From 8a57d07922f0298a67ef2742f203c74c19e79662 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sun, 15 May 2022 17:14:11 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9F=D1=80=D0=B0=D0=B2=D0=BA=D0=B8=20=D0=B7=D0=B0?=
 =?UTF-8?q?=D0=B4=D0=B0=D0=BD=D0=B8=D0=B9=20=D0=B2=20=D0=BF=D1=8F=D1=82?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=B9=20=D0=BB=D0=B0=D0=B1=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 lab5/report/lab5.tex | 95 ++++++++++++++++++++--------------------------------
 1 file changed, 36 insertions(+), 59 deletions(-)

(limited to 'lab5/report/lab5.tex')

diff --git a/lab5/report/lab5.tex b/lab5/report/lab5.tex
index c98a0c7..dbd941f 100644
--- a/lab5/report/lab5.tex
+++ b/lab5/report/lab5.tex
@@ -253,7 +253,6 @@ $R$ мощности $M$ определяющих соотношений.
 двусторонний $(x)$ идеалы полугруппы $S$, порожденные элементом $x$, и
 определите порядок элемента $x$ для каждого элемента полугруппы, на которой
 бинарная операция задана следующей таблицей Кэли:
-
 \begin{table}[H]
   \small
   \centering
@@ -266,14 +265,12 @@ $R$ мощности $M$ определяющих соотношений.
     d       & d & a & b & c \\ \hline
   \end{tabular}
 \end{table}
-
-$[a) = \{a, b, c, d\}, \; (a] = \{a, b, c, d\}, \; (a) = \{a, b, c, d\}.$
-
-$[b) = \{b, c, d, a\}, \; (b] = \{b, c, d, a\}, \; (b) = \{b, c, d, a\}.$
-
-$[c) = \{c, d, a, b\}, \; (c] = \{c, d, a, b\}, \; (c) = \{c, d, a, b\}.$
-
-$[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$
+\begin{align*}
+  [a) = \{a, b, c, d\}, \; (a] &= \{a, b, c, d\}, \; (a) = \{a, b, c, d\} \\
+  [b) = \{b, c, d, a\}, \; (b] &= \{b, c, d, a\}, \; (b) = \{b, c, d, a\} \\
+  [c) = \{c, d, a, b\}, \; (c] &= \{c, d, a, b\}, \; (c) = \{c, d, a, b\} \\
+  [d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] &= \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}
+\end{align*}
 
 \subsection*{Задание 2}
 
@@ -286,8 +283,7 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$
       1 & 1 & 1 & 1 \\
       1 & 1 & 1 & 1
     \end{pmatrix}
-\end{equation*}
-\begin{equation*}
+  \quad
   \mathfrak{L} =
     \begin{pmatrix}
       1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ -298,7 +294,7 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$
 \end{equation*}
 
 Тогда отношение Грина будет представлено матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R}
-\vee \mathfrak{L}$:
+\lor \mathfrak{L}$:
 \begin{equation*}
   \mathfrak{D} =
     \begin{pmatrix}
@@ -315,63 +311,45 @@ $[d) = \{d, a, b, c\}, \; (d] = \{d, a, b, c\}, \; (d) = \{d, a, b, c\}.$
   \caption{<<egg"=box>>"=диаграмма}
 \end{figure}
 
-По копредставлению полугруппу S найдите отношения Грина и <<egg-box>>-картины: 
-$S = \langle x, y : xy = yx, x^2 = y, y^3 = x \rangle$.
-
-Слова длины 1: $x, y$ "--- эти слова не эквивалентны относительно конгруэнции
-$\varepsilon$.
-
-Слова длины 2: $x^2 = y, xy, yx = xy, y^2$. Среди них только $xy$ и $y^2$ не
-эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$.
-
-Слова длины 3: $x^2 y = y^2, xy^2, y^3 = x$. Среди них только $x y^2$ не
-эквивалентно относительно конгруэнции $\varepsilon$.
-
-Слова длины 4: $x^2 y^2 = y^3 = x, x y^3 = x^2 = y$ "--- все эти слова
-эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее выделенным словам.
-
-Таким образом, $S = \{ x, y, xy, y^2, x y^2 \}$.
-
 \subsection*{Задание 3}
 
-Найдите полугруппу S по ее копредставлению $\langle x, y : xy = yx, x^3 = x, y^2
-= x \rangle$. Выделим полную систему представителей классов конгруэнции
+По копредставлению полугруппы S найдите отношения Грина и <<egg-box>>-картины.
+
+Найдём полугруппу $S$ по ее копредставлению $\langle x, y : xy = yx, x^3 = x,
+y^2 = x \rangle$. Выделим полную систему представителей классов конгруэнции
 $\varepsilon$, которая определяется соотношениями данного копредставления. Для
 этого последовательно рассмотрим слова фиксированной длины и выделим те, которые
 не будут эквивалентны между собой относительно конгруэнции $\varepsilon$.
 
-Сначала рассматриваем слова длины $1$: $x, y$ - эти слова не эквивалентны между
-собой относительно конгруэнции $\varepsilon$.
+Слова длины 1 $\{ x, y \}$ не эквивалентны между собой относительно конгруэнции
+$\varepsilon$.
 
-Затем рассматриваем слова длины $2$, которые получаются из слов длины $1$ путем
-последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$. Из этих слов только
-слова $x^2$, $xy$ не эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ другим
-ранее выделенным словам.
+Рассмотрим слова длины 2, которые получаются из слов длины 1 путём
+последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$: $\{ x^2, xy, yx, y^2
+\}$. Из этих слов только слова $x^2$, $xy$ не эквивалентны относительно
+конгруэнции $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам.
 
-Теперь рассматриваем слова длины $3$, которые получаются из выделенных слов
-длины $2$ путем последовательного умножения их справа на буквы $x$ и $y$. Из
-этих слов только слово $x^2y$ не эквивалентно относительно конгруэнции
+Аналогично рассмотрим слова длины 3: $\{ x^3 = x, x^2y, xyx = x^2y, xy^2 = x^2
+\}$. Из этих слов только слово $x^2y$ не эквивалентно относительно конгруэнции
 $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам.
 
-Наконец рассматриваем слова длины $4$, которые получаются из выделенного слова
-длины $3$ путем последовательного умножения его справа на буквы $x$ и $y$. Все
-эти слова эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее выделенным
-словам.
+Аналогично рассмотрим слова длины 4: $\{ x^2yx = x^3y = xy, x^2y^2 = x^3 = x
+\}$. Все эти слова эквивалентны относительно конгруэнции $\varepsilon$ ранее
+выделенным словам.
 
-Значит, $S = \{x, y, x^2, xy, x^2y \}$ "--- полная система представителей
+Получаем, $S = \{x, y, x^2, xy, x^2y \}$ "--- полная система представителей
 классов конгруэнции $\varepsilon$. Операция умножения $\cdot$ таких слов
 определяется с точностью до конгруэнции $\varepsilon$ по следующей таблице Кэли:
-
 \begin{table}[H]
   \centering
-  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
+  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
-  $\cdot $ & $x$ & $y$  & $x^2$  & $xy$ & $x^2y$ \\ \hline
-  $x$      & $x^2$ & $xy$ & $x$  & $x^2y$ & $xy$ \\ \hline
-  $y$      & $xy$ & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ \hline
-  $x^2$     & $x$ & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x^2y$ \\ \hline
-  $xy$    & $x^2y$ & $x^2$ & $xy$ & $x$ & $x^2$ \\ \hline
-  $x^2y$   & $xy$ &  $x$  &  $x^2y$ & $x^2$ & $x$ \\ \hline
+  $\cdot $ & $x$    & $y$    & $x^2$  & $xy$   & $x^2y$ \\ \hline
+  $x$      & $x^2$  & $xy$   & $x$    & $x^2y$ & $xy$   \\ 
+  $y$      & $xy$   & $x$    & $x^2y$ & $x^2$  & $x$    \\ 
+  $x^2$    & $x$    & $x^2y$ & $x^2$  & $xy$   & $x^2y$ \\ 
+  $xy$     & $x^2y$ & $x^2$  & $xy$   & $x$    & $x^2$  \\ 
+  $x^2y$   & $xy$   & $x$    & $x^2y$ & $x^2$  & $x$    \\ \hline
   \end{tabular}
 \end{table}
 
@@ -385,8 +363,7 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам.
       1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
       1 & 1 & 1 & 1 & 1
     \end{pmatrix}
-\end{equation*}
-\begin{equation*}
+  \quad
   \mathfrak{L} =
     \begin{pmatrix}
       1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ -397,8 +374,8 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам.
     \end{pmatrix}
 \end{equation*}
 
-Отношение Грина определяется матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R}
-\oplus \mathfrak{L}$:
+Отношение Грина определяется матрицей $\mathfrak{D} = \mathfrak{R} \lor
+\mathfrak{L}$:
 \begin{equation*}
   \mathfrak{D} =
     \begin{pmatrix}
@@ -411,11 +388,11 @@ $\varepsilon$ другим ранее выделенным словам.
 \end{equation*}
 
 Исходя из полученной матрицы отношений Грина, можно построить
-изображение <<egg"box>>"=диаграммы:
+изображение <<egg"=box>>"=диаграммы:
 
 \begin{figure}[H]
   \centering
-  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{myegg2.png}
+  \includegraphics[width=0.3\textwidth]{myegg2.png}
   \caption{<<egg"=box>>"=диаграмма}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.3

