\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №6}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}

\maketitle

\section{Задача}

Осуществить проверку чисел на простоту с помощью теста Соловея"=Штрассена.

\section{Алгоритм}

Тест Соловея"=Штрассена опирается на малую теорему Ферма и свойства символа
Якоби:

Если $n$ --- нечетное составное число, то количество целых чисел $a$,
взаимнопростых с $n$ и меньших $n$, удовлетворяющих сравнению $a^{(n - 1) / 2}
\equiv \left(\frac{a}{n}\right) \pmod{n}$, не превосходит $\frac{n}{2}$, где
$\left(\frac{a}{n}\right)$ --- символ Якоби.

Алгоритм Соловея"=Штрассена параметризуется количеством раундов $k$. В каждом
раунде случайным образом выбирается число $a < n$. Если $\text{НОД} (a, n) >
1$, то выносится решение, что $n$ составное. Иначе проверяется справедливость
сравнения $\displaystyle a^{(n - 1) / 2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right) \pmod
{n}$. Если оно не выполняется, то выносится решение, что $n$ --- составное. Если
это сравнение выполняется, то $a$ является свидетелем простоты числа $n$. Далее
выбирается другое случайное $a$ и процедура повторяется. После нахождения $k$
свидетелей простоты в $k$ раундах выносится заключение, что $n$ является простым
числом с вероятностью $\displaystyle 1 - 2^{-k}$.

\section{Реализация}

Для реализации вычисления символа Якоби необходимо было реализовать вычисление
символа Лежандра, а также использовать некоторый алгоритм факторизации числа.
Для факторизации был выбран и реализован алгоритм Лемана.

\inputminted[fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos]{rust}{../../lab6/src/main.rs}

\section{Тестирование}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{test.png}
\end{figure}

\end{document}
