\documentclass[a4paper,oneside]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %

\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №9}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}

\begin{document}

\maketitle

\section{Задача}

Осуществить построение большого простого числа с
использованием критерия Люка.


\section{Алгоритм}

В теории чисел тест простоты Люка — это тест простоты натурального числа
n; для его работы необходимо знать разложение $n-1$ на множители. Для
простого числа n простые множители числа $n-1$ вместе с некоторым
основанием a составляют сертификат Пратта, который позволяет подтвердить
за полиномиальное время, что число n является простым.

Пусть n > 1 — натуральное число. Если существует целое $a$ такое, что
${\displaystyle 1<a<n}$ и
\[a^{n-1} \equiv 1 \pmod n\] и для любого простого делителя $q$ числа
$n-1$
\[{\displaystyle a^{\frac {n-1}{q}}\not \equiv 1{\pmod {n}}}\] то $n$
простое.

Если такого числа $a$ не существует, то $n$ — составное число.

Практическая реализация основана на выборе случайного числа в диапазоне значений
от $2^{b - 1} + 1$ до $2^b - 1$ (где $b$ определяет число бит генерируемого
простого числа). Далее это число проверяется на наличие небольших простых
делителей (простые числа меньше 500), и если таких делителей не найдено,
осуществляется проверка с помощью теста Люка. Если число проходит тест, значит
оно является сгенерированным простым числом. Если же число не проходит тест или
у него есть делители среди небольших первых простых чисел, то выбирается другое
число из этого диапазона, пока выбранное число не будет проходить тест успешно. 


\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab9/lab9.py}


\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test9.png}
\end{figure}



\end{document}
