\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}

\usepackage{underscore}
\usepackage{setspace}
\usepackage{indentfirst} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Геометрические и физические приложения определенного интеграла}

% Курс
\course{2}

% Группа
\group{231}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание
\saname{Е. В. Разумовская}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2020}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering

%-------------------------------------------------------------------------------------------
\intro
\subsection*{Определение определенного интеграла Римана.}

Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, 
и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Пусть $f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. Обозначим буквой $R$ разбиение $[a; b]$ на $n$ частичных отрезков 
с помощью несовпадающих точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$ (т.е. $R = \left\{x_i\right\}$). 
Обозначим $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$ "--- длину частичного отрезка разбиения $[x_i ; x_{i+1}]$, 
а $\Delta = max$ $\Delta x_i$ (где $0 \leq i \leq n - 1$) "--- диаметр разбиения.

Возьмем произвольную точку $\xi_i \in [x_i ; x_{i+1}]$ $\forall i = 0, n-1$ и составим интегральную сумму 
$S_R (\xi) = f(\xi_0)\Delta x_0 + \cdots + f(\xi_{n-1})\Delta x_{n-1} = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i)\Delta x_i$.

Если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0$ $: \forall R$ $: \Delta < \delta$, 
где $\forall \xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)$ выполняется $|S_R(\xi) - S| < \varepsilon$, то $f(x)$ называется 
интегрируемой на отрезке $[a; b]$, а S собственно называют интегралом Римана от $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и обозначают $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$.

Смысл этого определения также в том, что $\exists \displaystyle\lim_{\Delta \to 0}S_R(\xi) = S < \infty$ и $S$ 
не зависит ни от выбора $R$, ни от выбора $\xi_i$.

\subsection*{Геометрический смысл определенного интеграла Римана.}

Пусть $f(x) > 0$ на отрезке $[a; b]$. Рассмотрим график $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$. 
Величина $f(\xi_i)\Delta x_i$ равна площади прямоугольника со сторонами $f(\xi_i)$ и $\Delta x_i$. 
Сумма $S_R(\xi)$ есть площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников.

Тогда при $\Delta \to 0$ получаем, что $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = S_G$ равен площади фигуры, 
ограниченной $y = f(x), y = 0, x = a, x = b$ и называемой \textbf{криволинейной трапецией}. 
Если $f(x) < 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -S_G$, а если же $f(x)$ на $[a; b]$ меняет свой знак, 
то интеграл равен сумме площадей криволинейных трапеций.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/geomsmisel.png}
    \caption{Криволинейная трапеция}
 \end{figure}

\subsection*{Свойства определенного интеграла}

Пусть $f(x), g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a; b]$. Положим $\int\limits_{a}^{a} f(x)dx = 0$, 
$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a} f(x)dx$. Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

\begin{enumerate}
    \item $\int\limits_{a}^{b} (c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x))dx = c_1 \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x)dx + c_2 \cdot \int\limits_{a}^{b} g(x)dx $
    \item $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx$
    \item Если $f(x) \geq g(x)$ на $[a, b] \implies \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geq \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$
    \item Если $g(x) \geq 0$ на $[a, b]$, $m = inf_{[a, b]} f(x), M = sup_{[a, b]} f(x) \implies$
    
    $\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot g(x)dx = \mu \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$, где $m \leq \mu \leq M$
\end{enumerate}

\section{Вычисление площадей плоских областей}

\subsection{Площадь фигуры в прямоугольных координатах}
Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом 
\[\int\limits_{a}^{b} (y_2(x) - y_1(x)) dx = S\] от разницы кривых, где одна из них всегда принимает
не меньшие значения чем другая ($y_2(x) \geq y_1(x)$), а также кривые непрерывны. 
Пределы интегрирования -- прямые $x_1 = a$, $x_2 = b$ -- ограничивают фигуру ($a < b$, чаще всего это точки пересечения заданных кривых).

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/rectS.png}
    \caption{Фигура, ограниченная двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми}
 \end{figure}

\subsection{Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде}
Если имеем $x = x(t), y = y(t)$ -- параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой 
кривой на промежутке $[0;T]$, что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой, то ее площадь $S$ находим формулой
\[ S = - \int\limits_{0}^{T} x'(t)y(t)dt = \int\limits_{0}^{T} x(t)y'(t)dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{T} [x(t)y'(t) - x'(t)y(t)]dt \]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/parS.png}
    \caption{Фигура, ограниченная кривой, заданной в параметрическом виде}
 \end{figure}

\subsection{Площадь фигуры в полярных координатах}
Площадь $S$ криволинейного сектора $OAB$, ограниченного непрерывной кривой $r = r(\phi)$ 
и двумя лучами $\phi = \alpha$ и $\phi = \beta$, где $\alpha < \beta$ равняется половине определенного интеграла от 
квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла:
\[ S =  \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^2 (\phi) d\phi \]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/polarS.png}
    \caption{Cектор, ограниченный кривой и двумя полуполярными углами}
 \end{figure}

\section{Вычисление длины дуги кривой}

\subsection{Длина дуги в прямоугольных координатах}
Пусть некоторая функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что тоже самое, дугу кривой $AB$:

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/img7.png}
    \caption{Кривая AB}
 \end{figure}

В предположение о непрерывности производной $f'(x)$ на $[a; b]$, длина кривой $AB$ выражается формулой:

\[L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \text{, или же } L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx\]

\newpage
\subsection{Длина дуги кривой, заданной параметрически}
Если кривая $C$ задана уравнениями $x = x (t), y = y(t)$ $(t \in [t_0 ; T])$, где $x(t)$ и $y(t)$ 
непрерывные на $[t_0 ; T]$ функции, то длина дуги кривой $C$ равняется определенному интегралу:

\[l = \int\limits_{t_0}^{T} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt\]

\subsection{Длина дуги в полярных координатах}
Если кривая задана уравнением $r = r(\phi), (\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2)$ в полярной системе координат, 
где функция является гладкой непрерывной на промежутке $r (\phi) \in C^1 [\phi_1 ; \phi_2]$, 
тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

\[l = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{(r(\phi))^2 + (r'(\phi))^2} d\phi\]

\section{Вычисление площади поверхности вращения}

\subsection{Площадь поверхности вращения в декартовой системе координат}

Площадь поверхности $P$, что образована вращением гладкой кривой $AB$ вокруг оси $Ox$, где $y(x)$ -- непрерывная гладкая функция ($y = f(x)$), равняется

\[P = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| ds = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx \]
, где $ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx $ -- дифференциал дуги.

\subsection{Площадь поверхности вращения в параметрическом виде}

Если $x = x(t), y = y(t)$ и $ t_0 \leq t \leq T$ (т.е. кривая задана параметрически), то площадь поверхности можно высчитать следующим образом:
\[ P = 2 \pi \int\limits_{t_0}^{T} y(t) \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+ \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt \]

\subsection{Площадь поверхности вращения в полярных координатах}

Если кривая задана в полярных координатах уравнением $\rho= f (\phi)$, где $\alpha \leq \phi \leq \beta$, 
а функция $f(\phi)$ имеет непрерывную производную $f'(\phi)$ на $[\alpha;\beta]$, то, учитывая, что $y = \rho\sin\phi= f(\phi)\sin\phi$, получим:

\[ P= 2 \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\phi \sqrt{(\rho'_{\phi})^2 + \rho^2}\,d\phi \]

\section{Объем тела вращения}

\subsection{Объем тела вращения в декартовом виде вокруг осей Ox, Oy}

Пусть область, которую мы будем вращать, представляет собой самую классическую криволинейную трапецию.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/img6.png}
    \caption{Криволинейная трапеция}
 \end{figure}

Естественно, что вращать её можно только вокруг оси Оx. Если же эту трапецию сдвинуть вправо по горизонтали так, 
чтобы она не пересекала ось Oy, то её можно вращать и относительно этой оси. Получаем следующие формулы:
\[ V^{Ox} = \pi \int\limits_{a}^{b} y^2(x) dx ; \; V^{Oy} = 2 \pi \int\limits_{a}^{b} xy(x) dx \]

\subsection{Объём тела вращения, заданное уравнением кривой в параметрическом виде}

Пусть кривые заданы в параметрическом виде. Так как такие кривые являются замкнутыми, параметр t должен меняться таким образом, 
чтобы замкнутая фигура при обходе её по кривой (границе) оставалась слева.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.55\textwidth]{img/img5.png}
    \caption{Замкнутая кривая}
 \end{figure}

Тогда для вычисления объёмов тел вращения относительно оси ОХ или OY используются следующие формулы:
\[ V^{Ox} = - \pi \int\limits_{t_1}^{t^2} y^2(t) x' dt ; \; V^{Oy} = \pi \int\limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) dt\]

\subsection{Объем тела вращения в полярных координатах}

Если кривые заданы полярными координатами ($r = r (\phi)$), тогда будет справедлива следующая формуля расчета объема тела вращения:

\[ V = \frac{2 \pi}{3} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^3 (\phi) sin \phi d \phi, \] где $0 \leq \alpha \leq \phi \leq \beta \leq \pi$.

\section{Механические приложения}

\subsection{Вычисление массы кривой}

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой $C$. 
Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью $\rho (x, y, z)$. Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
\[ m = \int\limits_{C} \rho (x, y, z) ds \]

Если кривая $C$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой
\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dz}{dt} \right)^2} dt \]

В случае плоской кривой, заданной в плоскости $Oxy$, масса определяется как
\[ m = \int\limits_C \rho(x, y) ds \]
или в параметрической форме
\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2} dt \]

\subsection{Статические моменты относительно Ox, Oy}

Статическим моментом точки относительно оси называется произведе-ние массы точки на расстояние до прямой. 
Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна $\rho (x, y) = 1$ (тогда масса кривой равна ее длине), 
и найдём статический момент кривой относительно оси Ox . Пусть кривая задана уравнением $y = y(x), a \leq x \leq b$. 
Возьмем на кривой точку $(x, y)$ и вырежем из кривой элементарный участок длины $dl$, содержащий точку $(x, y)$. 
Если считать массу участка, равную $dl$, сосредоточенной в точке $(x, y)$, то элементарный момент, 
то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси Ox равен $dS = y \cdot dl$. 
Тогда статический момент всей кривой относительно оси Ox, находится по последующей формуле:
\[ S_x = \int\limits_a^b y(x) \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]

Аналогичным образом выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси Oy:

\[ S_y = \int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]

\subsection{Моменты инерции относительно осей Ox, Oy}

Моментом инерции материальной точки $A$ относительно оси $l$ называется число $md^2$, где $m$ — масса точки, а $d$ — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.

Пусть $\Gamma$ — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине $dl$, а момент инерции $dl_x$ такого участка относительно оси абсцисс равен $y^2 dl$. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:
\[ I_x=\int\limits_{0}^{l} y^2\,dl. \text { Так же доказывается, что } I_y= \int\limits_{0}^{l} x^2\,dl \text{ и } I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(x^2+y^2\bigr)dl, \]
где $I_0$ — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что $I_0 = I_x + I_y$.

Если линия $\Gamma$ задана параметрическими уравнениями:

$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant l$, то
$I_x=\int\limits_{0}^{l} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.$

Аналогичные формулы справедливы для $I_y$ и $I_0$:

\[ I_y=\int\limits_{0}^{l} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2 + \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,; \] 
\[ \qquad I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\, \]
\subsection{Координаты центра тяжести}

Центром тяжести материальной плоской кривой $y = f(x), x \in [a; b]$ называется точка плоскости, 
обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу $m$ заданной кривой, 
то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой $y = f(x)$ относительно той же оси. 
Обозначим через $C (x_c ; y_c)$ центр тяжести кривой AB. Тогда координаты центра тяжести вычисляются по следующим формулам:

\[ x_c = \frac{\int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx} ; \;
y_c = \frac{\int\limits_a^b y \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}\]

Также имеет место следующие две формулы для определения центра тяжести дуги окружности:

\[ x_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} x dl ; \; y_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} y dl\]

где $l$ - длина дуги.

\end{document}