diff options
Diffstat (limited to 'sem5/information-theory/lectures')
| -rw-r--r-- | sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex | 100 |
1 files changed, 51 insertions, 49 deletions
diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex index 9992bdc..5c4e598 100644 --- a/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex +++ b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex @@ -5,34 +5,35 @@ \textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!} Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем -$\phi(t) = l^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление -функции базисными сигналами будет называться преобразованием Фурье. +$\phi(t) = e^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление +функции базисных сигналов будет называться преобразованием Фурье. Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность -представить в виде суммы гармоний. Формула Эйлера: -\[\cos \omega t = \frac{ l^{j\omega t} + l^{-j \omega t} }{ 2 }\] +представить в виде суммы гармоник. Формула Эйлера: +\[\cos \omega t = \frac{ e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} }{ 2 }\] Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый -сигнал реализуется на интервали $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию +сигнал реализуется на интервале $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное -число экстремумов. Определим период повторения $T = t_2 - t_1$. При +число экстремумов. Определим период повторения функции как $T = t_2 - t_1$, при этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени. Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[ \begin{cases} - u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty A(j k \omega) l^{j k \omega_1 t} \\ - A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j k \omega t} dt + u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(j k \omega) e^{j k \omega_1 t} \\ + A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt \end{cases} -\] A\_j\_k называют комплексным спектром данного сигнала $u(t)$, а +\], а период вычисляется как \[T = t_2 - t_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1}\]. +A\_j\_k называют комплексным спектром периодического сигнала $u(t)$, а значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться \emph{комплексной амплитудой}. -Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного коплексного спектра мы +Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного комплексного спектра мы попробуем построить огибающую. Тогда -\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j \omega t} dt \] +\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j \omega t} dt \] Показательная форма: -\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) l^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция -$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- +\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) e^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция +$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $e^{j \phi(k \omega_1)}$ --- спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма: \[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \] \[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \] @@ -40,34 +41,33 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \] \[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для -постоянной (огибающей) состовляющей сигнала: +постоянной (огибающей) составляющей сигнала: \[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \] Отсюда: -\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty A(k\omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\] +\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} A(k \omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\] -Спектр амплитуд и спектр фаз согласно данному представлению могут быть +Спектр амплитуд $A (k \omega_1)$ и спектр фаз $\phi (k \omega_1)$ согласно данному представлению могут быть представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}. -Сигналы, линейчатые спектры которых включают гарминоки некоторых частот, +Сигналы, линейчатые спектры которых включают гармоники некоторых частот, которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}. -Согласно этому представлению построим распеределение энергии в спектре -этого сигнала. ??? +Согласно этому представлению построим распределение энергии в спектре +периодического сигнала. \subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов} -Пусть имеется период $T$. Тогда Распределение энергии в спектре +Пусть имеется период $T$, сигнал периодический. Тогда распределение энергии в спектре периодических сигналов будет определятся интегралом: -\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \] +\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \] \[ = \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt + \left( -\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^\infty A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt + +\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^{\infty} A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt + \right) \] -\[ + \frac{1}{2} \sum\sum A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\] +\[ + \frac{1}{2} \sum_k \sum_l A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\] -\ldots{} \[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \] Эти два интеграла будут равны 0, если $k$ @@ -77,7 +77,7 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- \end{cases}\] В результате этого у нас останется -\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \] +\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \] Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой. @@ -86,7 +86,7 @@ $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу $u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда -спектральное представление непериодич сигнала $u(t)$ можно строить +спектральное представление непериодического сигнала $u(t)$ можно строить путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности. С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет @@ -99,26 +99,28 @@ $k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразова Будет иметь вид: \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \] -Обозначим за $j\omega$ Получим: +Обозначим за $S(j\omega)$ выражение $\int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt$, получим: \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \] \[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \] Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического сигнала. -Функция $Sj\omega$ называется комплексной спектральной плотностью или +Функция $S (j\omega)$ называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с -период сигн, спектр харка имеет следующие представления: Показательная +период сигналом, спектральная характеристика имеет следующие два представления: Показательная форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \] -$S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$. +$S(\omega)$ -- спектральная плотность амплитуд, Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$. + +Построим алгебраическую форму: \[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\] -\[ S(j \omega) = A(\omega) * j B(\omega) \] +\[ S(j \omega) = A(\omega) - j B(\omega) \], где \[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \] -\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \sin(\omega t) dt \] +\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \sin(\omega t) dt \] -При этом \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \] +При этом $S(j \omega)$ будет представлена через \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \] \[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \] \ldots{} @@ -130,36 +132,36 @@ $S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\ \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \] -А первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким обр мы получим +Второй интеграл будет = 0 в силу четности, а первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким образом мы получим тригонометрическую форму ряда фурье. \[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \] -\ldots{} ограничить функцию \ldots{} +Если ограничить функцию $u(t)$ интервалом времени от $t1$ до $t2$, то можно записать функцию \[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \] -Получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \] +Обращаясь к предыдущим вычислениям, получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \] -Если у непериодического сигнала взять единичный импульс можно построить +Если у непериодического сигнала взять единичный импульс, можно построить линейчатый спектр его периодической последовательности. \subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала} -Выражение для величины характеризующей \ldots{} запишем след образом: -\[ \int_{-\infty}^\infty |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \] -\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \] -\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \] +Выражение для величины, характеризующей энергию для \ldots{} запишем след образом: +\[ \int_{-\infty}^{\infty} |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \] +\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \] +\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \] -Согласно равенству персиваля -\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соотвии с +Согласно равенству Персиваля +\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соответствии с этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время -его существования можно определить интегрируя квадрат модуля -спектральной харки в интервале частот. +его существования можно определить, интегрируя квадрат модуля +спектральной характеристики в интервале частот. Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра. Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность -сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствующаю +сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствущую спектральную характеристику \[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \] Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда @@ -168,9 +170,9 @@ $S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\ Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в $\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в $\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на -ширину спектра. Это связяно с тем, что переменные $t$ и $\omega$ -находятся показатель степени экспоненциальной функции как прямого преобр -фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и +ширину спектра. Это связано с тем, что переменные $t$ и $\omega$ +находятся в показателе степени экспоненциальной функции как прямого преобразования +Фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. В частности, имеет место соотношение $\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность |