1 files changed, 0 insertions, 154 deletions
diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex
deleted file mode 100644
index 1907f9d..0000000
--- a/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex
+++ /dev/null
@@ -1,154 +0,0 @@
-% Лекция (14.10.21)
-\begin{enumerate}
-  \item 
-    Критерий равномерного приближения
-    $$\max_{t \in T} |u(t) - u^*(t)| \leq \xi_{\text{доп}}$$
-    $$sup_{u_i(t) \in U} |u_i(t) - u^*_i(t)| \leq \xi_\text{доп}$$
-  \item
-    Критерий среднеквадратичного отклонения
-    $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{T} \int_T|u(t) - u^*(t)|^2 dt} \leq \sigma_\text{доп}$$
-    $$\sigma_\Sigma = \Sigma_{i = 1}^N$$
-  \item
-    Интегральный критерий
-    $$\varepsilon = \frac{1}{T} \int_T |u(t) - u^*(t)| dt$$
-
-    Интегральный критерий для ансамбля вычисляют путём усреднения по ансамблю.
-  \item
-    Допустимый уровень вероятности того, что ошибка не превысит допустимое значение
-
-\end{enumerate}
-
-Использование каждого из критериев будет зависеть от требований, предъявляемых к системе.
-
-\subsection{Теорема Котельникова}
-Как отмечалось ранее, наиболее широкое применение имеет линейная дискретизация,
-при этом для выбора величины шага дискретизации используется модель сигнала в
-виде эргодического случайного процесса, при этом каждая реализация которого
-представляет собой функцию с ограниченным спектром. Теоретической основой для
-такого подходя является теорема Котельникова.
-
-\begin{theorem}[Теорема Котельникова]
-  Любая функция $u(t)$, допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный
-  спектр, ограниченная полосой частот $[0; \frac{\omega}{2\pi}]$ полностью
-  определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанный через
-  интервал времени $\Delta t = \frac{1}{2f_c} = \frac{\pi}{\omega}$
-\end{theorem}
-\begin{proof}
-  Поскольку по предложению теоремы функция $u(t)$ имеет ограниченный спектр, то
-  есть $S(j \omega) = 0 \quad \omega > \omega_c$, то функцию $u(t)$ мы можем
-  записать следующим видом:
-
-  \begin{equation*}
-    u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
-  \end{equation*}
-
-  Тогда функцию $S(j \omega)$ на интервале $[-\omega_c; \omega_c]$ можно
-  разложить в ряд Фурье.
-
-  Тогда пару преобразования Фурье запишем, полагая, что $S(j\omega)$ условно
-  продолжающаяся с периодом $2\omega_c$.
-
-  \begin{equation*}
-    \begin{cases}
-      S(j\omega) = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^\infty H_k e^{jk\omega \Delta t} \\
-      A_k = \frac{1}{\omega_c} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-jk \Delta t \omega} d\omega
-    \end{cases}
-  \end{equation*}
-
-  Используя данную пару преобразования Фурье, предварительно предположив, что
-  $t_k = k \Delta t$, будет иметь следующий вид:
-  \begin{equation*}
-    u(k \Delta t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{jk\Delta t \omega} d \omega
-  \end{equation*}
-
-  \begin{equation*}
-    A_k = \frac{2\pi}{\omega_c} u(-k \Delta t)
-  \end{equation*}
-
-  \begin{equation*}
-    S(j\omega) = \frac{\pi}{\omega_c} \sum u(-k \Delta t) e^{jk \Delta t \omega}
-  \end{equation*}
-
-  В последнем равенстве знак - перед $k$ мы можем поменять на обратный, так 
-  как суммирование ведётся как по положительным, так и по отрицательным числам.
-  Подставив ... получим:
-  \begin{equation*}
-    u(t) = \frac{1}{2\omega_c} \int_{-\infty}^\infty |\sum_{-\infty}^\infty u(k\Delta t) e^{-j k \Delta t \omega}|
-  \end{equation*}
-
-  Проинтегрировав последнюю часть данного равенства получим следующую функцию.
-  \begin{equation*}
-    u(t) = \sum_{-\infty}^\infty u(k \Delta t) \frac{\sin \omega_c (t - k\Delta t)}{\omega_c (t - k \Delta t)}
-  \end{equation*}
-
-  Таким образом мы выразили функцию $u(t)$ через её дискретные значения взятые в моменты
-  $k \Delta t$. Предположим, что время $t$ будет выражаться как $n \Delta t, \quad n \in \N$.
-  Тогда $\omega_c(n\Delta t - k \Delta t) = \omega_c \Delta t (n - k)$.
-
-  Так как $\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c} \implies \omega_c \Delta t (n - k) = (n - k) \pi$
-
-  Таким образом, данная часть функции будет равна единице, если $t = k \Delta t$. 
-  И 0, если $t = n \Delta t, \, n \neq k$. Это означает, что функция $u(t)$
-  в момент времени $[t_k; k \Delta t]$ представляет собой ни что иное, как
-  отсчёты. То есть функция ограничена спектром и может быть представлена рядом,
-  коэффициенты которого представляют собой отсчёты значения функции взятые через
-  интервал времени $\Delta t$
-\end{proof}
-
-На основании этой теоремы строится общая схема приёма и передачи сигнала. на
-передающей стороне мгновенные значения сигнала передаются через интервал времени
-$\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c}$, на принимающей стороне последовательность
-импульсов пропускается через идеальный фильтр с частотой среза
-$\frac{\omega_c}{2\pi}$. Тогда при длительной передаче на выходе фильтров будет
-точное воспроизведение переданного непрерывного сигнала.
-
-В реальности сигнал всегда имеет конечную длину и, следовательно, его спектр не
-ограничен. При этом ошибка возникает не только из-за искусственного ограничения
-спектра, но и из-за конечного числа отсчётов, которые в соответствии с теоремой
-будут вычисляться как $N = 2 f_c T$. При этом представление сигнала с
-ограниченным спектром исключает возможность сигнала переносить информацию.
-
-
-\section{Квантование сигнала}
-
-Физически реализуемые непрерывный сигнал всегда ограничен диапазон $[u_{min};
-u_{max}]$. В добавок устройство может воспроизводить лишь конечное число
-значений сигнала из этого диапазона, в частности, вся непрерывная шкала
-амплитудных  значений может быть разита на $N$ одинаковых сигналов. А
-разрешённые значения равноотстоять друг от друга. Тогда мы можем говорить о
-равномерном квантовании. Если же постоянная интервала не соблюдается, то
-квантование будет неравномерно, а соответственно постоянная будет
-
-Из множества мгновенных значений принадлежащих $i$-му шагу квантования только
-одно значение $u(t)$ является разрешённым, а любые другие округляются до него.
-
-Пусть имеется равномерное с шагом $\Delta = \frac{|u_{max} - u_{min}|}{n}$
-И предположим, что при данном равномерном квантовании уровни квантования $u_i$
-размешаются ровно в середине каждого шага. Тогда ошибка квантования будет минимальная
-и не будет превышать $0.5 \Delta$. При этом среднеквадратичная ошибка квантования
-будет определяться следующим образом:
-\begin{equation*}
-  \sigma_i = \sqrt{\int_{u_{i-1}}^{u_i} (u(t) - u_i)^2 p(u) du}
-\end{equation*}
-
-где $p(u)$ --- функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала $u$.
-
-Если шаг квантования сигнала мал по сравнению с диапазоном значения, то в
-пределах каждого шага плотность вероятности можно считать постоянной и равной
-величине $P(u_i)$. Тогда данную ошибку можно написать следующим образом:
-\begin{equation*}
-  \sigma_i = \sqrt{P(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}}
-\end{equation*}
-
-С учётом того, что плотность вероятности $p(u_i) > 0$ и $\Delta_i > 0$
-для всех $i = 1, n$ можно записать дисперсию ошибки квантования, которая будет равна
-\begin{equation*}
-  \sigma_i^2 = p(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}
-\end{equation*}
-
-Дисперсия полной ошибки квантования будет определяться как мат ожидание 
-дисперсии на каждом шаге квантования и будет равна $\sigma^2 = \frac{\Delta^2}{12}$
-
-Если на квантуемый сигнал воздействует помеха, то он может попасть в интервал
-соответствующий другому уровню квантования и соответственно предсказать сигнал
-будет невозможно.
-\ No newline at end of file