diff options
| -rw-r--r-- | lab5/report/lab5.tex | 95 |
1 files changed, 36 insertions, 59 deletions
diff --git a/lab5/report/lab5.tex b/lab5/report/lab5.tex index c98a0c7..dbd941f 100644 --- a/lab5/report/lab5.tex +++ b/lab5/report/lab5.tex @@ -253,7 +253,6 @@ $R$ мощности $M$ определяющих соотношений. двусторонний $(x)$ идеалы полугруппы $S$, порожденные элементом $x$, и определите порядок элемента $x$ для каждого элемента полугруппы, на которой бинарная операция задана следующей таблицей Кэли: - \begin{table}[H] \small \centering @@ -266,14 +265,12 @@ $R$ мощности $M$ определяющих соотношений. d & d & a & b & c \\ \hline \end{tabular} \end{table} - -$[a) = \{a, b, c, d\}, \; (a] = \{a, b, c, d\}, \; (a) = \{a, b, c, d\}.$ - -$[b) = \{b, c, d, a\}, \; (b] = \{b, c, d, a\}, \; (b) = \{b, c, d, a\}.$ - -$[c) = \{c, d, a, b\}, \; (c] = \{c, d, a, b\}, \; (c) = \{c, d, a, b\}.$ - -$[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$ +\begin{align*} + [a) = \{a, b, c, d\}, \; (a] &= \{a, b, c, d\}, \; (a) = \{a, b, c, d\} \\ + [b) = \{b, c, d, a\}, \; (b] &= \{b, c, d, a\}, \; (b) = \{b, c, d, a\} \\ + [c) = \{c, d, a, b\}, \; (c] &= \{c, d, a, b\}, \; (c) = \{c, d, a, b\} \\ + [d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] &= \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\} +\end{align*} \subsection*{Задание 2} @@ -286,8 +283,7 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} -\end{equation*} -\begin{equation*} + \quad \mathfrak{L} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ @@ -298,7 +294,7 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$ \end{equation*} Тогда отношение Грина будет представлено матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R} -\vee \mathfrak{L}$: +\lor \mathfrak{L}$: \begin{equation*} \mathfrak{D} = \begin{pmatrix} @@ -315,63 +311,45 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$ \caption{<<egg"=box>>"=диаграмма} \end{figure} -По копредставлению полугруппу S найдите отношения Грина и <<egg-box>>-картины: -$S = \langle x, y : xy = yx, x^2 = y, y^3 = x \rangle$. - -Слова длины 1: $x, y$ "--- эти слова не эквивалентны относительно конгруэнции -$\varepsilon$. - -Слова длины 2: $x^2 = y, xy, yx = xy, y^2$. Среди них только $xy$ и $y^2$ не -эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$. - -Слова длины 3: $x^2 y = y^2, xy^2, y^3 = x$. Среди них только $x y^2$ не -эквивалентно относительно конгруэнции $\varepsilon$. - -Слова длины 4: $x^2 y^2 = y^3 = x, x y^3 = x^2 = y$ "--- все эти слова -эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее выделенным словам. - -Таким образом, $S = \{ x, y, xy, y^2, x y^2 \}$. - \subsection*{Задание 3} -Найдите полугруппу S по ее копредставлению $\langle x, y : xy = yx, x^3 = x, y^2 -= x \rangle$. Выделим полную систему представителей классов конгруэнции +По копредставлению полугруппы S найдите отношения Грина и <<egg-box>>-картины. + +Найдём полугруппу $S$ по ее копредставлению $\langle x, y : xy = yx, x^3 = x, +y^2 = x \rangle$. Выделим полную систему представителей классов конгруэнции $\varepsilon$, которая определяется соотношениями данного копредставления. Для этого последовательно рассмотрим слова фиксированной длины и выделим те, которые не будут эквивалентны между собой относительно конгруэнции $\varepsilon$. -Сначала рассматриваем слова длины $1$: $x, y$ - эти слова не эквивалентны между -собой относительно конгруэнции $\varepsilon$. +Слова длины 1 $\{ x, y \}$ не эквивалентны между собой относительно конгруэнции +$\varepsilon$. -Затем рассматриваем слова длины $2$, которые получаются из слов длины $1$ путем -последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$. Из этих слов только -слова $x^2$, $xy$ не эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ другим -ранее выделенным словам. +Рассмотрим слова длины 2, которые получаются из слов длины 1 путём +последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$: $\{ x^2, xy, yx, y^2 +\}$. Из этих слов только слова $x^2$, $xy$ не эквивалентны относительно +конгруэнции $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам. -Теперь рассматриваем слова длины $3$, которые получаются из выделенных слов -длины $2$ путем последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$. Из -этих слов только слово $x^2y$ не эквивалентно относительно конгруэнции +Аналогично рассмотрим слова длины 3: $\{ x^3 = x, x^2y, xyx = x^2y, xy^2 = x^2 +\}$. Из этих слов только слово $x^2y$ не эквивалентно относительно конгруэнции $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам. -Наконец рассматриваем слова длины $4$, которые получаются из выделенного слова -длины $3$ путем последовательного умножения его справа на буквы $x$ и $y$. Все -эти слова эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее выделенным -словам. +Аналогично рассмотрим слова длины 4: $\{ x^2yx = x^3y = xy, x^2y^2 = x^3 = x +\}$. Все эти слова эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее +выделенным словам. -Значит, $S = \{x, y, x^2, xy, x^2y \}$ "--- полная система представителей +Получаем, $S = \{x, y, x^2, xy, x^2y \}$ "--- полная система представителей классов конгруэнции $\varepsilon$. Операция умножения $\cdot$ таких слов определяется с точностью до конгруэнции $\varepsilon$ по следующей таблице Кэли: - \begin{table}[H] \centering - \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} + \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline - $\cdot $ & $x$ & $y$ & $x^2$ & $xy$ & $x^2y$ \\ \hline - $x$ & $x^2$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $xy$ \\ \hline - $y$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ \hline - $x^2$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x^2y$ \\ \hline - $xy$ & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x$ & $x^2$ \\ \hline - $x^2y$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ \hline + $\cdot $ & $x$ & $y$ & $x^2$ & $xy$ & $x^2y$ \\ \hline + $x$ & $x^2$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $xy$ \\ + $y$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ + $x^2$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x^2y$ \\ + $xy$ & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x$ & $x^2$ \\ + $x^2y$ & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} @@ -385,8 +363,7 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам. 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} -\end{equation*} -\begin{equation*} + \quad \mathfrak{L} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ @@ -397,8 +374,8 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам. \end{pmatrix} \end{equation*} -Отношение Грина определяется матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R} -\oplus \mathfrak{L}$: +Отношение Грина определяется матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R} \lor +\mathfrak{L}$: \begin{equation*} \mathfrak{D} = \begin{pmatrix} @@ -411,11 +388,11 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам. \end{equation*} Исходя из полученной матрицы отношений Грина, можно построить -изображение <<egg"box>>"=диаграммы: +изображение <<egg"=box>>"=диаграммы: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.4\textwidth]{myegg2.png} + \includegraphics[width=0.3\textwidth]{myegg2.png} \caption{<<egg"=box>>"=диаграмма} \end{figure} |