\documentclass[bachelor, och, labwork]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен

\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}


\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\dsint}{\displaystyle\int}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Измерение скорости полета пули}

% Курс
\course{1}

% Группа
\group{131}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{090301 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{доцент} %должность, степень, звание
\saname{В. В. Шунаев}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2020}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering


% \tableofcontents

\section{Лабораторная работа}

\textbf{Цель работы: }
ознакомление с баллистическим методом измерения, определение скорости полёта
пули с помощью баллистического маятника, оценка точности метода измерения.

\textbf{Принадлежности: }
баллистический маятник, пружинная пушка, шкала для отсчета, шомпол,
набор пуль, технические весы, набор гирь и разновесок.

\subsection{Краткая теория}

Для проведения измерений с баллистическим маятником необходимо, чтобы закон
сохранения количества движения мог быть выражен в следующем виде:

\begin{equation}
    m \vec{v} = (M + m) \vec{V}
    \label{eq:conservVelocity}
\end{equation}

где $m$ -- масса пули, $\vec{v}$ -- скорость пули, $M$ -- масса маятника,
$\vec{V}$ -- скорость массы и маятника, после попадания пули.

Выполнение во время удара закона количества движения в виде равенства
\eqref{eq:conservVelocity} обеспечивается выполнением следующих условий:

\begin{enumerate}
    \item 
        Вектор скорости пули в момент удара должен быть направлен по прямой,
        проходящей через центр тяжести маятника. При невыполнении этого условия
        часть импулься ударной силы $\dsint_0^\tau \vec{F} dt = m \vec{v}$
        будет передаваться точке подвеса маятника.
    
    \item
        Вектор $\vec{v}$ должен быть направлен перпендикулярно плоскости, в
        которой лежат ось качания $AA'$ и точка центра тяжести покоящегося
        маятника, то есть в направлении оси $x$. В противном случае, маятнику
        будет сообщаться вращательное движение относительно других осей,
        помимо оси $AA'$.

    \item
        Продолжительность импульса $\dsint_0^\tau \vec{F}dt$ должна быть 
        настолько малой, чтобы маятник к концу удара не успевал существенно
        отклониться от положения равновесия.
\end{enumerate}

При выполнении перечисленных условий скорость пули находится из равенства
\eqref{eq:conservVelocity}

\begin{equation}
    v = \frac{M + m}{m} \cdot V
    \label{eq:bulletVelocity}
\end{equation}

при максимальном отклонении маятника скорость $V$ обратится в нуль и 
кинетическая энергия маятника полностью перейдет в его потенциальную энергию,
то есть

\begin{equation}
    \frac{(M + m) V^2}{2} = (M + m) gh
\end{equation}

Тогда \begin{equation}
    V = \sqrt{2gh}
\end{equation}
где $h$ -- наибольшая высота подъёма центра тяжести маятника с пулей,
$g$ -- ускорение свободного падения.

Поскольку выполняется равенство \begin{equation}
    h = l - l \cos \alpha = 2l \sin^2 \frac{\alpha}{2}
\end{equation}
где $\alpha$ -- максимальный угол отклонения, $l$ -- расстояние от оси
вращения до центра тяжести маятника, и учитывая, что ввиду малости угла
$\alpha$ можно положить \begin{equation}
    \sin \alpha = \frac{S_0}{l} \approx \alpha \approx 2 \sin \frac{\alpha}{2}
\end{equation}
то для скорости маятника имеем выражение \begin{equation}
    V = 2 \sqrt{gl} \sin \frac{\alpha}{2} = S_0 \sqrt{\frac{g}{l}}
\end{equation}

Подставив значение скорости $V$ в формулу \eqref{eq:bulletVelocity}, получим:
\begin{equation}
    v = \frac{M + m}{m} S_0 \sqrt{\frac{g}{l}}
    \label{eq:finalFormula}
\end{equation}

Обычно масса мишени во много раз превышает массу пули, то есть выполняется
неравенство $M >> m$, и, следовательно, рабочая формула примет вид формулы
\eqref{eq:finalFormula}.

\subsection{Ход работы}

\begin{enumerate}
    \item Измерить на весах массы пуль и съемного внутреннего цилиндра маятника.
    \item 
        Отрегулировать длину нитей так, чтобы геометрическая ось маятника 
        была направлена горизонтально по направлению ствола пушки.
    \item Установить шкалу параллельно оси маятника вблизи визира маятника.
    \item 
        Сжать пружину пушки и зафиксировать штифтом её положение. Вставить пулю
        в дуло пушки и дослать её шомполом до упора.
    \item 
        Поднятием штифта произвести выстрел и снять отсчет горизонтального 
        смещения маятника по шкале.
    \item 
        С каждой пулей произвести не менее пяти выстрелов. Опыты проводить с
        пулями различного веса.
    \item
        По рабочей формуле \eqref{eq:finalFormula} подсчитать скорость пули при
        каждом выстреле. Для каждой пули вычислить среднее значение скорости
        пули и среднюю абсолютную погрешность измерения. Данные наблюдений и 
        рассчетов занести в таблицу.
    \item
        Окончательный результат для каждой пули записать в виде
        \[ 
            v = \vec{v} \pm \vec{\Delta v}; 
            \quad \delta = \pm \frac{\vec{\Delta v}}{\vec{v}} \cdot 100\% 
        \]
\end{enumerate}

\subsection{Результаты опытов}

\begin{table}[H]
    \centering

    \begin{tabularx}{\textwidth}{ |X|c|c|c|c|c|c| }
        \hline
        Номер опыта & $m$, г & $S_0$, мм & $V$, м/с & $\vec{V}$, м/с & $|\Delta V|$, м/с & $\vec{\Delta V}$, м/с \\
        \hline
        1 & 5 & 20 & 16.12 & \multirow{3}{*}{15.84} & 0.27 & \multirow{3}{*}{0.9}  \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        1 & 5 & 21 & 16.92 &                        & 1.07 &                       \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        1 & 5 & 18 & 14.5  &                        & 1.35 &                       \\ \hline
        
        2 & 6 & 14 & 9.41  & \multirow{3}{*}{10.53} & 1.12 & \multirow{3}{*}{0.74}  \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        2 & 6 & 17 & 11.42 &                        & 0.89 &                       \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        2 & 6 & 16 & 10.75 &                        & 0.22 &                       \\ \hline
        
        3 & 7 & 11 & 6.34 & \multirow{3}{*}{5.76}  & 0.58 & \multirow{3}{*}{0.39} \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        3 & 7 & 10 & 5.76 &                        & 0    &                       \\ \cline{1-4} \cline{6-6}
        3 & 7 & 9  & 5.18 &                        & 0.58 &                       \\ \hline
        
    \end{tabularx}

    \caption{Измеренные и рассчитанные величины}
\end{table}

\[ V_1 = 15.84 \pm 0.9; \quad \delta_v = \pm 5.68\% \]
\[ V_2 = 10.53 \pm 0.74; \quad \delta_v = \pm 7.03\% \]
\[ V_3 = 5.76 \pm 0.39; \quad \delta_v = \pm 6.77\% \]

\subsection{Вывод}

Ознакомился с баллистическим методом измерения, определил скорость полета пули
с помощью баллистического маятника, оценил точность метода измерения.

\end{document}