From f9b917e3135b27caf54d4e595e30cbe7ece935ae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrew Guschin Date: Tue, 6 Aug 2024 23:54:54 +0400 Subject: =?UTF-8?q?=D0=9B=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D0=B8=20=D0=BF=D0=BE=20?= =?UTF-8?q?=D0=BC=D0=BE=D0=B4=D0=B5=D0=BB=D1=8F=D0=BC=20=D0=B1=D0=B5=D0=B7?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=BF=D0=B0=D1=81=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D0=B8=20=D0=B8?= =?UTF-8?q?=20=D0=BC=D0=B5=D1=82=D0=BE=D0=B4=D0=B0=D0=BC=20=D0=B0=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D0=B3=D0=B5=D0=B1=D1=80=D0=B0=D0=B8=D1=87=D0=B5=D1=81=D0=BA?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=B9=20=D0=B3=D0=B5=D0=BE=D0=BC=D0=B5=D1=82=D1=80=D0=B8?= =?UTF-8?q?=D0=B8?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- crypto-algebra/lectures/lecture5.tex | 164 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 164 insertions(+) create mode 100644 crypto-algebra/lectures/lecture5.tex (limited to 'crypto-algebra/lectures/lecture5.tex') diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex new file mode 100644 index 0000000..dda14e3 --- /dev/null +++ b/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex @@ -0,0 +1,164 @@ +% Лекция 5 (25.09.23) + +%% NOTE: 8 +\paragraph{Конечное поле} --- это поле $F$, содержащее конечное число элементов. + +\begin{theorem}[Существование и единственность конечных полей] + \begin{enumerate} + \item + Если $F$ --- конечное поле, то $F$ содержит $p^m$ элементов для некоторого + простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$. + \item + Для каждого простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$ существует + единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле порядка $p^m$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +Конечное поле порядка $p^m$ обозначается $\FF_{p^m}$ или $GF(p^m)$ и +называется \emph{полем Галуа}. Заметим, что если $p$ --- простое число, то +$\Z_p$ --- поле, а значит, каждое поле порядка $p$ изоморфно $\Z_p$. + +\begin{theorem}[О свойствах поля $\mathbb{F}_q$] + Если $\FF_q$ --- конечное поле порядка $q = p^m$, $p$ --- простое число, + то характеристикой $\FF_q$ является $p$. Более того, $\FF_q$ содержит в + качестве подполя простое поле $\FF_p = \Z_p$. Следовательно, $\FF_q$ можно + рассматривать как расширение поля $\Z_p$ степени $m$. +\end{theorem} + +Группа ненулевых элементов $\FF_q$ обозначается $\FF^*_q$. +\emph{Образующий элемент $g$} конечного поля $\FF_q$ есть элемент порядка $q - +1$. + +\begin{theorem}[О циклической группе $\FF_q$] + Каждое конечное поле имеет образующий элемент. Если $g$ --- образующий элемент + $\FF^*_q$, то $g^j$ также является образующим элементом $\iff \gcd(j, q - 1) = + 1$. Таким образом, всего имеется $\varphi(q - 1)$ различных образующих + элементов $\FF^*_q$, где $\varphi$ --- функция Эйлера. +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Единственность конечного поля порядка $q = p^f$] + Если $\FF_q$ --- поле из $q = p^f$ элементов, то каждый элемент удовлетворяет + уравнению $x^q - x = 0$, а $\FF_q$ --- это в точности множество корней этого + уравнения. + + Обратно, для каждой степени простого числа $q = p^f$ поле разложения над + $\FF_p$ многочлена $x^q - x$ является полем из $q$ элементов. +\end{theorem} + +Пусть $K$ --- расширение степени $n$ конечного поля $F = \FF_p$. \emph{След +элемента $x \in K$} в поле $F$ определяется как сумма +\begin{equation*} + Tr(x) = x + x^p + \dots + x^{p^{n - 1}} +\end{equation*} + +\begin{theorem}[След элемента] + След $Tr$ является гомоморфизмом аддитивных групп $K \to F$. +\end{theorem} + +%% NOTE: 9 +\paragraph{Логарифмирование.} + +Наличие в конечном поле примитивного элемента $a$ позволяет ввести понятие +логарифма для ненулевых элементов этого поля. Пусть $G$ --- конечная +мультипликативная группа. \emph{Задача дискретного логарифмирования} состоит в +решении при заданных $a, b \in G$ уравнения \[a^x = b\] относительно целого $x$, +$0 \leq x < n = \text{ord } a$. + +Решение $x$ называется \emph{дискретным логарифмом}, или \emph{индексом}, $b$ +по основанию $a$ и обозначается $\text{ind}_a b$. + +\emph{Примечание} --- Когда групповая операция в $G$ записывается аддитивно, то +рассматривается уравнение $xa = b$. + +По сути, \emph{эллиптическая кривая над конечным полем} --- это конечная абелева +группа, в которой можно ставить задачу о вычислении дискретных логарифмов. + +\subsection{Введение в эллиптические кривые} + +\paragraph{Аффинные алгебраические многообразия, проективная плоскость.} + +Пусть $F$ --- поле, $F^*$ --- множество обратимых элементов поля $F$. + +\emph{Аффинным $n$-мерным пространством $A^n(F)$} над $F$ называется множество +точек \[\set{P = (x_1, \dots, x_n)} \in F^n\] значения $x_1, \dots, x_n$ +называются \emph{аффинными координатами}. + +\emph{Аффинное алгебраическое многообразие (множество) $V$} --- это подмножество +аффинного пространства, на котором обращаются в нуль полиномы $f_1, \dots, f_k +\in F[x_1, \dots, x_n]$: +\begin{equation*} + V = \set{P \in F^n | f_1(P) = 0, \dots, f_k(P) = 0} +\end{equation*} + +В случае $n = 2$ аффинное пространство называется \emph{аффинной плоскостью}, а +алгебраическое многообразие, идеал которого образован одиночным полиномом, --- +(плоской) \emph{алгебраической кривой}. + +Степень полинома, задающего кривую, называется \emph{степенью кривой}. + +\emph{Неприводимая алгебраическая кривая} задаётся неприводимым (над алгебраическим +замыканием $\overline{F}$ поля $F$) полиномом из кольца $F[x, y]$. + +\begin{example} + Алгебраическая кривая, заданная полиномом + \begin{equation*} + f(x, y) = (xy + 1)(x^2 + y^2 + 1) + \end{equation*} + + Полином $f(x, y)$ раскладывается на множители, поэтому алгебраическая кривая + является объединением кривых + \begin{equation*} + xy + 1 = 0 \land x^2 + y^2 + 1 = 0 + \end{equation*} + + Вместо этой кривой можно рассмотреть две более простых алгебраических кривых, + задаваемых неразложимыми делителями левой части уравнения. Таким образом, + изучение алгебраической кривой сводится к изучению её подмножеств, задаваемых + нулями неприводимых полиномов. +\end{example} + +Алгебраическую кривую $E$, заданную уравнением с коэффициентами из поля $F$, +будем обозначать $E/F$; алгебраическую кривую, точки которой лежат в $F^2$, +будем обозначать $E(F)$. + +Даже если уравнение $f(x, y) = 0$, задающее кривую $E$, имеет коэффициенты +из простого поля $F$, множество решений этого уравнения (и, соответственно, +множество точек кривой) может рассматриваться над расширением поля $F$, +например, над его алгебраическим замыканием. + +\emph{Аффинная прямая $A^1(F)$} над полем $F$ представляет собой поле $F$. + +\emph{Проективной прямой $P^1(F)$} над полем $F$ называется множество пар +\begin{equation*} + \set{X, Y} \in F^2 \backslash (0, 0) +\end{equation*} +с эквивалентностью $(X, Y) \equiv (aX, aY)$, если $a \in F^*$. + +Если $Y \neq 0$, то каждая точка $(X, Y) \in P^1(F)$ эквивалентна точке $(x, +1)$ аффинной прямой: просто полагаем $x = X / Y$. Но на проективной прямой есть +точка вида $(X, 0)$, соответствующая аффинной точке. + +Эта точка $P_\infty$ называется \emph{бесконечно удалённой}. Поэтому +\begin{equation*} + P^1(F) = A^1(F) \cup \set{P_\infty} +\end{equation*} + +\emph{Проективной плоскостью} $P^2(F)$ над полем $F$ называется множеством троек +\begin{equation*} + \set{X, Y, Z} \in F^3 \backslash (0, 0, 0) +\end{equation*} +с эквивалентностью $(X, Y, Z) \equiv (aX, aY, aZ)$, если $a \in F^*$. Здесь +$X, Y, Z$ --- проективные координаты. + +Свяжем аффинную плоскость с проективной. Полагая +\begin{equation*} + x = \frac{X}{Z}, y = \frac{Y}{Z}, Z \neq 0, +\end{equation*} +получаем биекцию между множеством точек $(x, y)$ аффинной плоскости и +подмножеством точек $(x, y, 1)$ проективной плоскости. + +Однако на проективной плоскости есть точки с нулевой $Z$-координатой, которые не +соответствуют никаким точкам аффинной плоскости. + +Тем самым проективную плоскость можно представить как объединение всех точек +$(x, y)$ обычной (<<аффинной>>) плоскости с точками, для которых $Z = 0$. -- cgit v1.2.3