From 0be2be0a92f992bf8ee9eff701cb19658a1e7544 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Thu, 29 Dec 2022 15:20:32 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BB=D0=B0=D0=B1=D1=8B=208-15?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 report/lab8/lab8.tex | 105 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 105 insertions(+)
 create mode 100644 report/lab8/lab8.tex

(limited to 'report/lab8/lab8.tex')

diff --git a/report/lab8/lab8.tex b/report/lab8/lab8.tex
new file mode 100644
index 0000000..8ba3421
--- /dev/null
+++ b/report/lab8/lab8.tex
@@ -0,0 +1,105 @@
+\documentclass[a4paper,oneside]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{minted}
+\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{float}
+
+\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
+\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
+
+% --- Определение --- %
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
+\newtheorem*{definition*}{Определение}
+% ------------------- %
+
+\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №8}}
+\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
+\date{\the\year{} г.}
+
+\begin{document}
+
+
+\maketitle
+
+\section{Задача}
+
+        Осуществить проверку чисел на простоту с помощью
+        полиномиального теста распознавания простоты.
+
+\section{Алгоритм}
+
+        Тест Агравала — Каяла — Саксены (тест AKS) — единственный известный на
+        данный момент универсальный (то есть применимый ко всем числам)
+        полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от
+        недоказанных гипотез) тест простоты чисел, основанный на обобщении малой
+        теоремы Ферма на многочлены.
+
+
+        Если существует ${\displaystyle r\in \mathbb {Z}}$ такое, что
+        ${\displaystyle o_{r}(n)>\log ^{2}n}$ и для любого ${\displaystyle a}$
+        от 1 до ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {\varphi (r) }} \log(n)
+        \right \rfloor }$ выполняется сравнение ${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv
+        (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,\;n}}}$, то ${\displaystyle n}$ — либо простое
+        число, либо степень простого числа.
+
+        Здесь и далее ${\displaystyle o_{r}(n)}$ обозначает показатель числа
+        ${\displaystyle n}$ по модулю ${\displaystyle r}$, $\log$  — двоичный
+        логарифм и $\varphi (\cdot )$ — функция Эйлера.
+
+        Сравнение по двум модулям вида \[{\displaystyle a(x)\equiv b(x){\pmod
+        {h(x),\;n}}}\] для многочленов ${\displaystyle a(x),\;b(x)\in \mathbb
+        {Z} [x]}$ означает, что существует ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z}
+        [x]}$ такой, что все коэффициенты многочлена ${\displaystyle a(x) - b(x)
+        - g(x)h(x)}$ кратны $n$, где $\mathbb {Z} [x]$ — кольцо многочленов от
+        $x$ над целыми числами.
+
+        \textbf{Показателем}, или \textbf{мультипликативным порядком}, целого
+        числа $a$ по модулю $m$ называется наименьшее положительное целое число
+        $\ell$, такое, что ${\displaystyle a^{\ell }\equiv 1{\pmod {m}}.}$
+
+
+        В общем виде алгоритм можно представить следующим образом:
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Подается на проверку число $n$.
+            \item Проверить, является ли $n$ степенью числа: если $n = a^b$ для
+            целых чисел $a > 1$, $b > 1$. Если да, вернуть ''составное''.
+            \item Найти такое наименьшее $r$ (взаимнопростое с $n$), что
+            $o_{r}(n) > (log_2 \; n)^2$.
+            \item Если $1 < $НОД$(a,\;n) < n$ для некоторого $a \leq r$,
+            вернуть ''составное''.
+            \item Если $n\leq r$, вернуть ''простое''.
+            \item Если для всех $a$ от $1$ до $\left\lfloor {\sqrt {\varphi
+            (r)}}\log(n)\right\rfloor$ верно, что $(x+a)^{n}\equiv x^{n}+a{\pmod
+            {x^{r}-1,\;n}}$, вернуть ''простое''.
+            \item Иначе вернуть ''составное''.
+        \end{enumerate}
+
+        Для вычисления коэффициентов многочлена, полученного из $(x+a)^{n}\equiv
+        x^{n}+a{\pmod {x^{r}-1,\;n}}$, с целью проверки их делимости на
+        исследуемое число $n$ использовался треугольник Паскаля.
+
+
+\section{Реализация}
+\inputminted{python}{../../lab8/lab8.py}
+
+\section{Тестирование}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test8.png}
+\end{figure}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

