From 3ca1285a414406d3fdfa35e8cd00a6e533a53e09 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <saintruler@gmail.com>
Date: Wed, 24 Mar 2021 04:05:26 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=20=D1=80?=
 =?UTF-8?q?=D0=B5=D1=84=D0=B5=D1=80=D0=B0=D1=82=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BC?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=82=D0=B0=D0=BD=D1=83=20"=D0=A4=D0=B8=D0=B7=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D1=87=D0=B5=D1=81=D0=BA=D0=B8=D0=B5=20=D0=BF=D1=80=D0=B8=D0=BB?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=B6=D0=B5=D0=BD=D0=B8=D1=8F=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=B2?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=BB=D0=B8=D0=BD=D0=B5=D0=B9=D0=BD=D0=BE=D0=B3=D0=BE=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=D0=BD=D1=82=D0=B5=D0=B3=D1=80=D0=B0=D0=BB=D0=B0"?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 refmat2/refmat2.tex | 503 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 503 insertions(+)
 create mode 100644 refmat2/refmat2.tex

(limited to 'refmat2/refmat2.tex')

diff --git a/refmat2/refmat2.tex b/refmat2/refmat2.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9b3241
--- /dev/null
+++ b/refmat2/refmat2.tex
@@ -0,0 +1,503 @@
+\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}
+% параметр - тип обучения - одно из значений:
+%    spec     - специальность
+%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
+%    master   - магистратура
+% параметр - форма обучения - одно из значений:
+%    och   - очное (по умолчанию)
+%    zaoch - заочное
+% параметр - тип работы - одно из значений:
+%    referat    - реферат
+%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
+%    diploma    - дипломная работа
+%    pract      - отчет по практике
+% параметр - включение шрифта
+%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
+%               по умолчанию выключен
+\usepackage{subfigure}
+\usepackage{tikz,pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.5}
+\usepackage{float}
+
+%\usepackage{titlesec}
+\setcounter{secnumdepth}{4}
+%\titleformat{\paragraph}
+%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
+%\titlespacing*{\paragraph}
+%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}
+
+\titleformat{\paragraph}[block]
+{\hspace{1.25cm}\normalfont}
+{\theparagraph}{1ex}{}
+\titlespacing{\paragraph}
+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{tempora}
+
+\usepackage[sort,compress]{cite}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{fancyvrb}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{listingsutf8}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{array}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+\usepackage{url}
+
+\usepackage{underscore}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{indentfirst} 
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{tikz}
+
+\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
+\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
+\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}
+
+\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}
+
+\newtheorem{lem}{Лемма}
+
+\begin{document}
+
+% Кафедра (в родительном падеже)
+\chair{}
+
+% Тема работы
+\title{Физические приложения криволинейного интеграла}
+
+% Курс
+\course{2}
+
+% Группа
+\group{231}
+
+% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
+\department{факультета КНиИТ}
+
+% Специальность/направление код - наименование
+%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
+%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
+%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
+%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
+\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}
+
+% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
+% \studenttitle{Студентки}
+
+% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
+\author{Гущина Андрея Юрьевича}
+
+% Заведующий кафедрой
+% \chtitle{} % степень, звание
+% \chname{}
+
+%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
+\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание
+\saname{Е. В. Разумовская}
+
+% Руководитель практики от организации (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+% \patitle{к.ф.-м.н.}
+% \paname{С.~В.~Миронов}
+
+% Семестр (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\term{8}
+
+% Наименование практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practtype{преддипломная}
+
+% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+%\duration{4}
+
+% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practStart{30.04.2019}
+%\practFinish{27.05.2019}
+
+% Год выполнения отчета
+\date{2021}
+
+\maketitle
+
+% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
+% (по умолчанию - нумерация сквозная)
+% (допускается оба вида нумерации)
+% \secNumbering
+
+\tableofcontents
+
+%-------------------------------------------------------------------------------------------
+\section{Криволинейный интеграл первого рода}
+
+\subsection{Определение}
+
+Пусть $s$ --- натуральный параметр кривой $\Gamma$, $0 \leq s \leq L$ и функция
+$f(x)$, $(x \in \mathbb{R}^m)$ определена в точках кривой $\Gamma$. Определённый
+интеграл
+\begin{equation*}
+    \int_0^l f(x_1(s), x_2(s), \dots, x_n(s)) \; ds
+\end{equation*}
+(если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ 
+по кривой $\Gamma$ и обозначается
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma f(x) \; ds
+\end{equation*}
+
+Если вместо натурального параметра использоавать любой другой параметр 
+$t \in [a; b]$, то
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma f(x) ds = \int_a^b f(x_1(t), \dots, x_m(t)) |x'(t)| dt
+\end{equation*}
+По сути, была повторена схема Римана: разбиваем кривую на произвольные частичные
+дуги. На каждой дуге выбираем произвольную точку и составляем частичную сумму,
+умножая значение функции в этой точке на длину частичной дуги этой кривой.
+Если у суммы существует предел при стремлении диаметра к 0, и этот предел не
+зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек, то он и называется
+криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ по длине кривой.
+
+
+\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла первого рода}
+
+\begin{enumerate}
+    \item
+        Для функций $f_1(x, y, z)$ и $f_2(x, y, z)$ и постоянных $c_1$ и $c_2$
+        выполняется равенство
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma (c_1 f_1(x, y, z) + c_2 f_2(x, y, z)) dt =
+            c_1 \int_\Gamma f_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma f_2(x, y, z) dt
+        \end{equation*}
+
+    \item
+        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma f(x, y, z) dt = 
+            \int_{\Gamma_1} f(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} f(x, y, z)
+        \end{equation*}
+
+    \item 
+        Значение криволинейного интеграла на кривой не зависит от её ориентации:
+        \begin{equation*}
+            \int_{\Gamma^+} f(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} f(x, y, z) dt
+        \end{equation*}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Вычисление криволинейного интеграла первого рода}
+
+Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит от
+способа задания этой линии.
+
+\begin{enumerate}
+    \item 
+        Линия задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:
+        \begin{align*}
+            \begin{rcases*}
+                x = x(t) \\
+                y = y(t) \\
+                z = z(t)
+            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\
+            \int_\Gamma f(x, y, z) dt &= 
+            \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot
+            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt
+        \end{align*}
+
+        На плоскости справедлива аналогичная формула:
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma f(x, y) dt = 
+            \int_a^b f(x(t), y(t)) \cdot
+            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt
+        \end{equation*}
+
+    \item
+        Линия $\Gamma$ задана на плоскости $XOY$ явно, то есть 
+        $\Gamma: y = y(x), \, x \in [a; b] \implies$
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma f(x, y) \, dt = 
+            \int_a^b f(x, y(x)) \cdot \sqrt{1 + (y_x')^2} \, dx
+        \end{equation*}
+
+    \item
+        Линия $\Gamma$ задана на плоскости в полярной системе координат
+        уравнением $r = r(\varphi) \implies$
+        \begin{align*}
+            x &= r(\varphi) \cdot \cos \varphi,
+            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi,\\
+            dt &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = 
+            \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\varphi \implies\\
+            \int_\Gamma f(x, y) \, dt &= 
+            \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} f(r(\varphi) \cos \varphi,
+            r(\varphi \sin \varphi)) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\varphi
+        \end{align*}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Применение криволинейного интеграла первого рода}
+
+\subsubsection{Масса материальной линии}
+
+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.
+Тогда общую массу кривой можно вычислить через криволинейный интеграл 
+первого рода, с помощью формул, указанных в предыдущем разделе.
+
+Например, если кривая $\Gamma$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции
+$\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой
+\begin{equation*}
+    m = \int_a^b \rho(x(t), y(t), z(t)) 
+    \sqrt{
+        \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +
+        \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 +
+        \left( \frac{dz}{dt} \right)^2
+    } dt
+\end{equation*}
+
+А в случае кривой в пространтсве массу можно определить как
+\begin{equation*}
+    m = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt
+\end{equation*}
+
+\subsubsection{Момент инерции}
+
+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.
+Тогда момент инерции кривой $\Gamma$ относительно некоторой оси $s$ равен
+\begin{equation*}
+    I_s = \int_\Gamma R^2 (x, y, z) \cdot \rho(x, y, z) dl
+\end{equation*}
+где $R(x, y, z)$ --- расстояние от некоторой точки $M(x, y, z) \in \Gamma$ до
+оси $s$.
+
+\subsubsection{Координаты центра масс}
+
+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. Тогда
+центра масс этой кривой имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$:
+\begin{equation*}
+    x_0 = \frac{m_x}{m(\Gamma)}, \, 
+    y_0 = \frac{m_y}{m(\Gamma)}, \,
+    z_0 = \frac{m_z}{m(\Gamma)}
+\end{equation*}
+где $m(\Gamma) = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt$ --- масса кривой, а
+\begin{align*}
+    m_x &= \int_\Gamma x \cdot \rho(x, y, z) dt, \\
+    m_y &= \int_\Gamma y \cdot \rho(x, y, z) dt, \\
+    m_z &= \int_\Gamma z \cdot \rho(x, y, z) dt
+\end{align*}
+
+\section{Криволинейный интеграл второго рода}
+
+\subsection{Определение}
+
+Пусть 
+\begin{align*}
+    \overline{F}(x) 
+    &= (F_1(x), F_2(x), \dots, F_m(x)) =\\
+    &= (F_1(x_1, \dots, x_m), F_2(x_1, \dots, x_m), \dots, F_m(x_1, \dots, x_m))
+\end{align*}
+
+--- вектор-функция, причём её координаты функции $F_i(x)$ непрерывны в точках
+кривой $\Gamma$. Тогда криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции
+$\overline{F}(x)$ по кривой $\Gamma$ с уравнением $x = x(s), \, 0 \leq s \leq L$
+называется криволинейный интеграл первого рода следующего вида:
+
+\begin{equation*}
+    \int_0^L \overline{F}(x(s)) \cdot x'(s) \; dt
+\end{equation*}
+
+где $\overline{F}(x(s)) \cdot x'(s)$ --- скалярное произведение двух векторов $=$ 
+\begin{equation*}
+    = \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x(s)) x_i'(s) = 
+    \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x_1(s), \dots, x_m(s)) x_i'(s)    
+\end{equation*}
+
+Криволинейный интеграл второго рода обозначают следующим образом:
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m
+\end{equation*}
+
+Пусть параметр $t$ даёт ту же ориентацию кривой, что и натуральный параметр $s$,
+тогда
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m =
+    \int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt
+\end{equation*}
+
+Если же этот параметр даёт противоположную ориентацию, то 
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma \sum_{i = 1}^m F_i dx_i =
+    -\int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt
+\end{equation*}
+
+Таким образом, криволинейный интеграл второго рода зависит от ориентации кривой.
+
+
+\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла второго рода}
+
+\begin{enumerate}
+    \item
+        Для вектор-функций $\vec{F}_1(x, y, z)$ и $\vec{F}_2(x, y, z)$ и 
+        постоянных $c_1$ и $c_2$ выполняется равенство
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma (c_1 \vec{F}_1(x, y, z) + c_2 \vec{F}_2(x, y, z)) \vec{d}s =
+            c_1 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) \vec{d}s
+        \end{equation*}
+
+    \item
+        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то
+        \begin{equation*}
+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) dt = 
+            \int_{\Gamma_1} \vec{F}(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} \vec{F}(x, y, z)
+        \end{equation*}
+
+    \item 
+        Значение криволинейного интеграла на кривой зависит от её ориентации
+        (продемонстрировано в предыдущем пункте):
+        \begin{equation*}
+            \int_{\Gamma^+} \vec{F}(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} \vec{F}(x, y, z) dt
+        \end{equation*}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Вычисление криволинейного интеграла второго рода}
+
+Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению 
+определённого интеграла. Найдём $d\vec{s}$ --- раскладывая этот вектор по
+векторам канонического базиса, получаем 
+$d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}$
+Тогда получаем, что
+\begin{align*}
+    \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz \\
+    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= 
+    \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
+\end{align*}
+
+Далее, формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит
+от способа задания этой линии.
+
+\begin{enumerate}
+    \item
+        Пусть кривая задана в пространстве парааметрически:
+        \begin{align*}
+            \begin{rcases*}
+                x = x(t) \\
+                y = y(t) \\
+                z = z(t)
+            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\
+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{t} &= 
+            \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =\\
+            &= \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + \\
+            &+ Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t)] dt
+        \end{align*}
+        
+        Аналогично при задании кривой в плоскости.
+
+    \item
+        Пусть кривая задана на плоскости графиком $y = y(x) \implies$
+        \begin{align*}
+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=
+            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\
+            &= \int_{x_1}^{x_2} [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x)] dx
+        \end{align*}
+
+    \item
+        Пусть кривая задана на плоскости в полярной системе координат уравнением
+        $r = r(\varphi) \implies$
+        \begin{align*}
+            x = r(\varphi) &\cdot \cos \varphi, \,
+            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi \implies\\
+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=
+            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\
+            &= \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} [
+                P(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \cos \varphi - r(\varphi) \sin \varphi) + \\
+                &+ Q(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \sin \varphi - r(\varphi) \cos \varphi)
+            ] d\varphi
+        \end{align*}
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Применение криволинейного интеграла второго рода}
+
+\subsubsection{Механический смысл, работа силы}
+
+Работа силы --- мера действия силы, зависящая от её модуля и направления и от
+перемещения точки приложения силы. Если сила $\vec{F}$ постоянна по модулю и 
+направлению, а перемещение $\vec{M_0 M_1} = \vec{s}$ прямолинейно, то работа 
+определяется равенством $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где
+$\alpha$ --- угол между направлениями силы и перемещения.
+
+В общем случае для вычисления работы силы вводят понятие элементарное работы
+$dA = |\vec{F}| \cdot |d\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где $d\vec{s}$ --- вектор
+элементарного перемещения точки приложения силы.
+
+В декартовых координатах 
+\begin{align*}
+    d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}, \\
+    \vec{F} = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k}
+\end{align*}
+
+Элементарная работа будет равна
+\begin{equation*}
+    dA = P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz
+\end{equation*}
+
+Работа силы на конечном перемещении определяется как предел интегральной суммы
+соответствующих элементарных работ и при перемещении по кривой $\Gamma$ выражается
+криволинейным интегралом второго рода:
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} =
+    \int_\Gamma P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz
+\end{equation*}
+
+Таким образом, криволинейный интеграл второго рода определяет значение работы
+силы при перемещении по кривой точки единичной массы.
+
+\subsubsection{Закон Ампера}
+
+Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией $\vec{B}$ вдоль замкнутого
+контура $\Gamma$ пропорционален полному току, протекающему через область, 
+ограниченную контуром $\Gamma$ (рис. \ref{fig:amper}). Это выражается формулой 
+\begin{equation*}
+    \int_\Gamma \vec{B} \cdot d\vec{r} = \mu_0 I
+\end{equation*}
+где $\mu_0$ --- магнитная проницаемость вакуума.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{amper.png}
+    \caption{}
+    \label{fig:amper}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Закон Фарадея}
+
+Электродвижущая сила $\varepsilon$, наведённая в замкнутом контуре $\Gamma$
+равна скорости изменения магнитного потока $\psi$, проходящего через данный
+контур (рис. \ref{fig:faraday}):
+\begin{equation*}
+    \varepsilon = \int_\Gamma \vec{E} \cdot d\vec{r} =
+    -\frac{d\psi}{dt}
+\end{equation*}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{faraday.png}
+    \caption{}
+    \label{fig:faraday}
+\end{figure}
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.3

