\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №8}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}


\maketitle

\section{Задача}

        Осуществить проверку чисел на простоту с помощью
        полиномиального теста распознавания простоты.

\section{Алгоритм}

        Тест Агравала — Каяла — Саксены (тест AKS) — единственный известный на
        данный момент универсальный (то есть применимый ко всем числам)
        полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от
        недоказанных гипотез) тест простоты чисел, основанный на обобщении малой
        теоремы Ферма на многочлены.


        Если существует ${\displaystyle r\in \mathbb {Z}}$ такое, что
        ${\displaystyle o_{r}(n)>\log ^{2}n}$ и для любого ${\displaystyle a}$
        от 1 до ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {\varphi (r) }} \log(n)
        \right \rfloor }$ выполняется сравнение ${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv
        (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,\;n}}}$, то ${\displaystyle n}$ — либо простое
        число, либо степень простого числа.

        Здесь и далее ${\displaystyle o_{r}(n)}$ обозначает показатель числа
        ${\displaystyle n}$ по модулю ${\displaystyle r}$, $\log$  — двоичный
        логарифм и $\varphi (\cdot )$ — функция Эйлера.

        Сравнение по двум модулям вида \[{\displaystyle a(x)\equiv b(x){\pmod
        {h(x),\;n}}}\] для многочленов ${\displaystyle a(x),\;b(x)\in \mathbb
        {Z} [x]}$ означает, что существует ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z}
        [x]}$ такой, что все коэффициенты многочлена ${\displaystyle a(x) - b(x)
        - g(x)h(x)}$ кратны $n$, где $\mathbb {Z} [x]$ — кольцо многочленов от
        $x$ над целыми числами.

        \textbf{Показателем}, или \textbf{мультипликативным порядком}, целого
        числа $a$ по модулю $m$ называется наименьшее положительное целое число
        $\ell$, такое, что ${\displaystyle a^{\ell }\equiv 1{\pmod {m}}.}$


        В общем виде алгоритм можно представить следующим образом:

        \begin{enumerate}
            \item Подается на проверку число $n$.
            \item Проверить, является ли $n$ степенью числа: если $n = a^b$ для
            целых чисел $a > 1$, $b > 1$. Если да, вернуть ''составное''.
            \item Найти такое наименьшее $r$ (взаимнопростое с $n$), что
            $o_{r}(n) > (log_2 \; n)^2$.
            \item Если $1 < $НОД$(a,\;n) < n$ для некоторого $a \leq r$,
            вернуть ''составное''.
            \item Если $n\leq r$, вернуть ''простое''.
            \item Если для всех $a$ от $1$ до $\left\lfloor {\sqrt {\varphi
            (r)}}\log(n)\right\rfloor$ верно, что $(x+a)^{n}\equiv x^{n}+a{\pmod
            {x^{r}-1,\;n}}$, вернуть ''простое''.
            \item Иначе вернуть ''составное''.
        \end{enumerate}

        Для вычисления коэффициентов многочлена, полученного из $(x+a)^{n}\equiv
        x^{n}+a{\pmod {x^{r}-1,\;n}}$, с целью проверки их делимости на
        исследуемое число $n$ использовался треугольник Паскаля.


\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab8/lab8.py}

\section{Тестирование}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test8.png}
\end{figure}

\end{document}
