\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №1}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}

\maketitle

\section{Задача}

Решите сравнение вида $ax \equiv b \pmod{m}$ с помощью алгоритма Евклида.

\section{Алгоритм}

Алгоритм Евклида, вычисляющий наибольший общий делитель двух чисел, можно расширить
для нахождения по заданным числам $a$ и $b$ таких целых $x$ и $y$, что
$ax + by = d$, где $d$ --- $\gcd(a, b)$.

Пусть для положительных целых чисел $a$ и $b$ $(a > b)$ известны $d = \gcd(a, b)
= \gcd(b, a \pmod{b})$, а также числа $x'$ и $y'$, для которых $d = x'b + y'(a
\pmod{b})$. Тогда значения $x$ и $y$, являющиеся решениями уравнения $ax + by =
d$, находятся из соотношений
\begin{equation*}
    x = y', y = x' - y' \frac{a}{b}
\end{equation*}

Линейным сравнением называется уравнение вида $ax \equiv b \pmod{m}$. Оно имеет
решение тогда и только тогда, когда $b$ делится на $d = \gcd(a, m)$. Если $d >
1$, то уравнение можно упростить, заменив его на $a'x \equiv b' \pmod{m'}$),
где $a' = a / d$, $b' = b / d$, $m' = m / d$. После такого преобразования числа
$a'$ и $m'$ являются взаимно простыми.

Алгоритм решения уравнения $a'x \equiv b' \pmod{m'}$) со взаимно простыми $a'$ и
$m'$ состоит из двух частей:
\begin{enumerate}
  \item
    Решаем уравнение $a'x = 1 \pmod{m'}$). Для этого при помощи расширенного
    алгоритма Евклида ищем решение $(x_0, y_0)$ уравнения $a'x + m'y = 1$. Взяв
    по модулю $m'$ последнее равенство, получим $a'x_0 = 1 \pmod{m'}$).
  \item
    Умножим на $b'$ равенство $a'x_0 = 1 \pmod{m'}$). Получим $a'(b'x_0) = b'
    \pmod{m'}$), откуда решением исходного уравнения $a'x = b' \pmod{m'}$) будет
    $x = b'x_0 \pmod{m'}$).
\end{enumerate}

Все решения сравнения находят по формуле $x_i = x + m'i$, где $i = 0, \dots, d -
1$.

\section{Реализация}

Для реализации программы использовался язык программирования Rust с системой
сборки cargo.

\inputminted{rust}{../../lab1/src/main.rs}

\section{Тестирование}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{test.png}
\end{figure}

\end{document}
