1 files changed, 176 insertions, 0 deletions
diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture3.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture3.tex
new file mode 100644
index 0000000..826342c
--- /dev/null
+++ b/crypto-algebra/lectures/lecture3.tex
@@ -0,0 +1,176 @@
+% Лекция 3 (18.09.23)
+
+Пусть $R$ --- некоторое кольцо. Подмножество $I \subseteq R, I \neq
+\varnothing$, называется \emph{правым идеалом}, если
+\begin{enumerate}
+  \item
+    $I$ является подгруппой аддитивной группы $R$ (то есть для любых $a, b \in
+    I$ выполняется $a + b \in I$);
+  \item
+    Для любых $x \in R$ и $a \in I$ выполняется $ax \in I$, то есть $Ix
+    \subseteq I$.
+\end{enumerate}
+
+Аналогично определяется \emph{левый идеал}. Если идеал является одновременно
+правым и левым, то его называют \emph{двусторонним идеалом} или просто
+\emph{идеалом}. В коммутативных кольцах все идеалы двусторонние.
+
+\begin{example}
+  Если $r$ --- какой-то элемент из коммутативного кольца $R$, то множество $rR$
+  всегда является идеалом в $R$. Говорят, что $rR$ --- \emph{главный идеал},
+  порождённый элементом $r \in R$.
+\end{example}
+
+\paragraph{Векторные пространства} %% NOTE: 6
+
+\emph{Векторным пространством} $V$ над полем $F$ называется абелева группа
+$(V, +)$ вместе с операцией умножения $\cdot : F \times V \to V$ (обычно
+обозначаемой сопоставлением) такой, что для всех $a, b \in F$ и $v, w \in V$
+выполняются следующие аксиомы:
+\begin{enumerate}
+  \item $a (v + w) = av + aw$;
+  \item $v (a + b) = av + bv$;
+  \item $(ab)v = a(bv)$;
+  \item $1v = v$.
+\end{enumerate}
+
+Элементы $V$ называются \emph{векторами}, а элементы $F$ называются
+\emph{скалярами}. Групповая операция $+$ называется \emph{векторным сложением},
+а операция умножения --- \emph{скалярным умножением}.
+
+Пусть $S = \set{v_1, v_2, \dots, v_n}$ --- конечное подмножество векторного
+пространства $V$ над полем $F$.
+
+Линейная комбинация $S$ --- это выражение вида
+\begin{equation*}
+  a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n,
+\end{equation*}
+где каждое $a_i \in F$.
+
+Множество $S$ \emph{линейно зависимо} над $F$, если существуют скаляры $a_1,
+a_2,$ $\dots, a_n$, не все нули, такие, что
+\begin{equation*}
+  a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0
+\end{equation*}
+
+Если таких скаляров не существует, то $S$ \emph{линейно независимо} над $F$.
+
+Пусть $V$ --- векторное пространство над полем $F$. Его (конечным)
+\emph{базисом} называется такое множество $n$ векторов $v_1, \dots, v_n$, что
+любой $w \in V$ однозначно представим в виде линейной комбинации
+\begin{equation*}
+  w = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n,
+\end{equation*}
+где $a_i \in F$.
+
+\begin{theorem}[О базисе] %% NOTE: 12
+  Пусть $V$ --- векторное пространство. Если существует один конечный базис $V$
+  над $F$, то любой другой базис имеет то же число элементов.
+\end{theorem}
+
+Если векторное пространство $V$ имеет базис, то количество элементов в базисе
+называется \emph{размерностью} $V$ и обозначается $\dim V$.
+
+Если пространство не имеет конечного базиса, оно называется
+\emph{бесконечномерным}.
+
+\begin{example}
+  Полиномы степени $\leq n$ над любым полем $F$ образуют $(n + 1)$-мерное
+  векторное пространство над $F$ с базисом $1, x, x^2, \dots, x^n$ (базис
+  не определяется однозначно, например, $1, 1 + x, 1 + x^2, \dots, 1 +
+  x^n$ --- тоже базис). Коммутативное кольцо все полиномов $F[x]$ является
+  бесконечномерным векторным пространством над полем $F$.
+\end{example}
+
+Пусть $K$ --- расширение поля $F$. Тогда $K$ можно рассматривать как векторное
+пространство над подполем $F$, где векторное сложение и скалярное умножение ---
+это операции сложения и умножения в поле $K$.
+
+Это означает, что $(K, +)$ --- абелева группа и что определено умножение её
+элементов на элементы $F$ (скаляры), подчиняющиеся тождествам
+\begin{enumerate}
+  \item $a (bv) = (ab) v$;
+  \item $(a + b) v = av + bv$;
+  \item $a (v + w) = av + aw$;
+  \item $1v = v$.
+\end{enumerate}
+для всех $a, b \in F$ и $v, w \in K$.
+
+Размерность этого векторного пространства называется \emph{степенью} $K$ над
+$F$ и обозначается $[K: F]$. Если эта степень конечна, то $K$ называется
+\emph{конечным расширением} F.
+
+\begin{theorem}[О конечном расширении]
+  Пусть $F, K, L$ --- поля. Если $L$ --- конечное расширение $K$ и $K$ ---
+  конечное расширение $F$, то $L$ также является конечным расширением $F$ и
+  \[ [L: F] = [L: K] [K: F] \]
+\end{theorem}
+
+
+\paragraph{Расширения полей.}
+
+Пусть $F$ и $K$ --- два поля, причём $F \subset K (K / F)$. Поле $K$ называется
+\emph{простым расширением} поля $F$, если существует такой элемент $a \in K$,
+что $K = F(a)$ --- наименьшее подполе $K$, содержащее $F$ и $a$. Элемент $a$
+называется \emph{примитивным элементом} расширения. Подполе поля $K$, отличное
+от $K$, называется \emph{собственным полем}. \emph{Простым} называется поле, не
+содержащее собственных полей.
+
+Элемент $a \in K$ называется \emph{алгебраическим} над полем $F$, если он
+удовлетворяет алгебраическому уравнению
+\begin{equation*}
+  f(a) = \sum_{k = 0}^n c_k a^k = 0,
+\end{equation*}
+где $c_0, \dots, c_n \in F$.
+
+Полином $f(x)$ называется \emph{аннулирующим полиномом элемента $a$}.
+
+Среди всех аннулирующих полиномов можно выбрать полином наименьшей степени
+со старшим коэффициентом, равным единице. Такой полином называется
+\emph{минимальным полиномом} элемента $a$ (минимальный полином неприводим, то
+есть не разлагается в произведение полиномов меньшей степени).
+
+Алгебраичность элемента измеряется размерностью подполя, которое он порождает.
+
+Расширение полей $F \subset K$ называется \emph{алгебраическим}, если любой
+элемент $a \in K$ алгебраичен над $F$. Коротко говорят, что расширение $K$
+конечно (алгебраично) над $F$.
+
+Итак, поле $F(a)$ содержит кольцо $R$ полиномов от переменной $a$ с
+коэффициентами из $F$, $R = \set{\sum c_k a^k}$, $c_k \in F$.
+
+Имеет место изоморфизм $R \cong F[x] / f(x)$, более того
+\begin{equation*}
+  F(a) = R \cong F[x] / f(x),
+\end{equation*}
+где $F[x]$ --- кольцо полиномов от одной переменной $x$, $x$ --- формальная
+переменная, не имеющая отношения к полю $F(a)$, $a$ --- элемент поля $F(a)$,
+$f(x)$ --- неприводимый над $F$ полином такой, что $f(a) = 0$.
+
+Элемент $a$ удовлетворяет уравнению $f(a) = 0$, которое называется
+\emph{уравнением, определяющим поле $F(a)$.}
+
+Таким образом, любой элемент поля $F(a)$ в этом случае является полиномом. С
+такими полиномами можно обращаться как с классами вычетов по модулю $f(x)$, то
+есть степень каждого из них меньше степени полинома $f(x)$. Для некоторого
+полинома $f(a) \in F[a]$ равенство $f(a) = 0$ эквивалентно сравнению $f(a)
+\equiv 0 \pmod{f(a)}$.
+
+\begin{example}
+  Пусть $F = \set{0, 1}$. Построим алгебраическое расширение $F(t)$ степени 4.
+  Выберем неприводимый полином вида $f(x) = x^4 + x + 1$. Обозначим корень
+  этого полинома через $t$. Тогда $F(t) = F[t] / f(t)$.
+\end{example}
+
+Поле $K$ называется \emph{алгебраически замкнутым}, если любой полином из
+$K[x]$ степени, большей нуля, имеет в $K$ корень, то есть любое алгебраическое
+над полем $K$ число принадлежит этому полю (то есть любой полином из $K[x]$
+раскладывается на линейные множители).
+
+Поле $K \supset F$ называется \emph{алгебраическим замыканием} поля $F$, если
+$K$ алгебраично над $F$ и алгебраически замкнуто.
+
+\begin{theorem}[Об алгебраичности расширения конечной степени]
+  Всякое расширение $F \subset K$ конечной степени алгебраично, то есть все
+  элементы поля $K$ алгебраичны над полем $F$.
+\end{theorem}