\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №11}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}

\maketitle

\section{Задача}
Реализовать факторизацию Ферма.

\section{Алгоритм}
Ферма описал свой метод разложения больших чисел на множители. Он
представлял собой первое реальное улучшение по сравнению с
классическим методом попытки найти множитель $n$ путем деления на
все простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. В основе схемы
факторизации Ферма лежит наблюдение, что поиск множителей нечетного
целого числа $n$ (поскольку степени двойки легко распознаются и
могут быть удалены в самом начале, нет никаких потерь в
предположении, что $n$ нечетно) эквивалентен получению интегральных
решений $x$ и $y$ уравнения $n = x^{2} - y^{2}$.

Если $n$ --- разность двух квадратов, то очевидно, что $n$ можно разложить на
множители как $n = x^{2}-y^{2} = (x+y)(x-y)$. И наоборот, когда $n$ имеет
разложение $n = ab$, где $a \geq b \geq 1$, тогда мы можем записать $n =
(\frac{a+b}{2})^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}$.

Более того, поскольку $n$ считается нечетным целым числом, $a$ и $b$
сами по себе нечетны и, следовательно, $\frac{a+b}{2}$ и
$\frac{a-b}{2}$ будут целыми неотрицательными числами.

Поиск возможных $x$ и $y$, удовлетворяющих уравнению $n=x^{2}-y^{2}$ или, что то
же самое, уравнению $x^{2}-n=y^{2}$, начинают с определения наименьшее целое
число $k$, для которого $k^{2} \geq n$. Рассмотрим последовательно числа
$k^{2}-n$, $(k+1)^{2}-n$, $(k+2)^{2}-n$, $(k+3)^{2}-n$, $\ldots$, пока не будет
найдено значение $m \geq n$, делающее $m^{2}-n$ квадратом. Процесс не может
продолжаться бесконечно, потому что в конце концов мы придем к $
(\frac{n+1}{2})^{2} - n = (\frac{n-1}{2})^{2}$ представлению $n$,
соответствующее тривиальной факторизации $n=n.1$. Если эта точка достигается без
обнаружения разности квадратов ранее, то $n$ не имеет других делителей, кроме
$n$ и $1$, и в этом случае оно является простым числом.


\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab11/lab11.py}


\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test11.png}
\end{figure}

\end{document}
