ равна площади прямоугольника со сторонами $f(\xi_i)$ и $\Delta x_i$. +Сумма $S_R(\xi)$ есть площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников. + +Тогда при $\Delta \to 0$ получаем, что $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = S_G$ равен площади фигуры, +ограниченной $y = f(x), y = 0, x = a, x = b$ и называемой \textbf{криволинейной трапецией}. +Если $f(x) < 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -S_G$, а если же $f(x)$ на $[a; b]$ меняет свой знак, +то интеграл равен сумме площадей криволинейных трапеций. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/geomsmisel.png} + \caption{Криволинейная трапеция} + \end{figure} + +\subsection*{Свойства определенного интеграла} + +Пусть $f(x), g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a; b]$. Положим $\int\limits_{a}^{a} f(x)dx = 0$, +$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a} f(x)dx$. Определенный интеграл обладает следующими свойствами: + +\begin{enumerate} + \item $\int\limits_{a}^{b} (c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x))dx = c_1 \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x)dx + c_2 \cdot \int\limits_{a}^{b} g(x)dx $ + \item $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx$ + \item Если $f(x) \geq g(x)$ на $[a, b] \implies \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geq \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$ + \item Если $g(x) \geq 0$ на $[a, b]$, $m = inf_{[a, b]} f(x), M = sup_{[a, b]} f(x) \implies$ + + $\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot g(x)dx = \mu \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$, где $m \leq \mu \leq M$ +\end{enumerate} + +\section{Вычисление площадей плоских областей} + +\subsection{Площадь фигуры в прямоугольных координатах} +Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом +\[\int\limits_{a}^{b} (y_2(x) - y_1(x)) dx = S\] от разницы кривых, где одна из них всегда принимает +не меньшие значения чем другая ($y_2(x) \geq y_1(x)$), а также кривые непрерывны. +Пределы интегрирования -- прямые $x_1 = a$, $x_2 = b$ -- ограничивают фигуру ($a < b$, чаще всего это точки пересечения заданных кривых). + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/rectS.png} + \caption{Фигура, ограниченная двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми} + \end{figure} + +\subsection{Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде} +Если имеем $x = x(t), y = y(t)$ -- параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой +кривой на промежутке $[0;T]$, что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой, то ее площадь $S$ находим формулой +\[ S = - \int\limits_{0}^{T} x'(t)y(t)dt = \int\limits_{0}^{T} x(t)y'(t)dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{T} [x(t)y'(t) - x'(t)y(t)]dt \] + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/parS.png} + \caption{Фигура, ограниченная кривой, заданной в параметрическом виде} + \end{figure} + +\subsection{Площадь фигуры в полярных координатах} +Площадь $S$ криволинейного сектора $OAB$, ограниченного непрерывной кривой $r = r(\phi)$ +и двумя лучами $\phi = \alpha$ и $\phi = \beta$, где $\alpha < \beta$ равняется половине определенного интеграла от +квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла: +\[ S = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^2 (\phi) d\phi \] + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/polarS.png} + \caption{Cектор, ограниченный кривой и двумя полуполярными углами} + \end{figure} + +\section{Вычисление длины дуги кривой} + +\subsection{Длина дуги в прямоугольных координатах} +Пусть некоторая функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что тоже самое, дугу кривой $AB$: + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/img7.png} + \caption{Кривая AB} + \end{figure} + +В предположение о непрерывности производной $f'(x)$ на $[a; b]$, длина кривой $AB$ выражается формулой: + +\[L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \text{, или же } L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx\] + +\newpage +\subsection{Длина дуги кривой, заданной параметрически} +Если кривая $C$ задана уравнениями $x = x (t), y = y(t)$ $(t \in [t_0 ; T])$, где $x(t)$ и $y(t)$ +непрерывные на $[t_0 ; T]$ функции, то длина дуги кривой $C$ равняется определенному интегралу: + +\[l = \int\limits_{t_0}^{T} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt\] + +\subsection{Длина дуги в полярных координатах} +Если кривая задана уравнением $r = r(\phi), (\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2)$ в полярной системе координат, +где функция является гладкой непрерывной на промежутке $r (\phi) \in C^1 [\phi_1 ; \phi_2]$, +тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле + +\[l = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{(r(\phi))^2 + (r'(\phi))^2} d\phi\] + +\section{Вычисление площади поверхности вращения} + +\subsection{Площадь поверхности вращения в декартовой системе координат} + +Площадь поверхности $P$, что образована вращением гладкой кривой $AB$ вокруг оси $Ox$, где $y(x)$ -- непрерывная гладкая функция ($y = f(x)$), равняется + +\[P = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| ds = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx \] +, где $ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx $ -- дифференциал дуги. + +\subsection{Площадь поверхности вращения в параметрическом виде} + +Если $x = x(t), y = y(t)$ и $ t_0 \leq t \leq T$ (т.е. кривая задана параметрически), то площадь поверхности можно высчитать следующим образом: +\[ P = 2 \pi \int\limits_{t_0}^{T} y(t) \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+ \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt \] + +\subsection{Площадь поверхности вращения в полярных координатах} + +Если кривая задана в полярных координатах уравнением $\rho= f (\phi)$, где $\alpha \leq \phi \leq \beta$, +а функция $f(\phi)$ имеет непрерывную производную $f'(\phi)$ на $[\alpha;\beta]$, то, учитывая, что $y = \rho\sin\phi= f(\phi)\sin\phi$, получим: + +\[ P= 2 \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\phi \sqrt{(\rho'_{\phi})^2 + \rho^2}\,d\phi \] + +\section{Объем тела вращения} + +\subsection{Объем тела вращения в декартовом виде вокруг осей Ox, Oy} + +Пусть область, которую мы будем вращать, представляет собой самую классическую криволинейную трапецию. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/img6.png} + \caption{Криволинейная трапеция} + \end{figure} + +Естественно, что вращать её можно только вокруг оси Оx. Если же эту трапецию сдвинуть вправо по горизонтали так, +чтобы она не пересекала ось Oy, то её можно вращать и относительно этой оси. Получаем следующие формулы: +\[ V^{Ox} = \pi \int\limits_{a}^{b} y^2(x) dx ; \; V^{Oy} = 2 \pi \int\limits_{a}^{b} xy(x) dx \] + +\subsection{Объём тела вращения, заданное уравнением кривой в параметрическом виде} + +Пусть кривые заданы в параметрическом виде. Так как такие кривые являются замкнутыми, параметр t должен меняться таким образом, +чтобы замкнутая фигура при обходе её по кривой (границе) оставалась слева. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.55\textwidth]{img/img5.png} + \caption{Замкнутая кривая} + \end{figure} + +Тогда для вычисления объёмов тел вращения относительно оси ОХ или OY используются следующие формулы: +\[ V^{Ox} = - \pi \int\limits_{t_1}^{t^2} y^2(t) x' dt ; \; V^{Oy} = \pi \int\limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) dt\] + +\subsection{Объем тела вращения в полярных координатах} + +Если кривые заданы полярными координатами ($r = r (\phi)$), тогда будет справедлива следующая формуля расчета объема тела вращения: + +\[ V = \frac{2 \pi}{3} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^3 (\phi) sin \phi d \phi, \] где $0 \leq \alpha \leq \phi \leq \beta \leq \pi$. + +\section{Механические приложения} + +\subsection{Вычисление массы кривой} + +Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой $C$. +Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью $\rho (x, y, z)$. Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода +\[ m = \int\limits_{C} \rho (x, y, z) ds \] + +Если кривая $C$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой +\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dz}{dt} \right)^2} dt \] + +В случае плоской кривой, заданной в плоскости $Oxy$, масса определяется как +\[ m = \int\limits_C \rho(x, y) ds \] +или в параметрической форме +\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2} dt \] + +\subsection{Статические моменты относительно Ox, Oy} + +Статическим моментом точки относительно оси называется произведе-ние массы точки на расстояние до прямой. +Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна $\rho (x, y) = 1$ (тогда масса кривой равна ее длине), +и найдём статический момент кривой относительно оси Ox . Пусть кривая задана уравнением $y = y(x), a \leq x \leq b$. +Возьмем на кривой точку $(x, y)$ и вырежем из кривой элементарный участок длины $dl$, содержащий точку $(x, y)$. +Если считать массу участка, равную $dl$, сосредоточенной в точке $(x, y)$, то элементарный момент, +то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси Ox равен $dS = y \cdot dl$. +Тогда статический момент всей кривой относительно оси Ox, находится по последующей формуле: +\[ S_x = \int\limits_a^b y(x) \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \] + +Аналогичным образом выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси Oy: + +\[ S_y = \int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \] + +\subsection{Моменты инерции относительно осей Ox, Oy} + +Моментом инерции материальной точки $A$ относительно оси $l$ называется число $md^2$, где $m$ — масса точки, а $d$ — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки. + +Пусть $\Gamma$ — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине $dl$, а момент инерции $dl_x$ такого участка относительно оси абсцисс равен $y^2 dl$. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии: +\[ I_x=\int\limits_{0}^{l} y^2\,dl. \text { Так же доказывается, что } I_y= \int\limits_{0}^{l} x^2\,dl \text{ и } I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(x^2+y^2\bigr)dl, \] +где $I_0$ — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что $I_0 = I_x + I_y$. + +Если линия $\Gamma$ задана параметрическими уравнениями: + +$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant l$, то +$I_x=\int\limits_{0}^{l} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.$ + +Аналогичные формулы справедливы для $I_y$ и $I_0$: + +\[ I_y=\int\limits_{0}^{l} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2 + \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,; \] +\[ \qquad I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\, \] +\subsection{Координаты центра тяжести} + +Центром тяжести материальной плоской кривой $y = f(x), x \in [a; b]$ называется точка плоскости, +обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу $m$ заданной кривой, +то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой $y = f(x)$ относительно той же оси. +Обозначим через $C (x_c ; y_c)$ центр тяжести кривой AB. Тогда координаты центра тяжести вычисляются по следующим формулам: + +\[ x_c = \frac{\int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx} ; \; +y_c = \frac{\int\limits_a^b y \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}\] + +Также имеет место следующие две формулы для определения центра тяжести дуги окружности: + +\[ x_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} x dl ; \; y_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} y dl\] + +где $l$ - длина дуги. + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.3