1 files changed, 51 insertions, 49 deletions

diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex
index 9992bdc..5c4e598 100644
--- a/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex
+++ b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex
@@ -5,34 +5,35 @@
 \textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!}
 
 Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем
-$\phi(t) = l^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление
-функции базисными сигналами будет называться преобразованием Фурье.
+$\phi(t) = e^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление
+функции базисных сигналов будет называться преобразованием Фурье.
 Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность
-представить в виде суммы гармоний. Формула Эйлера:
-\[\cos \omega t = \frac{ l^{j\omega t} + l^{-j \omega t} }{ 2 }\]
+представить в виде суммы гармоник. Формула Эйлера:
+\[\cos \omega t = \frac{ e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} }{ 2 }\]
 
 Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый
-сигнал реализуется на интервали $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию
+сигнал реализуется на интервале $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию
 Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или
 имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное
-число экстремумов. Определим период повторения $T = t_2 - t_1$. При
+число экстремумов. Определим период повторения функции как $T = t_2 - t_1$, при
 этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени.
 Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[
 \begin{cases}
-    u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty A(j k \omega) l^{j k \omega_1 t} \\
-    A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j k \omega t} dt
+    u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(j k \omega) e^{j k \omega_1 t} \\
+    A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt
 \end{cases}
-\] A\_j\_k называют комплексным спектром данного сигнала $u(t)$, а
+\], а период вычисляется как \[T = t_2 - t_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1}\]. 
+A\_j\_k называют комплексным спектром периодического сигнала $u(t)$, а
 значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться
 \emph{комплексной амплитудой}.
 
-Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного коплексного спектра мы
+Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного комплексного спектра мы
 попробуем построить огибающую. Тогда
-\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j \omega t} dt \]
+\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j \omega t} dt \]
 
 Показательная форма:
-\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) l^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция
-$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
+\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) e^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция
+$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $e^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
 спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма:
 \[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \]
 \[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \]
@@ -40,34 +41,33 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
 Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \]
 \[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в
 данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для
-постоянной (огибающей) состовляющей сигнала:
+постоянной (огибающей) составляющей сигнала:
 \[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \]
 
 Отсюда:
-\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty A(k\omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\]
+\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} A(k \omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\]
 
-Спектр амплитуд и спектр фаз согласно данному представлению могут быть
+Спектр амплитуд $A (k \omega_1)$ и спектр фаз $\phi (k \omega_1)$ согласно данному представлению могут быть
 представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует
 определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}.
-Сигналы, линейчатые спектры которых включают гарминоки некоторых частот,
+Сигналы, линейчатые спектры которых включают гармоники некоторых частот,
 которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}.
 
-Согласно этому представлению построим распеределение энергии в спектре
-этого сигнала. ???
+Согласно этому представлению построим распределение энергии в спектре
+периодического сигнала.
 
 \subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов}
 
-Пусть имеется период $T$. Тогда Распределение энергии в спектре
+Пусть имеется период $T$, сигнал периодический. Тогда распределение энергии в спектре
 периодических сигналов будет определятся интегралом:
-\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \]
+\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \]
 \[
 = \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt + 
 \left( 
-\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^\infty A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt +
+\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^{\infty} A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt +
 \right) \]
-\[ + \frac{1}{2} \sum\sum A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\]
+\[ + \frac{1}{2} \sum_k \sum_l A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\]
 
-\ldots{}
 \[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \]
 Эти два интеграла будут равны 0, если $k$
 
@@ -77,7 +77,7 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
 \end{cases}\]
 
 В результате этого у нас останется
-\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \]
+\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \]
 
 Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период
 энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой.
@@ -86,7 +86,7 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
 
 Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу
 $u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда
-спектральное представление непериодич сигнала $u(t)$ можно строить
+спектральное представление непериодического сигнала $u(t)$ можно строить
 путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности.
 
 С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет
@@ -99,26 +99,28 @@ $k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразова�
 Будет иметь вид:
 \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \]
 
-Обозначим за $j\omega$ Получим:
+Обозначим за $S(j\omega)$ выражение $\int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt$, получим:
 \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
 \[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \]
 
 Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического
 сигнала.
 
-Функция $Sj\omega$ называется комплексной спектральной плотностью или
+Функция $S (j\omega)$ называется комплексной спектральной плотностью или
 спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с
-период сигн, спектр харка имеет следующие представления: Показательная
+период сигналом, спектральная характеристика имеет следующие два представления: Показательная
 форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \] 
 
-$S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$.
+$S(\omega)$ -- спектральная плотность амплитуд, Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$.
+
+Построим алгебраическую форму:
 
 \[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\]
-\[ S(j \omega) = A(\omega) * j B(\omega) \]
+\[ S(j \omega) = A(\omega) - j B(\omega) \], где
 \[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \]
-\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \sin(\omega t) dt \]
+\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \sin(\omega t) dt \]
 
-При этом \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \]
+При этом $S(j \omega)$ будет представлена через \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \]
 \[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \]
 
 \ldots{}
@@ -130,36 +132,36 @@ $S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\
 \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega =
 \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \]
 
-А первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким обр мы получим
+Второй интеграл будет = 0 в силу четности, а первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким образом мы получим
 тригонометрическую форму ряда фурье.
 \[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \]
 
-\ldots{} ограничить функцию \ldots{}
+Если ограничить функцию $u(t)$ интервалом времени от $t1$ до $t2$, то можно записать функцию
 
 \[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \]
 
-Получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \]
+Обращаясь к предыдущим вычислениям, получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \]
 
-Если у непериодического сигнала взять единичный импульс можно построить
+Если у непериодического сигнала взять единичный импульс, можно построить
 линейчатый спектр его периодической последовательности.
 
 \subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала}
 
-Выражение для величины характеризующей \ldots{} запишем след образом:
-\[ \int_{-\infty}^\infty |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \]
-\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \]
-\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \]
+Выражение для величины, характеризующей энергию для \ldots{} запишем след образом:
+\[ \int_{-\infty}^{\infty} |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \]
+\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \]
+\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \]
 
-Согласно равенству персиваля
-\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соотвии с
+Согласно равенству Персиваля
+\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соответствии с
 этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время
-его существования можно определить интегрируя квадрат модуля
-спектральной харки в интервале частот.
+его существования можно определить, интегрируя квадрат модуля
+спектральной характеристики в интервале частот.
 
 Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра.
 Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и
 имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность
-сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствующаю
+сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствущую
 спектральную характеристику
 \[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \]
 Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда
@@ -168,9 +170,9 @@ $S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\
 Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в
 $\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в
 $\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на
-ширину спектра. Это связяно с тем, что переменные $t$ и $\omega$
-находятся показатель степени экспоненциальной функции как прямого преобр
-фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и
+ширину спектра. Это связано с тем, что переменные $t$ и $\omega$
+находятся в показателе степени экспоненциальной функции как прямого преобразования
+Фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и
 ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными
 интервалами. В частности, имеет место соотношение
 $\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность