\documentclass{beamer} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{graphicx} \graphicspath{ {./images/} } \usepackage{tempora} \usepackage{amsmath} \usepackage[english,russian]{babel} \usetheme{Madrid} \title{Двойной математический маятник} \author{Гущин Андрей, 131 группа, факультет КНиИТ} \begin{document} \maketitle \begin{frame} \frametitle{Определение} \begin{columns} \column{0.6\textwidth} \textbf{Двойным маятником} называются два скрепленных математических маятника, двигающихся в одной плоскости, причем точка привеса первого маятника неподвижна, а точка привеса второго маятника совпадает с тяжелой материальной точкой первого маятника. \column{0.4\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{Double-Pendulum.png} \caption{Схема двойного маятника} \label{} \end{figure} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Математическая модель} \begin{columns} \column{0.6\textwidth} Обозначим как $O_1$ и $O_2$ точки привеса, $l_1$ и $l_2$ длины, $Q_1$ и $Q_2$ веса первого и второго маятника соответственно. В качестве обобщенных координат этой системы выберем углы $\varphi_1$ и $\varphi_2$, которые составляют соответственно $l_1$ и $l_2$ с вертикалью. \column{0.4\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics{pendulum.png} \caption{} \label{} \end{figure} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Кинетическая энергия системы} Подсчитаем кинетическую энергию системы $T$, которая состоит из суммы кинетических энергий первого маятника $T_1$ и второго маятника $T_2$. \[ T_1 = \frac{Q_1 l_1}{2g} \dot{\varphi_1}^2 \] \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} v^2 \] где $v$ -- скорость точки $Q_2$. Вектор скорости $v$ можно рассматривать как сумму вектора вразательной скорости $v'$ точки $Q_2$ вокруг точки $O_2$ и вектора $v_{02}$ скорости точки $O_2$: \[ v = v' + v_{02} \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} Вектор $v'$ перпендикулярен к $l_2$ и вектор $v_{02}$ перпендикулярен к $O_1 O_2$ $\implies$ из треугольника, образованного векторами $v'$, $v_{02}$ и $v$, видно, что угол между $v'$ и $v_{02}$ будет равен $\pi - (\varphi_1 - \varphi_2)$, откуда \[ v^2 = v'^2 + v_{02}^2 + 2v' v_{02} \cos (\varphi_1 - \varphi_2) \] \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth] {vectors.png} \caption{} \label{} \end{figure} Но $v' = l_1 \dot{\varphi_2}$, $v_{02} = l_2 \dot{\varphi_1}$ и для малых колебаний можно принять $\cos (\varphi_1 - \varphi_2) = 1$, тогда \[ v^2 = l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} Из данных вычислений получаем \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2}\] Кинетическую энергию системы теперь запишем в виде: \[ T = \frac{Q_1 l_1^2 + Q_2 l_1^2}{2g} \dot{\varphi_1}^2 + \frac{Q_2 l_2^2}{2g} \dot{\varphi_2}^2 + \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Потенциальная энергия системы} Так как рассматриваемая система находится под действием сил тяжести, то потенциальная энергия системы будет равна \[ P = Q_1 h_1 + Q_2 h_2 \] где $h_1$ и $h_2$ -- высота точек $m_1$ и $m_2$, под некоторым произвольно выбранным уровнем, который расположен на расстоянии $l_1 + l_2$ от точки $O_1$, тогда \[ h_1 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 \] \[ h_2 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 - l_2 \cos \varphi_2 \] Разлагая косинусы в ряд и ограничиваяст в этих разложениях вторыми степенями малых углов отклонения, получим: \[ P = Q_1 \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + Q_2 \left( \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + \frac{l_2}{2} \varphi_2^2 \right) \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения движения и их интегрирование} Зная кинетическую и потенциальную энергию системы, запишем уравнения движения системы (уравнения Лагранжа второго рода) в виде: \[ \frac{Q_1 + Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_1 + \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_2} + (Q_1 + Q_2) l_1 \varphi_1 = 0 \] \[ \frac{Q_2 l_2^2}{g} \ddot{\varphi_2} + \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \varphi_1 + Q_2 l_1 \varphi_2 = 0 \] Коэффициенты этих уравнения обозначаются в виде \[ a_{11} = \frac{Q_1 + Q_2}{g} l_1^2, \, a_{12} = \frac{Q_1 l_1 l_2}{g}, \, a_{22} = \frac{Q_2 l_2^2}{g}, \] \[ c_{11} = (Q_1 + Q_2) l_1, \, c_{22} = Q_2 l_2, \, (c_{12} = 0) \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнение частот} Запишем уравнение частот: \[ \left( \frac{g}{l_1} - k^2 \right) \left( \frac{g}{l_2} - k^2 \right) - k^4 \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = 0 \] Введем обозначения: \[ \frac{g}{l_1} = n_1^2, \, \frac{g}{l_2} = n_2^2, \, \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = \chi^2 \] Тогда уравнение частот примет вид: \[ (n_1^2 - k^2) (n_2^2 - k^2) - \chi^2 k^4 = 0 \] \[ (1 - \chi^2) k^2 - (n_1^2 - n_2^2) k^2 + n_1^2 n_2^2 = 0 \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} Корнями уравнения частот являются: \[ k_{1,2}^2 = \frac{1}{2 (1 - \chi^2)} \left( n_1^2 + n_2^2 \pm \sqrt{(n_2^2 - n_1^2)^2 + 4 \chi^2 n_1^2 n_2^2} \right) \] Выражения, определяющие $k_1^2$ и $k_2^2$, будут положительны.\ Значения $k_1$ и $k_2$ определяют собственные частоты системы. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения главных колебаний} Уравнениями главных колебаний системы в рассматриваемом случае являются: \[ \varphi_1^{(1)} = C_1 (c_{11} - k_1^2 a_{11}) \sin (k_1 t + \alpha_1) \] \[ \varphi_2^{(1)} = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) \] \[ \varphi_1^{(2)} = C_2 (c_{11} - k_2^2 a_{11}) \sin (k_2 t + \alpha_2) \] \[ \varphi_2^{(2)} = C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2) \] где $C_1$, $C_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ -- произвольные постоянные, подлежащие определению из начальных условий. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} Отношение амплитуд главных колебаний будет: \[ \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_1^2}, \, \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_2^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_2^2} \] Но так как $\frac{c_{11}}{a_{11}} = n_1^2$, то \[ \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_1^2}, \, \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_2^2} \] Из этих равенств следует, что \[ n_1^2 > k_1^2, \, n_2^2 > k_1^2 \] \[ k_2^2 > n_1^2, \, k_2^2 > n_2^2 \] Поэтому \[ \beta_1 > 0, \, \beta_2 < 0 \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} \begin{columns} \column{0.5\textwidth} Имеем, что при главном колебании низшей частоты $k_1$ знаки $\varphi_1$ и $\varphi_2$ одинаковы, а при колебаниях высшей частоты $k_2$ знаки $\varphi_1$ и $\varphi_2$ различны. Это означает, что в первом главном колебании прямые $l_1$ и $l_2$ отклоняются в одну сторону от вертикали и отношение углов отклонения при этом остается постоянным $\varphi_1^{(1)} = \beta_1 \varphi_2^{(1)}$. \column{0.5\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.35\textheight]{two_states.png} \caption{} \label{} \end{figure} \end{columns} Во втором главном колебании отклонение указанных прямых происходит по разные стороны от вертикали и отношение углов также остается неизменным $\varphi_1^2 = \beta_2 \varphi_2^2$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{} Общее решение исходной системы дифференциальных уравнений будет вида: \[ \varphi_1 = C_1 (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \sin (k_1 t + \alpha_1) + C_2 (c_{22} - k_2 a_{22}) \sin (k_2 t + \alpha_2) \] \[ \varphi_2 = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) + C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2) \] \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Главные координаты} Введем новые переменные: \[ \Theta_1 = C_1 \sin (k_1 t + \alpha_1), \, \Theta_2 = C_2 \sin (k_2 t + \alpha_2) \] Тогда \[ \varphi_1 = (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \Theta_1 + (c_{22} - k_2^2 a_{22}) \Theta_2 \] \[ \varphi_2 = k_1^2 a_{12} \Theta_1 - k_2^2 a_{12} \Theta_2 \] Из этого следует, что новые переменные полностью описывают движение рассматриваемой механической системы, следовательно, их можно выбрать в качестве обобщенных координат системы. Приведённые ранее выражения для $\beta_1$ и $\beta_2$ указывают, что $\Theta_1$ и $\Theta_2$ являются главными координатами системы. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Применение} Конструкции, похожие на двойной маятник зачастую применяют в местах, где необходимо уменьшить амплитуду механических вибраций. Такие вибрации могут причинять дискомфорт, урон или даже полный отказ системы. \begin{columns} \column{0.6\textwidth} Как пример можно привести небоскрёбы, в которых применяются \textbf{инерционные демпферы}. Как правило, демпферы представляют собой огромные бетонные или стальные блоки, установленные в небоскребах или других конструкциях и перемещаемые для компенсации резонансной частоты колебаний конструкции с помощью пружин, жидкости или маятников. \column{0.4\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.35\textheight]{taipei_101.jpg} \caption{} \label{} \end{figure} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Применение} \begin{columns} \column{0.4\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{Taipei_101_Tuned_Mass_Damper.png} \caption{Демпфер в небоскребе Тайбэй 101} \label{} \end{figure} \column{0.6\textwidth} В таких конструкциях в качествет основного \textit{обратного} маятника выступает само здание, а дополнительная масса прикреплена для завершения двойного маятника. Когда верх здания приходит в движение, гигантский шар, раскачивается подобно гигантскому маятнику. Он ударяет по масленым амортизаторам, которые рассеивают энергию колебаний. Таким образом, когда здание отклоняется в одну сторону, маятник двигается в другую, сокращая, таким образом, раскачивание небоскрёба. \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Применение} \begin{columns} \column{0.6\textwidth} Похожую конструкцию имеют плавающие маяки, где в качестве главного маяка выступает сам поплавок, а вторым маятником является фонарь. \column{0.4\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{mayak.png} \caption{} \label{} \end{figure} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Применение} Еще один пример двойного маятника мы имеем в колоколе. В 1876 году в Кёльне имел место случай, на первый взгляд очень странный, -- не удавалось заставить звонить большой колокол, только что подвешенный тогда на башне собора: когда пытались звонить, язык совершал относительно колокола столь малые колебания, что не удавалось произвести удара, хотя язык и был достаточно длинен для того, чтобы достать до стенок колокола. На основе предыдущих рассуждений было установлени, что для этого колокола $l_1 - l = 65.3$см и $\lambda = 66.7$см, так что при ничтожности массы языка по сравнению с массой колокола приближенной равенство их фоз было обнаружено из совпадения этих значений. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Применение} \begin{columns} \column{0.7\textwidth} Двойной маятник подвергается \textbf{хаотическому движению}, и его движение очень чувствительно к начальным значениям. На картинке показано количество времени, которое должно пройти перед тем, как маятник перевернется как функция от начальной позиции. Цвет каждого пикселя показывает перевернется ли маятник в течение \begin{itemize} \item $10 \sqrt{l / g}$ секунд (зеленый) \item $100 \sqrt{l / g}$ секунд (красный) \item $1000 \sqrt{l / g}$ секунд (фиолетовый) \item $10000 \sqrt{l / g}$ секунд (синий) \end{itemize} Начальные значения, которые не ведут к перевороту в течение $10000 \sqrt{l / g}$ нарисованы белым цветом. \column{0.3\textwidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{Double_pendulum_flips_graph.png} \caption{} \label{} \end{figure} \end{columns} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Источники} \begin{itemize} \item Голубева, О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. - Москва: ``Высшая школа'', 1968. - 487с. \item Леви-Чивита, T. Курс теоретической механики / Т. Леви-Чивита, У. Амальди - Москва: ``Москва'', 1951. - 556с. \item Аганова, А.Ю. Инерционный демпфер сердце тейбей 101 / А.Ю. Аганова, Н.Д. Комарова // Инновационная наука. - 2015. \item https://en.wikipedia.org/wiki/Double\_pendulum \item https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned\_mass\_damper \end{itemize} \end{frame} \end{document}