\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №15}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}

\maketitle

\section{Задача}

Вычисление значений и корней полиномов


\section{Алгоритм}


\subsection{Значение многочлена}

При вычислении значений многочленов очень широкое применение получило правило
Горнера. Метод назван в честь британского математика Уильяма Джорджа Горнера.

В соответствии с этим правилом многочлен $n$-й степени:
\begin{equation*}
    P_n(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n
\end{equation*}
представляется в виде
\begin{equation*}
    P_n(x) =(\dots((a_0 x + a_1) x + a_2) x + \dots + a_{n-1}) x + a_n
\end{equation*}

Вычисление значения многочлена производится в порядке, определяемом скобками.

\subsection{Корни многочлена}

Схема Горнера - способ деления многочлена
$$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^{n - i} = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots +
a_n$$ на бином $x - a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой
содержит коэффициенты заданного многочлена.  Первым элементом второй строки
будет число $a$, взятое из бинома $x - a$.

Вторая строка таблицы заполняется постепенно. Второй элемент этой строки
(обозначим его $b_0$) равен $a_0$, т.е., по сути, мы просто переносим вниз число
$a_0$.

Следующий элемент второй строки, который мы обозначим как $b_1$, получается по
такой формуле: $b_1 = a \cdot b_0 + a_1$.  Далее находим элемент $b_2$ по
формуле $b_2 = a \cdot b_1 + a_2$ и т.д.

В конечном итоге, мы вычислим последний элемент $b_n = a \cdot b_{n - 1} + a_n$.

После деления исходного многочлена $n$-й степени $P_n(x)$ на бином $x - a$,
получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n -
1$.

Последнее число второй строки, т.е. $b_n$, есть остаток от деления $P_n ( x )$
на $x - a$:
\begin{equation*}
    \sum_{i=0}^{n} a_i x^{n - i} = a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \dots + a_n = (x - a) \cdot (b_0 x^{n - 1} + b_1 x^{n - 2} + \dots + b_{n - 1}) + b_n
\end{equation*}

Таким образом, по теореме Безу это означает, что число $b_n$ равно значению
многочлена $P_n ( x )$ при $x = a$, т.е. $b_n = P_n ( a )$.

Если $b_n = 0$, то исходный многочлен делится на бином $x - a$ нацело, т.е.
число $a$ является корнем этого многочлена.


\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab15/lab15.py}


\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test15.png}
\end{figure}

\end{document}
