\documentclass{beamer}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage{amsmath}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usetheme{Madrid}

\title{Двойной математический маятник}
\author{Гущин Андрей, 131 группа, факультет КНиИТ}

\begin{document}

\maketitle

\begin{frame}
    \frametitle{Определение}

\begin{columns}
    \column{0.6\textwidth}

    \textbf{Двойным маятником} называются два скрепленных
    математических маятника, двигающихся в одной
    плоскости, причем точка привеса первого маятника 
    неподвижна, а точка привеса второго маятника 
    совпадает с тяжелой материальной точкой первого маятника.

    \column{0.4\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.5\textheight]{Double-Pendulum.png}
        \caption{Схема двойного маятника}
        \label{}
    \end{figure}

\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Математическая модель}

\begin{columns}
    \column{0.6\textwidth}
    Обозначим как $O_1$ и $O_2$ точки привеса, $l_1$ и $l_2$ длины,
    $Q_1$ и $Q_2$ веса первого и второго маятника соответственно.

    В качестве обобщенных координат этой системы выберем углы
    $\varphi_1$ и $\varphi_2$, которые составляют соответственно
    $l_1$ и $l_2$ с вертикалью.

    \column{0.4\textwidth}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics{pendulum.png}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Кинетическая энергия системы}

    Подсчитаем кинетическую энергию системы $T$, которая
    состоит из суммы кинетических энергий первого маятника $T_1$
    и второго маятника $T_2$.

    \[ T_1 = \frac{Q_1 l_1}{2g} \dot{\varphi_1}^2 \]

    \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} v^2 \]
    где $v$ -- скорость точки $Q_2$. Вектор скорости $v$ можно рассматривать
    как сумму вектора вразательной скорости $v'$ точки $Q_2$ вокруг точки
    $O_2$ и вектора $v_{02}$ скорости точки $O_2$:
    \[ v = v' + v_{02} \]


\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

    Вектор $v'$ перпендикулярен к $l_2$ и вектор $v_{02}$ перпендикулярен
    к $O_1 O_2$ $\implies$ из треугольника, образованного векторами
    $v'$, $v_{02}$ и $v$, видно, что угол между $v'$ и $v_{02}$ будет
    равен $\pi - (\varphi_1 - \varphi_2)$, откуда
    \[ v^2 = v'^2 + v_{02}^2 + 2v' v_{02} \cos (\varphi_1 - \varphi_2) \]

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=0.6\textwidth] {vectors.png}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

    Но $v' = l_1 \dot{\varphi_2}$, $v_{02} = l_2 \dot{\varphi_1}$ и для 
    малых колебаний можно принять $\cos (\varphi_1 - \varphi_2) = 1$, тогда
    \[ v^2 = l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2} \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

    Из данных вычислений получаем
    \[ T_2 = \frac{Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_2^2 + l_1^2 \varphi_1^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2}\]

    Кинетическую энергию системы теперь запишем в виде:
    \[ 
        T = \frac{Q_1 l_1^2 + Q_2 l_1^2}{2g} \dot{\varphi_1}^2 +
        \frac{Q_2 l_2^2}{2g} \dot{\varphi_2}^2 +
        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_1} \dot{\varphi_2}
    \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Потенциальная энергия системы}

    Так как рассматриваемая система находится под действием сил тяжести,
    то потенциальная энергия системы будет равна
    \[ P = Q_1 h_1 + Q_2 h_2 \]
    где $h_1$ и $h_2$ -- высота точек $m_1$ и $m_2$, под некоторым
    произвольно выбранным уровнем, который расположен на расстоянии
    $l_1 + l_2$ от точки $O_1$, тогда
    \[ h_1 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 \]
    \[ h_2 = l_1 + l_2 - l_1 \cos \varphi_1 - l_2 \cos \varphi_2 \]

    Разлагая косинусы в ряд и ограничиваяст в этих разложениях вторыми
    степенями малых углов отклонения, получим:
    \[ 
        P = Q_1 \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + 
        Q_2 \left( \frac{l_1}{2} \varphi_1^2 + \frac{l_2}{2} \varphi_2^2 \right) 
    \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Уравнения движения и их интегрирование}

    Зная кинетическую и потенциальную энергию системы, запишем
    уравнения движения системы (уравнения Лагранжа второго рода)
    в виде:
    \[ 
        \frac{Q_1 + Q_2}{2g} l_1^2 \varphi_1 + 
        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \dot{\varphi_2} +
        (Q_1 + Q_2) l_1 \varphi_1 = 0
    \]

    \[
        \frac{Q_2 l_2^2}{g} \ddot{\varphi_2} +
        \frac{Q_2 l_1 l_2}{g} \varphi_1 +
        Q_2 l_1 \varphi_2 = 0
    \]

    Коэффициенты этих уравнения обозначаются в виде

    \[
        a_{11} = \frac{Q_1 + Q_2}{g} l_1^2, \,
        a_{12} = \frac{Q_1 l_1 l_2}{g}, \,
        a_{22} = \frac{Q_2 l_2^2}{g},
    \]
    \[
        c_{11} = (Q_1 + Q_2) l_1, \,
        c_{22} = Q_2 l_2, \,
        (c_{12} = 0)
    \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Уравнение частот}

    Запишем уравнение частот:
    \[ 
        \left( \frac{g}{l_1} - k^2 \right) \left( \frac{g}{l_2} - k^2 \right) -
        k^4 \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = 0
    \]

    Введем обозначения:
    \[
        \frac{g}{l_1} = n_1^2, \,
        \frac{g}{l_2} = n_2^2, \,
        \frac{Q_2^2}{(Q_1 + Q_2) Q_2} = \chi^2
    \]

    Тогда уравнение частот примет вид:
    \[ (n_1^2 - k^2) (n_2^2 - k^2) - \chi^2 k^4 = 0 \]
    \[ (1 - \chi^2) k^2 - (n_1^2 - n_2^2) k^2 + n_1^2 n_2^2 = 0 \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

    Корнями уравнения частот являются:
    \[
        k_{1,2}^2 = \frac{1}{2 (1 - \chi^2)}
        \left( n_1^2 + n_2^2 \pm \sqrt{(n_2^2 - n_1^2)^2 + 4 \chi^2 n_1^2 n_2^2} \right)
    \]
    
    Выражения, определяющие $k_1^2$ и $k_2^2$, будут положительны.\
    Значения $k_1$ и $k_2$ определяют собственные частоты системы.

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Уравнения главных колебаний}

    Уравнениями главных колебаний системы в рассматриваемом случае являются:

    \[ \varphi_1^{(1)} = C_1 (c_{11} - k_1^2 a_{11}) \sin (k_1 t + \alpha_1) \]
    \[ \varphi_2^{(1)} = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) \]

    \[ \varphi_1^{(2)} = C_2 (c_{11} - k_2^2 a_{11}) \sin (k_2 t + \alpha_2) \]
    \[ \varphi_2^{(2)} = C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2) \]

    где $C_1$, $C_2$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ -- произвольные постоянные,
    подлежащие определению из начальных условий.
    
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

    Отношение амплитуд главных колебаний будет:

    \[ 
        \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_1^2}, \,
        \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_2^2}{\frac{c_{11}}{a_{11}} - k_2^2}
    \]
    
    Но так как $\frac{c_{11}}{a_{11}} = n_1^2$, то

    \[ 
        \beta_1 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_1^2}, \,
        \beta_2 = \frac{a_{12}}{a_{11}} \frac{k_1^2}{n_1^2 - k_2^2}
    \]

    Из этих равенств следует, что 
    \[ n_1^2 > k_1^2, \, n_2^2 > k_1^2 \]
    \[ k_2^2 > n_1^2, \, k_2^2 > n_2^2 \]

    Поэтому \[ \beta_1 > 0, \, \beta_2 < 0 \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

\begin{columns}
    
    \column{0.5\textwidth}

    Имеем, что при главном колебании низшей частоты $k_1$ знаки $\varphi_1$ и
    $\varphi_2$ одинаковы, а при колебаниях высшей частоты $k_2$ знаки 
    $\varphi_1$ и $\varphi_2$ различны. Это означает, что в первом главном 
    колебании прямые $l_1$ и $l_2$ отклоняются в одну сторону от вертикали и
    отношение углов отклонения при этом остается постоянным 
    $\varphi_1^{(1)} = \beta_1 \varphi_2^{(1)}$.

    \column{0.5\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.35\textheight]{two_states.png}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

\end{columns}

    Во втором главном колебании отклонение указанных прямых происходит по 
    разные стороны от вертикали и отношение углов также остается неизменным
    $\varphi_1^2 = \beta_2 \varphi_2^2$.
    
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{}

    Общее решение исходной системы дифференциальных уравнений будет вида:
    \[ 
        \varphi_1 = C_1 (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \sin (k_1 t + \alpha_1) + 
        C_2 (c_{22} - k_2 a_{22}) \sin (k_2 t + \alpha_2)
    \]
    \[
        \varphi_2 = C_1 k_1^2 a_{12} \sin (k_1 t + \alpha_1) + 
        C_2 k_2^2 a_{12} \sin (k_2 t + \alpha_2)
    \]

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Главные координаты}

    Введем новые переменные:
    \[
        \Theta_1 = C_1 \sin (k_1 t + \alpha_1), \,
        \Theta_2 = C_2 \sin (k_2 t + \alpha_2)
    \]

    Тогда
    \[ \varphi_1 = (c_{22} - k_1^2 a_{22}) \Theta_1 + (c_{22} - k_2^2 a_{22}) \Theta_2 \]
    \[ \varphi_2 = k_1^2 a_{12} \Theta_1 - k_2^2 a_{12} \Theta_2 \]

    Из этого следует, что новые переменные полностью описывают движение
    рассматриваемой механической системы, следовательно, их можно выбрать в
    качестве обобщенных координат системы.

    Приведённые ранее выражения для $\beta_1$ и $\beta_2$ указывают, что
    $\Theta_1$ и $\Theta_2$ являются главными координатами системы.

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Применение}

    Конструкции, похожие на двойной маятник зачастую применяют в местах,
    где необходимо уменьшить амплитуду механических вибраций. Такие вибрации
    могут причинять дискомфорт, урон или даже полный отказ системы.

\begin{columns}

    \column{0.6\textwidth}

    Как пример можно привести небоскрёбы, в которых применяются 
    \textbf{инерционные демпферы}. Как правило, демпферы представляют собой 
    огромные бетонные или стальные блоки, установленные в небоскребах или
    других конструкциях и перемещаемые для компенсации резонансной 
    частоты колебаний конструкции с помощью пружин, жидкости или маятников. 

    \column{0.4\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.35\textheight]{taipei_101.jpg}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

    

\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Применение}

\begin{columns}
    
    \column{0.4\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.4\textheight]{Taipei_101_Tuned_Mass_Damper.png}
        \caption{Демпфер в небоскребе Тайбэй 101}
        \label{}
    \end{figure}

    \column{0.6\textwidth}

    В таких конструкциях в качествет основного \textit{обратного} маятника
    выступает само здание, а дополнительная масса прикреплена для завершения
    двойного маятника.

    Когда верх здания приходит в движение, гигантский шар, раскачивается
    подобно гигантскому маятнику. Он ударяет по масленым амортизаторам,
    которые рассеивают энергию колебаний. Таким образом, когда здание
    отклоняется в одну сторону, маятник двигается в другую, сокращая,
    таким образом, раскачивание небоскрёба.

\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Применение}

\begin{columns}
    
    \column{0.6\textwidth}

    Похожую конструкцию имеют плавающие маяки, где в качестве главного маяка
    выступает сам поплавок, а вторым маятником является фонарь.

    \column{0.4\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.5\textheight]{mayak.png}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

\end{columns}


\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Применение}

    Еще один пример двойного маятника мы имеем в колоколе. В 1876 году в Кёльне
    имел место случай, на первый взгляд очень странный, -- не удавалось
    заставить звонить большой колокол, только что подвешенный тогда на башне
    собора: когда пытались звонить, язык совершал относительно колокола
    столь малые колебания, что не удавалось произвести удара, хотя язык и был
    достаточно длинен для того, чтобы достать до стенок колокола. На основе
    предыдущих рассуждений было установлени, что для этого колокола 
    $l_1 - l = 65.3$см и $\lambda = 66.7$см, так что при ничтожности массы
    языка по сравнению с массой колокола приближенной равенство их фоз
    было обнаружено из совпадения этих значений.

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Применение}

\begin{columns}
    
    \column{0.7\textwidth}

    Двойной маятник подвергается \textbf{хаотическому движению}, 
    и его движение очень чувствительно к начальным значениям. На картинке
    показано количество времени, которое должно пройти перед тем, как маятник
    перевернется как функция от начальной позиции. Цвет каждого пикселя
    показывает перевернется ли маятник в течение
    \begin{itemize}
        \item $10 \sqrt{l / g}$ секунд (зеленый)
        \item $100 \sqrt{l / g}$ секунд (красный)
        \item $1000 \sqrt{l / g}$ секунд (фиолетовый)
        \item $10000 \sqrt{l / g}$ секунд (синий)
    \end{itemize}

    Начальные значения, которые не ведут к перевороту в течение $10000 \sqrt{l / g}$
    нарисованы белым цветом.

    \column{0.3\textwidth}

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[height=0.4\textheight]{Double_pendulum_flips_graph.png}
        \caption{}
        \label{}
    \end{figure}

\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Источники}

    \begin{itemize}
        \item Голубева, О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. - Москва: ``Высшая школа'', 1968. - 487с.
        \item Леви-Чивита, T. Курс теоретической механики / Т. Леви-Чивита, У. Амальди - Москва: ``Москва'', 1951. - 556с.
        \item Аганова, А.Ю. Инерционный демпфер сердце тейбей 101 / А.Ю. Аганова, Н.Д. Комарова // Инновационная наука. - 2015.
        \item https://en.wikipedia.org/wiki/Double\_pendulum
        \item https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned\_mass\_damper
    \end{itemize}

\end{frame}



\end{document}