\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}

\usepackage{underscore}
\usepackage{setspace}
\usepackage{indentfirst} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Физические приложения криволинейного интеграла}

% Курс
\course{2}

% Группа
\group{231}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание
\saname{Е. В. Разумовская}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2021}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering

\tableofcontents

%-------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Криволинейный интеграл первого рода}

\subsection{Определение}

Пусть $s$ --- натуральный параметр кривой $\Gamma$, $0 \leq s \leq L$ и функция
$f(x)$, $(x \in \mathbb{R}^m)$ определена в точках кривой $\Gamma$. Определённый
интеграл
\begin{equation*}
    \int_0^l f(x_1(s), x_2(s), \dots, x_n(s)) \; ds
\end{equation*}
(если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ 
по кривой $\Gamma$ и обозначается
\begin{equation*}
    \int_\Gamma f(x) \; ds
\end{equation*}

Если вместо натурального параметра использоавать любой другой параметр 
$t \in [a; b]$, то
\begin{equation*}
    \int_\Gamma f(x) ds = \int_a^b f(x_1(t), \dots, x_m(t)) |x'(t)| dt
\end{equation*}
По сути, была повторена схема Римана: разбиваем кривую на произвольные частичные
дуги. На каждой дуге выбираем произвольную точку и составляем частичную сумму,
умножая значение функции в этой точке на длину частичной дуги этой кривой.
Если у суммы существует предел при стремлении диаметра к 0, и этот предел не
зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек, то он и называется
криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ по длине кривой.


\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла первого рода}

\begin{enumerate}
    \item
        Для функций $f_1(x, y, z)$ и $f_2(x, y, z)$ и постоянных $c_1$ и $c_2$
        выполняется равенство
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma (c_1 f_1(x, y, z) + c_2 f_2(x, y, z)) dt =
            c_1 \int_\Gamma f_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma f_2(x, y, z) dt
        \end{equation*}

    \item
        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma f(x, y, z) dt = 
            \int_{\Gamma_1} f(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} f(x, y, z)
        \end{equation*}

    \item 
        Значение криволинейного интеграла на кривой не зависит от её ориентации:
        \begin{equation*}
            \int_{\Gamma^+} f(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} f(x, y, z) dt
        \end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection{Вычисление криволинейного интеграла первого рода}

Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит от
способа задания этой линии.

\begin{enumerate}
    \item 
        Линия задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:
        \begin{align*}
            \begin{rcases*}
                x = x(t) \\
                y = y(t) \\
                z = z(t)
            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\
            \int_\Gamma f(x, y, z) dt &= 
            \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot
            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt
        \end{align*}

        На плоскости справедлива аналогичная формула:
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma f(x, y) dt = 
            \int_a^b f(x(t), y(t)) \cdot
            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt
        \end{equation*}

    \item
        Линия $\Gamma$ задана на плоскости $XOY$ явно, то есть 
        $\Gamma: y = y(x), \, x \in [a; b] \implies$
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma f(x, y) \, dt = 
            \int_a^b f(x, y(x)) \cdot \sqrt{1 + (y_x')^2} \, dx
        \end{equation*}

    \item
        Линия $\Gamma$ задана на плоскости в полярной системе координат
        уравнением $r = r(\varphi) \implies$
        \begin{align*}
            x &= r(\varphi) \cdot \cos \varphi,
            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi,\\
            dt &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = 
            \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\varphi \implies\\
            \int_\Gamma f(x, y) \, dt &= 
            \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} f(r(\varphi) \cos \varphi,
            r(\varphi \sin \varphi)) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\varphi
        \end{align*}
\end{enumerate}

\subsection{Применение криволинейного интеграла первого рода}

\subsubsection{Масса материальной линии}

Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.
Тогда общую массу кривой можно вычислить через криволинейный интеграл 
первого рода, с помощью формул, указанных в предыдущем разделе.

Например, если кривая $\Gamma$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции
$\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой
\begin{equation*}
    m = \int_a^b \rho(x(t), y(t), z(t)) 
    \sqrt{
        \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +
        \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 +
        \left( \frac{dz}{dt} \right)^2
    } dt
\end{equation*}

А в случае кривой в пространтсве массу можно определить как
\begin{equation*}
    m = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt
\end{equation*}

\subsubsection{Момент инерции}

Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.
Тогда момент инерции кривой $\Gamma$ относительно некоторой оси $s$ равен
\begin{equation*}
    I_s = \int_\Gamma R^2 (x, y, z) \cdot \rho(x, y, z) dl
\end{equation*}
где $R(x, y, z)$ --- расстояние от некоторой точки $M(x, y, z) \in \Gamma$ до
оси $s$.

\subsubsection{Координаты центра масс}

Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$
распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. Тогда
центра масс этой кривой имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$:
\begin{equation*}
    x_0 = \frac{m_x}{m(\Gamma)}, \, 
    y_0 = \frac{m_y}{m(\Gamma)}, \,
    z_0 = \frac{m_z}{m(\Gamma)}
\end{equation*}
где $m(\Gamma) = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt$ --- масса кривой, а
\begin{align*}
    m_x &= \int_\Gamma x \cdot \rho(x, y, z) dt, \\
    m_y &= \int_\Gamma y \cdot \rho(x, y, z) dt, \\
    m_z &= \int_\Gamma z \cdot \rho(x, y, z) dt
\end{align*}

\section{Криволинейный интеграл второго рода}

\subsection{Определение}

Пусть 
\begin{align*}
    \overline{F}(x) 
    &= (F_1(x), F_2(x), \dots, F_m(x)) =\\
    &= (F_1(x_1, \dots, x_m), F_2(x_1, \dots, x_m), \dots, F_m(x_1, \dots, x_m))
\end{align*}

--- вектор-функция, причём её координаты функции $F_i(x)$ непрерывны в точках
кривой $\Gamma$. Тогда криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции
$\overline{F}(x)$ по кривой $\Gamma$ с уравнением $x = x(s), \, 0 \leq s \leq L$
называется криволинейный интеграл первого рода следующего вида:

\begin{equation*}
    \int_0^L \overline{F}(x(s)) \cdot x'(s) \; dt
\end{equation*}

где $\overline{F}(x(s)) \cdot x'(s)$ --- скалярное произведение двух векторов $=$ 
\begin{equation*}
    = \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x(s)) x_i'(s) = 
    \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x_1(s), \dots, x_m(s)) x_i'(s)    
\end{equation*}

Криволинейный интеграл второго рода обозначают следующим образом:
\begin{equation*}
    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m
\end{equation*}

Пусть параметр $t$ даёт ту же ориентацию кривой, что и натуральный параметр $s$,
тогда
\begin{equation*}
    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m =
    \int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt
\end{equation*}

Если же этот параметр даёт противоположную ориентацию, то 
\begin{equation*}
    \int_\Gamma \sum_{i = 1}^m F_i dx_i =
    -\int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt
\end{equation*}

Таким образом, криволинейный интеграл второго рода зависит от ориентации кривой.


\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла второго рода}

\begin{enumerate}
    \item
        Для вектор-функций $\vec{F}_1(x, y, z)$ и $\vec{F}_2(x, y, z)$ и 
        постоянных $c_1$ и $c_2$ выполняется равенство
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma (c_1 \vec{F}_1(x, y, z) + c_2 \vec{F}_2(x, y, z)) \vec{d}s =
            c_1 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) \vec{d}s
        \end{equation*}

    \item
        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то
        \begin{equation*}
            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) dt = 
            \int_{\Gamma_1} \vec{F}(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} \vec{F}(x, y, z)
        \end{equation*}

    \item 
        Значение криволинейного интеграла на кривой зависит от её ориентации
        (продемонстрировано в предыдущем пункте):
        \begin{equation*}
            \int_{\Gamma^+} \vec{F}(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} \vec{F}(x, y, z) dt
        \end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection{Вычисление криволинейного интеграла второго рода}

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению 
определённого интеграла. Найдём $d\vec{s}$ --- раскладывая этот вектор по
векторам канонического базиса, получаем 
$d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}$
Тогда получаем, что
\begin{align*}
    \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz \\
    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= 
    \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
\end{align*}

Далее, формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит
от способа задания этой линии.

\begin{enumerate}
    \item
        Пусть кривая задана в пространстве парааметрически:
        \begin{align*}
            \begin{rcases*}
                x = x(t) \\
                y = y(t) \\
                z = z(t)
            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\
            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{t} &= 
            \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =\\
            &= \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + \\
            &+ Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t)] dt
        \end{align*}
        
        Аналогично при задании кривой в плоскости.

    \item
        Пусть кривая задана на плоскости графиком $y = y(x) \implies$
        \begin{align*}
            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=
            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\
            &= \int_{x_1}^{x_2} [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x)] dx
        \end{align*}

    \item
        Пусть кривая задана на плоскости в полярной системе координат уравнением
        $r = r(\varphi) \implies$
        \begin{align*}
            x = r(\varphi) &\cdot \cos \varphi, \,
            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi \implies\\
            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=
            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\
            &= \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} [
                P(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \cos \varphi - r(\varphi) \sin \varphi) + \\
                &+ Q(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \sin \varphi - r(\varphi) \cos \varphi)
            ] d\varphi
        \end{align*}
\end{enumerate}

\subsection{Применение криволинейного интеграла второго рода}

\subsubsection{Механический смысл, работа силы}

Работа силы --- мера действия силы, зависящая от её модуля и направления и от
перемещения точки приложения силы. Если сила $\vec{F}$ постоянна по модулю и 
направлению, а перемещение $\vec{M_0 M_1} = \vec{s}$ прямолинейно, то работа 
определяется равенством $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где
$\alpha$ --- угол между направлениями силы и перемещения.

В общем случае для вычисления работы силы вводят понятие элементарное работы
$dA = |\vec{F}| \cdot |d\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где $d\vec{s}$ --- вектор
элементарного перемещения точки приложения силы.

В декартовых координатах 
\begin{align*}
    d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}, \\
    \vec{F} = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k}
\end{align*}

Элементарная работа будет равна
\begin{equation*}
    dA = P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz
\end{equation*}

Работа силы на конечном перемещении определяется как предел интегральной суммы
соответствующих элементарных работ и при перемещении по кривой $\Gamma$ выражается
криволинейным интегралом второго рода:
\begin{equation*}
    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} =
    \int_\Gamma P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz
\end{equation*}

Таким образом, криволинейный интеграл второго рода определяет значение работы
силы при перемещении по кривой точки единичной массы.

\subsubsection{Закон Ампера}

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией $\vec{B}$ вдоль замкнутого
контура $\Gamma$ пропорционален полному току, протекающему через область, 
ограниченную контуром $\Gamma$ (рис. \ref{fig:amper}). Это выражается формулой 
\begin{equation*}
    \int_\Gamma \vec{B} \cdot d\vec{r} = \mu_0 I
\end{equation*}
где $\mu_0$ --- магнитная проницаемость вакуума.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{amper.png}
    \caption{}
    \label{fig:amper}
\end{figure}

\subsubsection{Закон Фарадея}

Электродвижущая сила $\varepsilon$, наведённая в замкнутом контуре $\Gamma$
равна скорости изменения магнитного потока $\psi$, проходящего через данный
контур (рис. \ref{fig:faraday}):
\begin{equation*}
    \varepsilon = \int_\Gamma \vec{E} \cdot d\vec{r} =
    -\frac{d\psi}{dt}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{faraday.png}
    \caption{}
    \label{fig:faraday}
\end{figure}


\end{document}