1 files changed, 0 insertions, 84 deletions
diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
deleted file mode 100644
index eb76b95..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
+++ /dev/null
@@ -1,84 +0,0 @@
-% Лекция 4 01.10.21
-\begin{definition}[Принцип двойственности]
-  Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
-  двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
-      то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
-      множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
-    \item
-      Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
-      наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
-      $(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
-  \end{enumerate}
-\end{example}
-
-\subsection{Упорядочивание множества слов}
-
-\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
-\begin{lemma}[Цорна]
-  Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
-  грань, то каждый элемент этого множества содержится в
-  некотором максимальном элементе.
-\end{lemma}
-
-\begin{lemma}[Аксиома выбора]
-  Для любого множества $A$ существует такая функция
-  $f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
-  если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
-\end{definition}
-
-\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
-  Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
-  и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
-  которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  \textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
-  дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.
-
-  Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  $\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
-\end{example}
-
-\subsection{Отношение квазипорядка}
-
-\begin{definition}
-  Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
-  квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
-  и транзитивно.
-
-  Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
-  квазипорядка $\omega$.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
-      $A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
-      $\delta = \Delta_A$ соответственно.
-    \item
-      Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
-      квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
-    \item
-      Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
-      логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
-      является отношение логической равносильности формул.
-    \item
-      Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
-      квазипорядком, ...
-  \end{enumerate}
-\end{example}
-\ No newline at end of file