From f9b917e3135b27caf54d4e595e30cbe7ece935ae Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin@altlinux.org>
Date: Tue, 6 Aug 2024 23:54:54 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9B=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D0=B8=20=D0=BF=D0=BE=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=BC=D0=BE=D0=B4=D0=B5=D0=BB=D1=8F=D0=BC=20=D0=B1=D0=B5=D0=B7?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=BF=D0=B0=D1=81=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D0=B8=20=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BC=D0=B5=D1=82=D0=BE=D0=B4=D0=B0=D0=BC=20=D0=B0=D0=BB?=
 =?UTF-8?q?=D0=B3=D0=B5=D0=B1=D1=80=D0=B0=D0=B8=D1=87=D0=B5=D1=81=D0=BA?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=D0=B9=20=D0=B3=D0=B5=D0=BE=D0=BC=D0=B5=D1=82=D1=80=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 crypto-algebra/lectures/lecture8.tex | 191 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 191 insertions(+)
 create mode 100644 crypto-algebra/lectures/lecture8.tex

(limited to 'crypto-algebra/lectures/lecture8.tex')

diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex
new file mode 100644
index 0000000..c7f1d0d
--- /dev/null
+++ b/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex
@@ -0,0 +1,191 @@
+% Лекция 8 (16.10.23)
+
+%% NOTE: 24?
+\begin{theorem}[Об изоморфных эллиптических кривых над полем характеристики $> 3$]
+  Всякая эллиптическая кривая над полем характеристики $> 3$ изоморфна
+  эллиптической кривой вида
+  \begin{equation*} %% NOTE: 8
+    y^2 = x^3 + ax + b
+  \end{equation*}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+  Пусть $F$ --- поле характеристики $> 3$, $E$ --- эллиптическая кривая,
+  заданная уравнением (2). Согласно теореме 23 данная кривая изоморфна кривой
+  (7). Тогда сделаем в (7) замену переменных
+  \begin{equation*}
+    (x, y) \mapsto (x - \frac{b_2}{3}, y),
+  \end{equation*}
+  получим
+  %% TODO: дописать eq1
+  \begin{align*}
+    y^2 &= \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^3 + b_2 \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^2
+    + b_4 \left(x - \frac{b_2}{3}\right) + b_6, \\
+    y^2 &= x^3 - b_2 x^2 + \frac{b_2^2}{3}x - \frac{b_2^3}{27} + b_2
+    \left(x^2 - \frac{2b_2}{3}x + \frac{b_2^2}{9}\right) + b_4 x - \frac{b_2 b_4}{3} + b_6, \\
+    \dots
+  \end{align*}
+
+  Таким образом, данная замена переводит кривую (7) в (8).
+\end{proof}
+
+Для эллиптической кривой, заданной уравнением (8), формулы для дискриминанта и
+$j$-инварианта принимают вид
+\begin{align*}
+  \Delta &= -16 (4a^3 + 27b^2), \\
+  j(E) &= -1728 \frac{64a^3}{\Delta} = 1728 \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}
+\end{align*}
+
+В уравнении левая сторона ($y^2$) имеет степень 2, в то время как правая сторона
+имеет степень 3 ($x^3$). Это означает, что горизонтальная линия может пересекать
+кривую в трёх точках, если все корни вещественные. Однако вертикальная линия
+может пересечь кривую самое большее в двух точках.
+
+\begin{example}
+  На рисунке 14 показаны две эллиптические кривые с уравнениями
+  \begin{equation*}
+    y^2 = x^3 - 9x \land y^2 = x^3 - 1 \; (y^2 = (x - 1)(x^2 + x + 1))
+  \end{equation*}
+  %% TODO: рисунок 1 (14)
+
+  Таким образом, обе кривые гладкие. Однако первое имеет три вещественных корня
+  ($x = \pm 3, x = 0$), второе --- только один вещественные корень ($x = 1$) и
+  два мнимых ($x = \pm \frac{\sqrt{3} i - 1}{2}$; удовлетворяют уравнению
+  $x^2 + x + 1 = 0$).
+\end{example}
+
+%% NOTE: 4
+\paragraph{Сложение точек эллиптической кривой.}
+
+Существует ряд эквивалентных способов для описания группового закона сложения
+точек эллиптической кривой. Геометрически этот закон можно сформулировать
+следующим образом: \emph{три коллинеарные точки на эллиптической кривой дают
+нулевую сумму}. Операция сложения точек на эллиптической кривой, введённая по
+данному правилу, превращает эллиптическую кривую в коммутативную группу.
+
+Далее будут рассмотрены формулы сложения точек эллиптической кривой, которые
+вытекают из данного правила. В качестве нулевого элемента выбирается точка
+$\mathcal{O}$ на бесконечности. Таким образом, для любой точки $P \in E$
+имеют место равенства
+\begin{equation*}
+  P + \mathcal{O} = \mathcal{O} + P = P.
+\end{equation*}
+
+Секущая, проходящая через бесконечно удалённую точку $\mathcal{O}$ и данную
+точку кривой $P$, является вертикальной прямой.
+
+Пусть $P \ne \mathcal{O}$ --- точка эллиптической кривой $E$ и $l$ ---
+вертикальная прямая, проходящая через точку $P = (x_1, y_1)$. Эта прямая
+пересекает $E$ ещё в точке $Q$ (с учётом кратности). Таким образом, $-P = Q$.
+
+Пусть $Q = (x_2, y_2)$. Так как она лежит на вертикальной прямой $l$, то
+$x_1 = x_2$. Тогда $y_2$ является решением уравнения
+\begin{equation} %% NOTE: 9
+  y^2 + f_1(x_1) y - f_3(x_1) = 0,
+  \label{eq:9}
+\end{equation}
+где $f_1(x) = a_1 x + a_3$, $f_3(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$.
+
+Уравнение (\ref{eq:9}) имеет два корня $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета
+\begin{equation*}
+  y_1 + y_2 = -f_1(x_1),
+\end{equation*}
+откуда получаем
+\begin{equation*}
+  y_2 = -y_1 - f_1(x_1).
+\end{equation*}
+
+Итак,
+\begin{equation}
+  -(x_1, y_1) = (x_1, -y_1 - a_1 x_1 - a_3).
+  \label{eq:10}
+\end{equation}
+
+Может оказаться, что $y_2 = y_1$ и, соответственно, $-P = P$. Это возможно, если
+вертикальная прямая, проходящая через $P$, касается кривой $E$ в точке $P$.
+
+Рассмотрим, как вычисляется сумма двух различных точек $P_1 = (x_1, y_1)$ и
+$P_2 = (x_2, y_2)$ на эллиптической кривой. Предположим, что $P_1, P_2 \neq
+\mathcal{O}$ и $P_1 \neq \pm P_2$. Тогда $x_1 \neq x_2$. Пусть $l$ --- прямая,
+проходящая через точки $P_1$ и $P_2$. Уравнение $l$ имеет вид
+\begin{equation}
+  y = \alpha x + \beta.
+  \label{eq:11}
+\end{equation}
+
+Коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ --- решения системы.
+\begin{equation*}
+  \begin{cases}
+    y_1 = \alpha x_1 + \beta, \\
+    y_2 = \alpha x_2 + \beta.
+  \end{cases}
+\end{equation*}
+
+Тогда
+\begin{align*}
+  \alpha &= \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, \\
+  \beta &= y_1 - \alpha x_1 = y_2 - \alpha x_2.
+\end{align*}
+
+Прямая $l$ пересекает эллиптическую кривую $E$ в некоторой третьей точке
+$Q = -(P_1 + P_2) = (\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$.
+
+Подставляя (\ref{eq:11}) в уравнение Вейерштрасса, получаем
+\begin{equation*}
+  (\alpha x + \beta)^2 + (\alpha x + \beta) (a_1 x + a_3) - (x^3 + a_2 x^2 +
+  a_4 x + a_6) = 0.
+\end{equation*}
+
+Кубическое уравнение
+\begin{equation*}
+  -x^3 + (\alpha^2 + a_1 \alpha - a_2) x^2 + (2 \alpha \beta + a_3 \alpha + a_1
+  \beta - a_4) x + (\beta^2 + a_3 \beta - a_6) = 0
+\end{equation*}
+имеет три корня: $x_1, x_2, \widetilde{x_3}$.
+
+По теореме Виета
+\begin{equation*}
+  x_1 + x_2 + \widetilde{x_3} = \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2.
+\end{equation*}
+
+Таким образом,
+\begin{equation*}
+  \begin{cases}
+    \widetilde{x_3} = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\
+    \widetilde{y_3} = \alpha \widetilde{x_3} + \beta = (y_1 - \alpha x_1) +
+    \alpha \widetilde{x_3} = y_1 - \alpha(x_1 - \widetilde{x_3})
+  \end{cases}
+\end{equation*}
+
+Получаем, $P_1 + P_2 = -Q = -(\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$, используя
+(\ref{eq:10}), находим
+\begin{equation*}
+  P_1 + P_2 = (x_3, y_3),
+\end{equation*}
+где
+\begin{equation}
+  \begin{cases}
+    x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\
+    y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3.
+  \end{cases}
+\end{equation}
+
+\begin{example}
+  На рисунке 15 представлен типичный случай сложения точек $P_1$ и $P_2$. Чтобы
+  найти $P_1 + P_2$, проводим прямую $\overline{P_1 P_2}$ и в качестве $P_1 + P_2$
+  берём точку, симметричную относительно оси $x$ третьей точке, определяемой
+  пересечением прямой $\overline{P_1 P_2}$ и кривой.
+
+  %% TODO: рис 2 (15)
+\end{example}
+
+Найдём правило вычисления удвоенной точки $P + P$. Будем предполагать, что
+$P \neq -P$. Чтобы найти $P + P$, проведём касательную через точку $P$. Эта
+прямая задаётся уравнением (\ref{eq:11}).
+
+Для нахождения углового коэффициента касательной $\alpha$ нужно найти полнй
+дифференциал от полинома $f(x, y)$, задающего кривую в форме Вейерштрасса
+(2). Получим
+\begin{equation} %% TODO: другое \delta
+  df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy.
+\end{equation}
+
-- 
cgit v1.2.3

