From 3ca1285a414406d3fdfa35e8cd00a6e533a53e09 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrew Guschin Date: Wed, 24 Mar 2021 04:05:26 +0400 Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=20=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D1=84=D0=B5=D1=80=D0=B0=D1=82=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BC?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=82=D0=B0=D0=BD=D1=83=20"=D0=A4=D0=B8=D0=B7=D0=B8?= =?UTF-8?q?=D1=87=D0=B5=D1=81=D0=BA=D0=B8=D0=B5=20=D0=BF=D1=80=D0=B8=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=B6=D0=B5=D0=BD=D0=B8=D1=8F=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=B2?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=BB=D0=B8=D0=BD=D0=B5=D0=B9=D0=BD=D0=BE=D0=B3=D0=BE=20?= =?UTF-8?q?=D0=B8=D0=BD=D1=82=D0=B5=D0=B3=D1=80=D0=B0=D0=BB=D0=B0"?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- refmat2/refmat2.tex | 503 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 503 insertions(+) create mode 100644 refmat2/refmat2.tex (limited to 'refmat2/refmat2.tex') diff --git a/refmat2/refmat2.tex b/refmat2/refmat2.tex new file mode 100644 index 0000000..f9b3241 --- /dev/null +++ b/refmat2/refmat2.tex @@ -0,0 +1,503 @@ +\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks} +% параметр - тип обучения - одно из значений: +% spec - специальность +% bachelor - бакалавриат (по умолчанию) +% master - магистратура +% параметр - форма обучения - одно из значений: +% och - очное (по умолчанию) +% zaoch - заочное +% параметр - тип работы - одно из значений: +% referat - реферат +% coursework - курсовая работа (по умолчанию) +% diploma - дипломная работа +% pract - отчет по практике +% параметр - включение шрифта +% times - включение шрифта Times New Roman (если установлен) +% по умолчанию выключен +\usepackage{subfigure} +\usepackage{tikz,pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.5} +\usepackage{float} + +%\usepackage{titlesec} +\setcounter{secnumdepth}{4} +%\titleformat{\paragraph} +%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{} +%\titlespacing*{\paragraph} +%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex} + +\titleformat{\paragraph}[block] +{\hspace{1.25cm}\normalfont} +{\theparagraph}{1ex}{} +\titlespacing{\paragraph} +{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex} + +% --------------------------------------------------------------------------% + + +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphicx} +\graphicspath{ {./images/} } +\usepackage{tempora} + +\usepackage[sort,compress]{cite} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{fancyvrb} +\usepackage{listings} +\usepackage{listingsutf8} +\usepackage{longtable} +\usepackage{array} +\usepackage[english,russian]{babel} + +\usepackage[colorlinks=true]{hyperref} +\usepackage{url} + +\usepackage{underscore} +\usepackage{setspace} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{enumitem} +\usepackage{tikz} + +\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}} +\newcommand{\specialcell}[2][c]{% +\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}} + +\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}} + +\newtheorem{lem}{Лемма} + +\begin{document} + +% Кафедра (в родительном падеже) +\chair{} + +% Тема работы +\title{Физические приложения криволинейного интеграла} + +% Курс +\course{2} + +% Группа +\group{231} + +% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ") +\department{факультета КНиИТ} + +% Специальность/направление код - наименование +%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия} +%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем} +%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника} +%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия} +\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность} + +% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна. +% \studenttitle{Студентки} + +% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже +\author{Гущина Андрея Юрьевича} + +% Заведующий кафедрой +% \chtitle{} % степень, звание +% \chname{} + +%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу) +\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание +\saname{Е. В. Разумовская} + +% Руководитель практики от организации (только для практики, +% для остальных типов работ не используется) +% \patitle{к.ф.-м.н.} +% \paname{С.~В.~Миронов} + +% Семестр (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\term{8} + +% Наименование практики (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\practtype{преддипломная} + +% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики, +% для остальных типов работ не используется) +%\duration{4} + +% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных +% типов работ не используется) +%\practStart{30.04.2019} +%\practFinish{27.05.2019} + +% Год выполнения отчета +\date{2021} + +\maketitle + +% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам +% (по умолчанию - нумерация сквозная) +% (допускается оба вида нумерации) +% \secNumbering + +\tableofcontents + +%------------------------------------------------------------------------------------------- +\section{Криволинейный интеграл первого рода} + +\subsection{Определение} + +Пусть $s$ --- натуральный параметр кривой $\Gamma$, $0 \leq s \leq L$ и функция +$f(x)$, $(x \in \mathbb{R}^m)$ определена в точках кривой $\Gamma$. Определённый +интеграл +\begin{equation*} + \int_0^l f(x_1(s), x_2(s), \dots, x_n(s)) \; ds +\end{equation*} +(если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ +по кривой $\Gamma$ и обозначается +\begin{equation*} + \int_\Gamma f(x) \; ds +\end{equation*} + +Если вместо натурального параметра использоавать любой другой параметр +$t \in [a; b]$, то +\begin{equation*} + \int_\Gamma f(x) ds = \int_a^b f(x_1(t), \dots, x_m(t)) |x'(t)| dt +\end{equation*} +По сути, была повторена схема Римана: разбиваем кривую на произвольные частичные +дуги. На каждой дуге выбираем произвольную точку и составляем частичную сумму, +умножая значение функции в этой точке на длину частичной дуги этой кривой. +Если у суммы существует предел при стремлении диаметра к 0, и этот предел не +зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек, то он и называется +криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ по длине кривой. + + +\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла первого рода} + +\begin{enumerate} + \item + Для функций $f_1(x, y, z)$ и $f_2(x, y, z)$ и постоянных $c_1$ и $c_2$ + выполняется равенство + \begin{equation*} + \int_\Gamma (c_1 f_1(x, y, z) + c_2 f_2(x, y, z)) dt = + c_1 \int_\Gamma f_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma f_2(x, y, z) dt + \end{equation*} + + \item + Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то + \begin{equation*} + \int_\Gamma f(x, y, z) dt = + \int_{\Gamma_1} f(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} f(x, y, z) + \end{equation*} + + \item + Значение криволинейного интеграла на кривой не зависит от её ориентации: + \begin{equation*} + \int_{\Gamma^+} f(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} f(x, y, z) dt + \end{equation*} +\end{enumerate} + +\subsection{Вычисление криволинейного интеграла первого рода} + +Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит от +способа задания этой линии. + +\begin{enumerate} + \item + Линия задана в пространстве (или на плоскости) параметрически: + \begin{align*} + \begin{rcases*} + x = x(t) \\ + y = y(t) \\ + z = z(t) + \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\ + \int_\Gamma f(x, y, z) dt &= + \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot + \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt + \end{align*} + + На плоскости справедлива аналогичная формула: + \begin{equation*} + \int_\Gamma f(x, y) dt = + \int_a^b f(x(t), y(t)) \cdot + \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt + \end{equation*} + + \item + Линия $\Gamma$ задана на плоскости $XOY$ явно, то есть + $\Gamma: y = y(x), \, x \in [a; b] \implies$ + \begin{equation*} + \int_\Gamma f(x, y) \, dt = + \int_a^b f(x, y(x)) \cdot \sqrt{1 + (y_x')^2} \, dx + \end{equation*} + + \item + Линия $\Gamma$ задана на плоскости в полярной системе координат + уравнением $r = r(\varphi) \implies$ + \begin{align*} + x &= r(\varphi) \cdot \cos \varphi, + y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi,\\ + dt &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = + \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\varphi \implies\\ + \int_\Gamma f(x, y) \, dt &= + \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} f(r(\varphi) \cos \varphi, + r(\varphi \sin \varphi)) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\varphi + \end{align*} +\end{enumerate} + +\subsection{Применение криволинейного интеграла первого рода} + +\subsubsection{Масса материальной линии} + +Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$ +распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. +Тогда общую массу кривой можно вычислить через криволинейный интеграл +первого рода, с помощью формул, указанных в предыдущем разделе. + +Например, если кривая $\Gamma$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции +$\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой +\begin{equation*} + m = \int_a^b \rho(x(t), y(t), z(t)) + \sqrt{ + \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 + } dt +\end{equation*} + +А в случае кривой в пространтсве массу можно определить как +\begin{equation*} + m = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt +\end{equation*} + +\subsubsection{Момент инерции} + +Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$ +распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. +Тогда момент инерции кривой $\Gamma$ относительно некоторой оси $s$ равен +\begin{equation*} + I_s = \int_\Gamma R^2 (x, y, z) \cdot \rho(x, y, z) dl +\end{equation*} +где $R(x, y, z)$ --- расстояние от некоторой точки $M(x, y, z) \in \Gamma$ до +оси $s$. + +\subsubsection{Координаты центра масс} + +Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$ +распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. Тогда +центра масс этой кривой имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$: +\begin{equation*} + x_0 = \frac{m_x}{m(\Gamma)}, \, + y_0 = \frac{m_y}{m(\Gamma)}, \, + z_0 = \frac{m_z}{m(\Gamma)} +\end{equation*} +где $m(\Gamma) = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt$ --- масса кривой, а +\begin{align*} + m_x &= \int_\Gamma x \cdot \rho(x, y, z) dt, \\ + m_y &= \int_\Gamma y \cdot \rho(x, y, z) dt, \\ + m_z &= \int_\Gamma z \cdot \rho(x, y, z) dt +\end{align*} + +\section{Криволинейный интеграл второго рода} + +\subsection{Определение} + +Пусть +\begin{align*} + \overline{F}(x) + &= (F_1(x), F_2(x), \dots, F_m(x)) =\\ + &= (F_1(x_1, \dots, x_m), F_2(x_1, \dots, x_m), \dots, F_m(x_1, \dots, x_m)) +\end{align*} + +--- вектор-функция, причём её координаты функции $F_i(x)$ непрерывны в точках +кривой $\Gamma$. Тогда криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции +$\overline{F}(x)$ по кривой $\Gamma$ с уравнением $x = x(s), \, 0 \leq s \leq L$ +называется криволинейный интеграл первого рода следующего вида: + +\begin{equation*} + \int_0^L \overline{F}(x(s)) \cdot x'(s) \; dt +\end{equation*} + +где $\overline{F}(x(s)) \cdot x'(s)$ --- скалярное произведение двух векторов $=$ +\begin{equation*} + = \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x(s)) x_i'(s) = + \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x_1(s), \dots, x_m(s)) x_i'(s) +\end{equation*} + +Криволинейный интеграл второго рода обозначают следующим образом: +\begin{equation*} + \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m +\end{equation*} + +Пусть параметр $t$ даёт ту же ориентацию кривой, что и натуральный параметр $s$, +тогда +\begin{equation*} + \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m = + \int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt +\end{equation*} + +Если же этот параметр даёт противоположную ориентацию, то +\begin{equation*} + \int_\Gamma \sum_{i = 1}^m F_i dx_i = + -\int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt +\end{equation*} + +Таким образом, криволинейный интеграл второго рода зависит от ориентации кривой. + + +\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла второго рода} + +\begin{enumerate} + \item + Для вектор-функций $\vec{F}_1(x, y, z)$ и $\vec{F}_2(x, y, z)$ и + постоянных $c_1$ и $c_2$ выполняется равенство + \begin{equation*} + \int_\Gamma (c_1 \vec{F}_1(x, y, z) + c_2 \vec{F}_2(x, y, z)) \vec{d}s = + c_1 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) \vec{d}s + \end{equation*} + + \item + Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то + \begin{equation*} + \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) dt = + \int_{\Gamma_1} \vec{F}(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} \vec{F}(x, y, z) + \end{equation*} + + \item + Значение криволинейного интеграла на кривой зависит от её ориентации + (продемонстрировано в предыдущем пункте): + \begin{equation*} + \int_{\Gamma^+} \vec{F}(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} \vec{F}(x, y, z) dt + \end{equation*} +\end{enumerate} + +\subsection{Вычисление криволинейного интеграла второго рода} + +Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению +определённого интеграла. Найдём $d\vec{s}$ --- раскладывая этот вектор по +векторам канонического базиса, получаем +$d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}$ +Тогда получаем, что +\begin{align*} + \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz \\ + \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= + \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz +\end{align*} + +Далее, формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит +от способа задания этой линии. + +\begin{enumerate} + \item + Пусть кривая задана в пространстве парааметрически: + \begin{align*} + \begin{rcases*} + x = x(t) \\ + y = y(t) \\ + z = z(t) + \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\ + \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{t} &= + \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =\\ + &= \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + \\ + &+ Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t)] dt + \end{align*} + + Аналогично при задании кривой в плоскости. + + \item + Пусть кривая задана на плоскости графиком $y = y(x) \implies$ + \begin{align*} + \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &= + \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\ + &= \int_{x_1}^{x_2} [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x)] dx + \end{align*} + + \item + Пусть кривая задана на плоскости в полярной системе координат уравнением + $r = r(\varphi) \implies$ + \begin{align*} + x = r(\varphi) &\cdot \cos \varphi, \, + y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi \implies\\ + \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &= + \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\ + &= \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} [ + P(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \cos \varphi - r(\varphi) \sin \varphi) + \\ + &+ Q(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \sin \varphi - r(\varphi) \cos \varphi) + ] d\varphi + \end{align*} +\end{enumerate} + +\subsection{Применение криволинейного интеграла второго рода} + +\subsubsection{Механический смысл, работа силы} + +Работа силы --- мера действия силы, зависящая от её модуля и направления и от +перемещения точки приложения силы. Если сила $\vec{F}$ постоянна по модулю и +направлению, а перемещение $\vec{M_0 M_1} = \vec{s}$ прямолинейно, то работа +определяется равенством $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где +$\alpha$ --- угол между направлениями силы и перемещения. + +В общем случае для вычисления работы силы вводят понятие элементарное работы +$dA = |\vec{F}| \cdot |d\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где $d\vec{s}$ --- вектор +элементарного перемещения точки приложения силы. + +В декартовых координатах +\begin{align*} + d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}, \\ + \vec{F} = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k} +\end{align*} + +Элементарная работа будет равна +\begin{equation*} + dA = P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz +\end{equation*} + +Работа силы на конечном перемещении определяется как предел интегральной суммы +соответствующих элементарных работ и при перемещении по кривой $\Gamma$ выражается +криволинейным интегралом второго рода: +\begin{equation*} + \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} = + \int_\Gamma P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz +\end{equation*} + +Таким образом, криволинейный интеграл второго рода определяет значение работы +силы при перемещении по кривой точки единичной массы. + +\subsubsection{Закон Ампера} + +Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией $\vec{B}$ вдоль замкнутого +контура $\Gamma$ пропорционален полному току, протекающему через область, +ограниченную контуром $\Gamma$ (рис. \ref{fig:amper}). Это выражается формулой +\begin{equation*} + \int_\Gamma \vec{B} \cdot d\vec{r} = \mu_0 I +\end{equation*} +где $\mu_0$ --- магнитная проницаемость вакуума. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{amper.png} + \caption{} + \label{fig:amper} +\end{figure} + +\subsubsection{Закон Фарадея} + +Электродвижущая сила $\varepsilon$, наведённая в замкнутом контуре $\Gamma$ +равна скорости изменения магнитного потока $\psi$, проходящего через данный +контур (рис. \ref{fig:faraday}): +\begin{equation*} + \varepsilon = \int_\Gamma \vec{E} \cdot d\vec{r} = + -\frac{d\psi}{dt} +\end{equation*} + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{faraday.png} + \caption{} + \label{fig:faraday} +\end{figure} + + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.3