From 4154631efcf419bc5c0bc83b89c9847a43e7aea7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Tue, 25 Oct 2022 12:11:49 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D0=B8=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BA?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=BE=D0=B3=D1=80=D0=B0=D1=84=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=20=D0=B4=D0=BE=20=D0=BA=D0=BE=D0=BD=D1=82=D1=80=D0=BE?=
 =?UTF-8?q?=D0=BB=D1=8C=D0=BD=D0=BE=D0=B9?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/cryptography.tex | 1140 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 1140 insertions(+)
 create mode 100644 cryptography/cryptography.tex

(limited to 'cryptography/cryptography.tex')

diff --git a/cryptography/cryptography.tex b/cryptography/cryptography.tex
new file mode 100644
index 0000000..bc25193
--- /dev/null
+++ b/cryptography/cryptography.tex
@@ -0,0 +1,1140 @@
+\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+
+\usepackage[
+  a4paper, mag=1000,
+  left=2.5cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2cm,
+  bindingoffset=0cm, headheight=0cm,
+  footskip=1cm, headsep=0cm
+]{geometry}
+
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{wrapfig}
+\usepackage{rotating}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{capt-of}
+\usepackage{float}
+\usepackage{indentfirst}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{underscore}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
+\usepackage[normalem]{ulem}
+
+\graphicspath{ {./images/} }
+\singlespacing
+
+\title{Криптографические методы защиты информации}
+\author{Андрей Гущин}
+\date{\today}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+\section{\ldots{}}
+
+\subsection{\ldots{}}
+
+\subsection{Алгебраические структуры}
+
+Множество R с двумя бинарными ассоциативными операциями сложения "+" и умножения
+"$\cdot$" называется \textbf{кольцом}, если выполнены следующие условия:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    множество R с бинарной операцией сложения является абелевой группой
+    (нейтральный элемент кольца называют \emph{нулём} кольца и обозначают через
+    0)
+  \item
+    операция "*" удовлетворяет условию дистрибутивности относительно операции
+    "+" то есть \((a + b) * c = a * c + b * c\) и \(a * (b + c) = a * b + a *
+    c\)
+\end{enumerate}
+
+Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным. Пример
+--- множество \(Z_n\), образующее полную систему вычетов целых чисел по модулю
+\(n\) с операциями сложения и умножения по модулю \(n\), причём это кольцо
+является коммутативным.
+
+Кольцо вычетов \(Z_4\):
+
+\_+4\_| 0 1 2 3
+----+--------
+0   | 0 1 2 3
+1   | 1 2 3 0
+2   | 2 3 0 1
+3   | 3 0 1 2
+
+\_*4\_| 0 1 2 3
+----+--------
+0   | 0 1 2 3
+1   | 1 2 3 0
+2   | 2 3 0 1
+3   | 3 0 1 2
+
+x  | 0 1 2 3
+---+--------
+-x | 0 3 2 1
+
+
+Если в кольце существует элемент 1 такой, что \(g \cdot 1 = 1 \cdot g =
+g\) (нейтральный элемент относительно умножения), такое кольцо называется
+\emph{кольцом с единицей}.
+
+\emph{Полем} называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в
+котором любой ненулевой элемент обратим.
+
+Кольцо вычетов целых чисел по модулю \(Z_n\) является полем в том и только том
+случае, когда \(n\) --- простое число.
+
+Поля вычетов являются конечными полями. Конечные поля называются \emph{полями
+Галуа}.
+
+
+\subsection{Открытые сообщения}
+\label{sec:orga0e3510}
+
+\subsubsection{Характеристики}
+\label{sec:org72d8f1b}
+
+\begin{itemize}
+  \item
+    Открытый и шифрованные тексты представляют собой последовательности символов,
+    взятых из конечного набора, называемого \emph{алфавитом}.
+  \item Элемент алфавита называется \emph{буквой}.
+  \item Число символов алфавита называется \emph{мощностью} алфавита.
+\end{itemize}
+
+Примеры --- Алфавиты:
+\begin{enumerate}
+  \item \(A_1\) --- алфавит прописных букв, \(|A_1| = 33\) : А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я
+  \item
+    \(A_2\) --- прописные и строчные буквы, целые числа, пробел и знаки
+    препинания (мощность алфавита примерно равна 84): А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я,
+    а, б, в,
+  \dots{}, э, ю, я, \dots{}, 0, 1, \dots{}, 9, пробел, запятая, точк, :, ;, ", ?, !.
+  \item \(A_3\) --- элементы множества \(\{0, 1\}\).
+\end{enumerate}
+
+В основном используются производные от \(A_3\) алфавиты, совпадающие с
+множеством \(V_n\) двоичных n-мерных векторов.
+
+Мощность алфавитов равна \(2^n\), и, как правило, \(5 \leq n \leq 8\).
+
+Часто в процессе шифрования наз символами алфавита производятся вычислительные
+действия, поэтому удобно их представлять в виде чисел или двоичных наборов.
+
+Рассмотрим в качестве алфавита \(Z_m = \{ 0, 1, \dots, m - 1 \}\)
+
+Всякий текст, записанный в некотором алфавите имеет \emph{длину}, равную числу
+букв в соответствующей записи.
+
+Последовательность \(k\) соседних букв текста, \(k \geq 2\), называется \$k\$-граммой (при
+\(k = 2\) --- биграммой и т.д.).
+
+Помимо алфавита \(Z_m\) могут рассматриваться производные от него алфавиты \(Z_m(t)\)
+представляющие собой набор всевозможных $t$-грамм исходного алфавита.
+
+\subsubsection{Детерминированные модели открытых текстов}
+
+Каждый источник открытых сообщений порождает тексты в соответствии с правилами
+грамматики некоторого языка, что находит отражение и в статистических
+характеристиках сообщений.
+
+Всякий язык и всякий источник открытых сообщений можно характеризовать
+разбиением множества всех $k$-грамм, \(k = 2, 3, \dots\), на \emph{допустимые}
+(встречающиеся в каких-либо текстах) и \emph{запрещённые} (не встречающиеся
+ни в каких текстах), что определяет \emph{детерминированную модель} источника
+открытых сообщений.
+
+В такой модели открытый текст рассматривается как последовательность букв
+некоторого алфавита, не содержащая запретных $k$-грамм.
+
+\subsubsection{Вероятностные модели открытых текстов}
+
+В вероятностных моделях источник открытых сообщений рассматривается как источник
+случайных последовательностей.
+
+Пусть источник генерирует в алфавите \(Z_m\) текст конечной или бесконечной
+длины, в результате чего получается последовательность случайных переменных
+\(x_1, x_2, \dots, x_{n - 1}, \dots\), принимающих значения в \(Z_m\).
+
+\emph{Вероятность случайного сообщения} \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\)
+определяется как вероятность такой последовательности событий: $$P(a_0, a_1,
+\dots, a_{n - 1}) = P(x_0 = a_0, x_1 = a_1, \dots, x_{n - 1} = a_{n - 1})$$
+
+Множество случайных сообщений образует вероятностное пространство, если
+выполнены условия:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) \geq 0\) для любого случайного сообщения
+    \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\).
+  \item
+    \(\displaystyle\sum_{(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})} P(a_0, a_1, \dots, a_{n -
+    1}) = 1\)
+  \item
+    для любого случайного сообщения \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\), и любого
+    \(s > n\) \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \sum_(a_n, \dots, a_{s - 1})
+    P(a_0, a_1, \dots, a_{s - 1})\), то есть вероятность всякого случайного
+    сообщения \(n\) есть сумма вероятностей всех продолжения этого сообщения до
+    длины \(s\).
+\end{enumerate}
+
+Текст, порождаемый таким источником, является вероятностным аналогом языка. Он
+обладает одинаковыми с языком частотными характеристиками $k$-грамм. Задавая
+определённое вероятностное распределение на множестве открытых текстов, задаётся
+соответствующая модель источника открытых сообщений.
+
+Например, в модели стационарного источника независимых символов алфавита
+(\emph{позначная модель открытых текстов}) предполагается, что вероятности
+сообщений полностью определяются вероятностями использования отдельных букв
+алфавита в случайном тексте
+
+$$P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} P(x_i = a_i)$$
+
+где для всех \(i \in {0, 1, \dots, n - 1}\) и любого \(a \in Z_m P(x_i = a) >
+0\); \(\sum_{a \in Z_m} P(x_i = a) = 1\).
+
+Открытый текст такого источника является реализацией последовательности
+независимых испытаний в полиномиальной вероятностной схеме с числом исходов,
+равным \(m\).
+
+Множество исходов взаимнооднозначно соответствует множеству всех символов
+алфавита.
+
+Частота букв в разных языках:
+\begin{itemize}
+  \item \emph{Русский язык}: О (11\%), И (8.9\%), Е, А, Н, Т
+  \item \emph{Английский язык}: E (12.86\%), T (9.72\%), A, I, N, R
+\end{itemize}
+
+Эта модель эффективно используется для дешифрования текстов, защищаемых шифром
+простой замены.
+
+Самые частые биграммы:
+\begin{itemize}
+  \item \emph{Русский язык}: СТ (1.74\%), НО (1.29\%), ЕН, ТО, НА
+\end{itemize}
+
+Наиболее частые триграммы:
+\begin{itemize}
+  \item \emph{Русский язык}: СТО, ЕНО, НОВ, ТОВ, ОВО
+\end{itemize}
+
+Информация, которую реально несёт каждая буква сообщения меньше, чем её
+максимальная информация при случайном и равновероятном появлении.
+
+В связи с ним возник термин "избыточность языка".
+
+Поэтому часть букв открытого текста можно опустить без потери содержания
+потерянная информация будет восстановлена другими буквам сообщения вследствие
+закономерностей языка.
+
+\subsection{Критерий распознавания открытого текста}
+
+(а) Открытый текст представляет собой реализацию независимых испытаний случайной
+величины, значениями которой являются буквы алфавита \(A = {a_1, a_2, \dots,
+a_n}\), появляющиеся в соответствии с распределением вероятностей \(P(A) =
+(p(a_1), p(a_2), \dots, p(a_n))\).
+
+Требуется определить, является ли случайная последовательность \(c_1 c_2 \dots
+c_l\) букв алфавита \(A\) открытым текстом или нет.
+
+Пусть \(H_0\) --- гипотеза, состоящая в том, что данная последовательность ---
+открытый текст, \(H_1\) --- альтернативная гипотеза.
+
+В простейшем случае при гипотезе \(H_1\) последовательность \(c_1 c_2
+\dots c_l\) можно рассматривать как случайную и равносильную, то есть при
+расшифровании криптограммы с помощью ложного ключа получается "бессмысленная"
+последовательность знаков.
+
+В более общем случае можно считать, что при гипотезе \(H_1\) последовательность
+\(c_1 c_2 \dots c_l\) представляет собой реализацию независимых испытаний
+некоторой случайной величины, значениями которой являются буквы алфавита
+\(A = \{ a_1, \dots, a_n \}\), появляющиеся в соответствии с распределением
+вероятностей \(Q(A) = (q(a_1), \dots, q(a_n))\).
+
+При таких договорённостях можно применить, например, \emph{наиболее мощный
+критерий} различения двух простых гипотез, который даёт \emph{лемма
+Неймана-Пирсона}.
+
+В силу своего вероятностного характера такой критерий может совершать ошибки
+двух родов:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    критерий может принять открытый текст за случайный набор знаков. Такая
+    ошибка называется \emph{ошибкой первого рода}, её вероятность равна \(\alpha
+    = p(H_1/H_0)\).
+  \item
+    Критерий может принять случайный набор знаков за открытый текст. Такая
+    ошибка называется \emph{ошибкой второго рода} и её вероятность \(\beta =
+    p(H_0/H_1)\).
+\end{enumerate}
+
+Эти ошибки определяют качество работы критерия. В криптографических
+исследованиях естественно минимизировать вероятность ошибки первого рода, чтобы
+не "пропустить" открытый текст.
+
+Лемма Неймана-Пирсона при заданной вероятности первого рода минимизирует также
+вероятность ошибки второго рода.
+
+(б) Критерии на открытый текст, использующие запретные сочетания знаков,
+например, k-граммы подряд идущих букв, называются \emph{критериями запретных
+k-грамм}.
+
+Отбирается некоторое число \(s\) редких k-грамм, которые объявляются запретными.
+
+Теперь, просматривая последовательно k-грамму за k-граммой анализируемой
+последовательности \(c_1 c_2 \dots c_l\), она объявляется случайной, как только
+в ней встретится одна из запретных k-грамм, и открытым текстом в противном
+случае.
+
+Такие критерии также могут совершить ошибки в принятии решения. В простейших
+случаях их можно рассчитать. Несмотря на свою простоту, критерии запретных
+k-грамм являются весьма эффективными.
+
+\subsection{(1.4) Математические модели шифров}
+
+\subsubsection{(1) Алгебраическая модель шифра}
+
+Введём алгебраическую модель шифра (шифрсистемы), предложенную К. Шенноном.
+
+Пусть \(X, K, Y\) --- конечные множества возможных открытых текстов, ключей и
+криптограмм соответственно; \(E_k : X \to Y\) --- правило зашифрования на ключе
+\(k \in K\).
+
+Множество \(\{ E_k : k \in K \}\) обозначим через \(E\), а множество \(\{ E_k(x)
+: x \in X \}\) --- через \(E_k(X)\).
+
+Пусть \(D_k : E_k(X) \to X\) --- правило расшифрования на ключе \(k \in K\), и
+\(D\) --- множество \(\{ D_k : k \in K \}\).
+
+Если ключ \(k \in K\) представляется в виде \(k = (k_o, k_p)\), где \(k_o\)
+--- ключ зашифрования, а \(k_p\) --- ключ расшифрования (причём \(k_o \neq
+k_p\)), то \(E_k\) понимается как функция \(E_{k_p}\), а \(D_k\) --- как функция
+\(D_{k_p}\).
+
+\emph{Шифром (шифрсистемой)} называется совокупность $$\sum_A = (X, K, Y, E,
+D)$$ введённых множеств, для которых выполняются следующие свойства:
+\begin{enumerate}
+  \item Для любых \(x \in X\) и \(k \in K\) выполняется равенство \(D_k(E_k(x)) = x\);
+  \item \(Y = \cup_{k \in K} E_k(X)\).
+\end{enumerate}
+
+Неформально, шифр --- это совокупность множеств возможных открытых текстов (то,
+что шифруется), возможных ключей (то, с помощью чего шифруется), возможных
+шифртекстов (то, во что шифруется), правил зашифрования и правил расшифрования.
+
+Условие (1) отвечает требованию однозначности расшифрования. Из условия (1)
+следует свойство инъективности функции \(E_k\): если \(x_1, x_2 \in X\), причём
+\(x_1 \neq x_2\), то при любых \(k \in K\) выполняется неравенство \(E_k(x_1)
+\neq E_k(x_2)\).
+
+Условие (2) означает, что любой элемент \(y \in Y\) может быть представлен в
+виде \(E_k(x)\) для подходящих элементов \(x \in X\) и \(k \in K\).
+
+В общем случае утверждение "для любых \(k \in K\) и \(y \in E_k(X)\) выполняется
+равенство \(E_k(D_k(y)) = y\)" является неверным.
+
+Реальный шифр отождествляется с его математической моделью \(\sum_A\), которая
+называется \emph{алгебраической моделью шифра}.
+
+\subsubsection{(2) Вероятностная модель шифра}
+
+Следуя К. Шеннону, введём априорные распределения вероятностей \(P(X)\) и
+\(P(K)\) на множестве \(X\) и \(K\) соответственно.
+
+Для любого \(x \in X\) определена вероятность \(p_X(x) \in P(X)\) и для любого
+\(k \in K\) --- вероятность \(p_K(k) \in P(K)\), причём выполняются равенства
+$$\sum_{x \in X} p_X(x) = 1 \text{ и } \sum_{k \in K} p_K(k) = 1$$
+
+В тех случаях, когда требуется знание распределений \(P(X)\) и \(P(K)\),
+используется вероятностная модель \(\Sigma_B\), состоящая из пяти множеств,
+связанных условиями (1) и (2) определения шифра и двух вероятностных
+распределений:
+
+$$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$
+
+Вероятностные характеристики шифров используются только в криптоанализе.
+
+В большинстве случаев множества \(X\) и \(Y\) представляют собой объединения
+декартовых степеней некоторых множеств \(A\) и \(B\) соответственно, так что для
+некоторых натуральных \(L\) и \(L_1\): $$X = \cup_{L = 1}^L A^l \text{ и } Y =
+\cup_{L = 1}^{L_1} B^l$$
+
+Множества \(A\) и \(B\) называются соответственно \emph{алфавитом открытого
+текста} и \emph{алфавитом шифрованного текста}.
+
+\subsubsection{(3) Основные требования к шифрам}
+
+Для современны криптографических систем защиты информации сформулированы
+следующие общепринятые требования:
+\begin{enumerate}
+  \item зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа;
+  \item
+    число операция, необходимых для определения использованного ключа шифрования
+    по фрагменту шифрованного сообщения и соответствующего ему открытого текста,
+    должно быть не меньше общего числа возможных ключей;
+  \item
+    число операция, необходимых для расшифровывания информации путём перебора
+    всевозможных ключей должно иметь строгую нижнюю оценку и выходить за пределы
+    возможностей современных компьютеров (с учётом возможности использования
+    сетевых вычислений);
+  \item знание алгоритма шифрования не должно влиять на надёжность защиты;
+  \item
+    незначительное изменение ключа (сообщения?) должно приводить к существенному
+    изменению вида зашифрованного сообщения даже при использовании одного и того
+    же ключа;
+  \item структурные элементы алгоритма шифрования должны быть неизменными;
+  \item дополнительные биты \dots{}
+\end{enumerate}
+
+\emph{\emph{ДОПИСАТЬ!!!}}
+
+\subsection{(1.5) Шифры перестановки}
+
+\subsubsection{(1) \emph{Определение}}
+
+Шифр перестановки --- шифр, при котором буквы открытого текста при шифровании
+меняются друг с другом. Ключи шифра является перестановка номеров букв открытого
+текста.
+
+Множество всех подстановок на множестве \(M\) называют любое биективное
+отображение множества \(M\) в себя. Множество всех подстановок на множестве
+\(M\) обозначают через \(S(M)\). Множество \(S(M)\) относительно операции
+суперпозиции отображения образует группу.
+
+Если \(M\) --- конечное множество мощности \(n\), то говорят, что \(S(M)\) ---
+симметрическая группа подстановок степени \(n\).
+
+Группа \(S(M)\) является коммутативной только в случае \(n \leq 2\).
+
+Перенумеровав элементы множества \(M\) некоторым фиксированным образом \(M = \{
+x_1, x_2, \dots, x_n \}\) и отождествив элементы \(x_i\) с их номерами \(i\),
+вместо группы \(S(M)\) можно рассматривать группу \(S(\Omega)\), где \(\Omega =
+\{ 1, 2, \dots, n \}\). Обычно группа \(S(\Omega)\) обозначают через \(S_n\).
+
+Любая подгруппа \(G\) группы \(S_n\) называется \emph{группой подстановок}
+степени \(n\).
+
+Пусть \(X = Y = A^L\) и пусть \(K \subset S_L\). Для любого ключа \(k\),
+открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_L)\) и шифрованного текста \(y = (y_1,
+\dots, y_L)\) правила зашифрования и расшифрования \emph{шифра перестановки}
+определяется формулами $$ E_k(x) = (x_{k(1)}, \dots, x_{k(L)}), \, D_k(y)
+= (y_{k^{-1}(1)}, \dots, y_{k^{-1}(L)}) $$ где \(k^{-1}\) --- подстановка,
+обратная к \(k\).
+
+\subsubsection{(2) Маршрутные перестановки}
+
+Широкое применение получили так называемые \emph{маршрутные перестановки},
+основанные на некоторой геометрической фигуре.
+
+Отрезок открытого текста записывается в такую фигуру на некоторой траектории.
+
+Шифрованным текстом является последовательность, полученная при выписывании по
+другой траектории.
+
+\textbf{Примеры}
+
+\begin{enumerate}
+\item \emph{В учении нельзя останавливаться}, 28 букв
+
+в у ч е н и
+и н е л ь з
+я о с т а н
+а в л и в а
+т ь с я - -
+\begin{itemize}
+\item - - - - -
+\end{itemize}
+
+вуиянчееоатвслниьтльсиазнвяа
+
+\item Вертикальная перестановка.
+В этой системе также используется прямоугольная таблица, в которую сообщение
+записывается построкам слева направо.
+
+Выписывается сообщение по вертикали (сверху вниз), при этом столбцы
+выбираются в порядке, определяемом числовым ключом (например, в
+алфавитном порядке букв ключа).
+
+\emph{Без примера ничему не выучишься}, 27 букв
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{llllll}
+б & е & з & п & р & и\\
+м & е & р & а & н & и\\
+ч & е & м & у & н & е\\
+в & ы & у & ч & и & ш\\
+ь & с & я & - & - & -\\
+\hline
+ж & ё & л & у & д & ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+рнниеееысбмчвьзрмуяпаучииеш
+\end{enumerate}
+
+Более сложные маршрутные перестановки могут использовать другие геометрические
+фигуры и более "хитрые" маршруты, например, при обходе шахматной доски "ходом
+коня", пути в некотором лабиринте и тому подобное.
+
+\subsubsection{(3) Элементы криптоанализа шифров перестановки}
+
+(а) Приведём основные идеи, используемые при вскрытии вертикальных перестановок.
+
+Заметим, что это буквы каждого столбца заполненного прямоугольника выписываются
+в криптограмму подряд, то есть криптограмма разбивается на отрезки, являющиеся
+столбцами таблицы.
+
+Поэтому при дешифровании следует попытаться соединить две группы
+последовательных букв криптограммы так, чтобы они образовывали читаемые
+комбинации.
+
+Для этого естественно использовать наиболее частые биграммы открытого текста,
+которые можно составить из букв криптограммы.
+
+Если для первой пробы выбрано, например, сочетание НИ, то можно по очереди
+приписывать к каждой букве Н криптограммы каждую букву и из неё.
+
+При этом несколько букв, стоящих до и после данной буквы Н, и несколько букв,
+стоящих до и после данной буквы И, соединяются в пары, то есть получаются два
+столбца букв, записанные рядом:
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+I & II\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Н & И\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Длина столбцов неизвестна, но используя положение конкретных букв, можно
+получить на них некоторые ограничения:
+\begin{enumerate}
+\item Столбцы должны иметь одинаковые длины или первый столбец может быть
+длиннее второго на одну букву, и тогда эта буква --- последняя буква
+сообщения.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Р & А\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+У & Ч\\
+Я & -\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\item Если приписываемые друг к другу буквы разделены, например, только четырьмя буквами,
+то можно составить в соседних столбцах не более пяти пар, и длина каждого столбца
+не превышает пяти:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{llllll}
+б & е & \emph{з} & п & р & и\\
+м & е & \emph{р} & а & н & и\\
+ч & \emph{е} & \emph{м} & у & н & е\\
+в & \emph{ы} & у & ч & и & ш\\
+ь & \emph{с} & я & - & - & -\\
+\hline
+ж & ё & л & у & д & ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\item Ограничением можно послужить появление запретной биграммы
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Н & И\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+И & Ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{enumerate}
+
+Для выбранного сочетания НИ получается по одной паре столбцов для каждого
+конкретного выбора букв Н и И из криптограммы, и из них целесообразно отобрать
+ту пару, которая содержит наиболее частые биграммы.
+
+При автоматизации этого процесса можно приписать каждой биграмме вес, равный
+частоте её появления в открытом тексте.
+
+Тогда отбирается та пара столбцов, которая имеет наибольший вес.
+
+Появление одной биграммы с низкой частотой может указать на то, что длину
+столбца надо ограничить.
+
+Выбрав пару столбцов аналогичным образом подбирается к ним третий (справа или
+слева) и так далее. Описанная процедура значительно упрощается при использовании
+вероятных слов, то есть слов, которые могут встретиться в тексте с большой
+вероятностью.
+
+(б) Рассмотрим метод, применимый к любым шифрам перестановки.
+
+Допустим, что к двум или более сообщениям (или отрезкам сообщений) одинаковой
+длины применяется один и тот же шифр перестановки.
+
+Тогда очевидно, что буквы, которые находились на одинаковых местах в открытых
+текстах, окажутся на одинаковых местах и в криптограммах.
+
+Выпишем криптограммы одну под другой так, что первые буквы всех сообщений
+оказываются в первом столбце, вторых --- во втором и так далее.
+
+палец -> ЕПЦЛА
+волна -> НВАЛО
+Ключ: 41532
+
+Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут один
+за другой в открытом тексте, то буквы, стоящие на тех же местах в каждом из
+остальных сообщений, соединяются подобным же образом.
+
+Значит, они могут служить проверкой правильности первого предположения.
+
+К каждому из указанных двубуквенных сочетаний можно добавить третью букву
+для образования триграммы и так далее.
+
+Если располагать не менее чем 4 сообщениями одинаковой длины, то можно с
+уверенностью гарантировать их вскрытие подобным образом.
+
+Если ключ зашифрования совпадает с ключом расшифрования, то такие шифры называют
+\emph{симметричными}, иначе --- \emph{асимметричными}.
+
+\subsection{(1.6) Шифры простой замены}
+
+\subsubsection{(1) \emph{Шифр замены}}
+
+\emph{Шифр замены} --- шифр, при котором фрагменты открытого текста (отдельные
+буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в криптограмме.
+
+Определим модель \(\Sigma_A = (X, K, Y, E, D)\) произвольного шифра замены.
+
+Будем считать, что открытые и шифрованные тексты являются словами в алфавитах A
+и B соответственно. \(X \subset A^*, \, Y \subset B^*, \, |A| = n, \, |B| = m\).
+
+Перед зашифрованием открытый текст предварительно представляется в виде
+последовательностей подслов, называемых \emph{шифровеличинами} (слова из
+\(A^*\)).
+
+При зашифровании шифрвеличины заменяются некоторыми их эквивалентами в
+шифртексте, которые называются \emph{шифробозначениями} (слова из \(B^*\)).
+
+Пусть
+\(U = (u_1, \dots, u_N)\) --- множество возможных шифрвеличин.
+\(V = (v_1, \dots, v_N)\) --- множество возможных шифробозначений.
+При этом \(N \geq n, \, M \geq m, \, M \geq N\).
+
+Для определения правила зашифрования \(E_k(x)\) в общем случае понадобится ряд
+обозначений и понятие \emph{распределителя}, который, по сути, и будет выбирать
+в каждом такте шифрования замену соответствующей шифровеличине.
+
+Поскольку \(M \geq N\), множество \(V\) можно представить в виде объединения \(V
+= \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}\) непересекающихся непустых подмножеств \(V^{(i)}\).
+
+Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из \(r\) таких разбиений множества
+\(V\): $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
+r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \{
+V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых \(\varphi_\alpha (u_i) =
+V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}\).
+
+Рассмотрим также произвольное отображение \(\psi : K \times \mathbb{N} \to
+\mathbb{N}^*_r\), где \(\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}\), такое, что для
+любых \(k \in K, \, l \in \mathbb{N}\) $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l,
+\, a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$
+
+Последовательность \(\psi(k, l)\) называется \emph{распределителем}, отвечающим
+данным значениям \(k \in K,\, l \in \mathbb{N}\).
+
+Теперь можно определить правило зашифрования произвольного шифра замены. Пусть
+$$x \in X, x = x_1 \dots x_l, x_i \in U, i = \overline{1, l}, k \in K, \quad
+\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l$$
+
+Тогда \(E_k(x) = y\), где \(y = y_1 \dots y_l, y_j \in
+\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j), j = \overline{1, l} \quad (1) !!!\).
+
+В качестве \(y_j\) можно выбрать любой элемент множества
+\(\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)\).
+
+Всякий раз при шифровании этот выбор можно производить случайно, например, с
+помощью некоторого \emph{рандомизатора} типа игровой рулетки.
+
+Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования \(E_k(x)\)
+является однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
+$$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных шифров замены,
+например, шифров пропорциональной замены: $$\exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha|
+> 1$$
+
+Далее будем заниматься в основном изучением однозначных замен, получивших
+наибольшее практическое применение.
+
+Итак, далее \(M = N\) и \(\varphi_\alpha(u_i) = v^{(i)}_\alpha, i = \overline{1,
+M}\).
+
+Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования можно
+уточнить в формуле (1) включение следует заменить равенством $$y_j =
+\varphi_{\alpha_j^{(k)}} (x_j), j = \overline{1, l} \quad (1')$$
+
+Если для некоторого числа \(q \in N\) выполняются включения \(v_i \in B^q, i
+= \overline{1, N}\), то соответствующий шифр замены называется \emph{шифром
+равнозначной замены}, в противном случае --- \emph{шифром разнозначной замены}.
+
+В подавляющем большинстве случаев используются шифры замены, для которых \(U \in
+A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
+
+При \(p = 1\) говорят о \emph{поточных шифрах замены}, при \(p > 1\) --- о
+\emph{блочных шифрах замены}.
+
+В случае \(r = 1\) шифр замены называют \emph{одноалфавитным шифром замены}
+или \emph{шифром простой замены}. В противном случае --- \emph{многоалфавитным
+шифром замены}.
+
+\subsubsection{(2) Одноалфавитные однозначные замены называются \emph{шифрами простой замены}.}
+
+Введём шифр простой замены в алфавите \(A\).
+
+Пусть \(X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)\), где \(S(A)\) ---
+симметрическая группа подстановок множества \(A\).
+
+Для любого ключа \(k \in K\), открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_l)\)
+и шифрованного текста \(y = (y_1, \dots, y_i)\) правила зашифрования и
+расшифрования шифра простой замены в алфавите \(A\) определяются формулами:
+\begin{align*}
+  E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_1)), \\
+  D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_1)),
+\end{align*}
+где \(k^{-1}\) --- подстановка, обратная к \(k\).
+
+Например, в рассказе Артура Конана Дойля "Пляшущие человечки", бандит Аб Слени
+использовал шифр, где заменялись схематическими человеческими фигурками в разных
+позах, при этом каждая поза этих человечков является отдельной буквой.
+
+\subsubsection{(3) Лозунговый шифр}
+
+При этом методе осуществляется посимвольная замена букв открытого текста на
+буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов.
+
+В первой строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых
+текстов.
+
+Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль).
+
+Затем на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
+записывается полный алфавит с пропуском тех букв, которые встречаются в пароле.
+
+Закончив движение по строке, возвращаемся в её начало, процесс продолжается.
+
+\emph{ПРИМЕР!!!}
+
+\subsubsection{(4) Шифр простой неравнозначной замены}
+
+Пример --- шифр Марк.
+
+\emph{ПРИМЕР!!!}
+
+Буквы, стоящие во второй строке таблицы при шифровании заменяются стоящими над
+ними, остальные буквы --- двузначными числами "строка-столбец".
+
+\subsubsection{(5) Анализ шифров простой замены}
+
+(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены.
+
+(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены основан на том, что с
+точностью до переобозначений частотные характеристики $m$-грамм криптограммы и
+открытого текста одинаковы.
+
+При этом используются частотные характеристики предполагаемого открытого текста,
+полученные с учётом "характера переписки".
+
+Обычно выделяют следующие этапы алгоритма:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Подсчёт частот шифробозначений, а также некоторых их сочетаний
+    (например, биграмм).
+
+    Если длина текста достаточно велика, то найденные частоты окажутся
+    близкими к значениям частот знаков открытого текста;
+  \item
+    Выявление шифробозначений, заменяющих гласные и согласные буквы.
+
+    Основано на характерных свойствах этих букв, например, удвоение
+    гласных в открытом тексте происходит реже, чем согласных.
+
+  \item
+    Выдвижение гипотез о значениях шифробозначений и их проверка.
+
+    Восстановление истинных значений шифробозначений.
+
+    При этом учитывается, что каждая буква имеет предпочтительных
+    связей, которые составляют её наиболее характерную особенность.
+
+    Как правило, такие гипотезы подтверждаются не полностью.
+
+    Хорошим критерием при этом является "читаемость"
+    восстанавливаемого открытого текста.
+\end{enumerate}
+
+Приведём описание эвристического алгоритма дешифрования, основанного на идее
+Томаса Якобсена.
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Построить начальный вариант ключа \(k\) на основе сравнения частот
+    знаков криптограмм и открытого текста.
+  \item
+    Положить $v = f(D_k(y))$, где \(f(t) = \sum_{i,j}|\Delta_{ij}(t) - b_{ij}|\)
+    --- "целевая функция", \(\Delta(t) = (\Delta_{ij}(t))_{n \times m}\) ---
+    матрица биграмм данного текста \(t\), \(n\) --- число букв алфавита. \(B =
+    (b_{ij})_{n \times m}\) --- эталонная матрица биграмм открытого текста.
+  \item Положить \(k' = k\).
+  \item
+    Поменять местами в нижней строке подстановки \(k'\) некоторую пару букв,
+    например, \(\alpha\) и \(\beta\).
+  \item Положить \(v' = f(D_{k'}(y))\).
+  \item Если \(v' < v\), то положить \(k = k', \, v' = v\) и перейти к 4).
+  \item Перейти к шагу 3).
+\end{enumerate}
+
+Алгоритм заканчивается, когда условие \(v' < v\) не выполняется в течение
+некоторого числа итераций, например, 100.
+
+Если шифр простой замены не является однобуквенным, то при вскрытии криптограммы
+необходимо попытаться восстановить множество шифрвеличин.
+
+Если задача решена, то дальнейшая работа аналогична.
+
+(б) Некоторые особенности вскрытия равнозначных шифров простой замены.
+
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Длины повторений фрагментов и расстояния между ними должны быть
+    кратны значности шифра (\emph{значность шифра} --- количество знаков
+    (цифр или букв), образующих одно шифробозначений).
+  \item
+    Находя НОД этих чисел с большей вероятностью получается искомая значность.
+  \item
+    Подсчитать общее число шифробозначений, если это число близко к ожидаемому
+    числу шифробозначений (например, к числу букв алфавита), и диаграмма их
+    повторяемости близка к табличной, то, скорее всего, значность определена
+    верно.
+\end{enumerate}
+
+(в) Некоторые особенность вскрытия разнозначных шифров простой замены
+
+\begin{enumerate}
+  \item
+    В этом случае числа, равные длинам повторений и расстояниям между ними,
+    скорее всего, взаимно просты в совокупности.
+
+    Для определения множества шифрообозначений помогает естественное
+    ограничение, которым обычно пользуются при составлении таблицы
+    шифрообозначений.
+
+    Оно связано с требованием однозначности расшифрования и заключается в том,
+    чтобы ни одно из шифрообозначений не являлось началом никакого другого
+    шифрообозначения (в теории кодирования в подобной ситуации говорит о
+    \emph{префиксном коде});
+  \item
+    Если значность шифрообозначений колеблется в незначительных пределах,
+    то перебор сравнительно небольшого числа вариантов приводит (с учётом
+    ограничения) к правильному определению большинства шифрообозначений.
+
+    Некоторые затруднения могут возникать лишь при определении значности
+    шифрообозначений, редко встречающихся в тексте.
+
+    Как правило, эти проблемы решаются вместе с попытками прочтения тех участков
+    криптограммы, для которых восстановленная значность шифрообозначений не
+    вызывает сомнений.
+\end{enumerate}
+
+Увеличение значности шифрообозначений делает шифр неэкономным, поэтому получили
+распространение шифры, использующие одно- и двузначные шифрообозначения.
+
+Для таких шифров наибольшую повторяемость в шифртексте имеют цифры, с которых
+начинаются двузначные шифрообозначения.
+
+Выдвигая гипотезы о таких цифрах и отмечая в шифртексте соответствующие
+двузначные шифрообозначения, можно восстановить и однозначные шифрообозначения,
+оказавшиеся в шифртексте между некоторыми двузначными шифрообозначениями.
+
+\subsubsection{(6) Блочные шифры простой замены.}
+
+Пример --- Шифр Хилла.
+
+Шифр Хилла --- полиграммный шифр подстановки, основанный на линейной алгебре и
+модульной арифметике.
+
+Изобретён американским математиком  Л. Хиллом в 1929 году.
+
+Пусть мощность алфавита равна \(m\).
+
+Каждой букве присваивается число, равное порядковому номеру алфавита, последней
+букве --- 0 (полная система вычетов по модулю \(m\)).
+
+/ !!!ТАБЛИЦА С БУКВАМИ И ИХ НОМЕРАМИ /
+
+Пусть открытый текст разбивается на блоки длины \(n\). Шифрование осуществляется
+поблочно. Пусть \(\vec{x}\) --- вектор-строка длины \(n\) (над кольцом вычетов
+\(Z_m\)).
+
+Сообщение преобразуется из открытого текста заменой букв соответствующими
+числами.
+
+Рассмотрим кольцо \(Z_m\).
+
+Выбирается обратимая матрица \(A\) размерности \(n \times n\) над кольцом
+\(Z_m\) и вектор-строка \(\vec{a}\) размерности \(n\) над \(Z_m\).
+
+Шифрование осуществляется по формуле \(\vec{y} = \vec{x} A + \vec{a}\) (все
+действия осуществляются по модулю \(m\), то есть в кольце \(Z_m\)).
+
+Ключом шифра является пара \((A, \vec{a})\).
+
+Тогда дешифрование \(\vec{x} = (\vec{y} - \vec{a}) A^{-1}\).
+
+\emph{Пример}: Еду = \((6, 5, 20) = \vec{x}, m = 32, \vec{x} = (6, 5, -12)\)
+
+Матрица \(A = \begin{pmatrix}
+  1 & 1 & 1 \\
+  1 & 2 & 2 \\
+  1 & 2 & 3
+\end{pmatrix}\)
+
+Матрица \(A^{-1} = \begin{pmatrix}
+   2 & -1 &  0 \\
+  -1 &  2 & -1 \\
+   0 & -1 &  1
+\end{pmatrix}\)
+
+\(\vec{a} = (1, 8, -12)\)
+
+$$\vec{y} = \vec{x} A + \vec{a} = (6, 5, -12) \begin{pmatrix}
+   2 & -1 &  0 \\
+  -1 &  2 & -1 \\
+   0 & -1 &  1
+\end{pmatrix} + (1, 8, -12) = (-1, -8, -20) + (1, 8, -12) = (0, 0, 0) = \text{яяя}$$
+
+$$\vec{x} = (\vec{y} - \vec{a}) A^{-1} = (-1, -8, 12) \begin{pmatrix}
+   2 & -1 &  0 \\
+  -1 &  2 & -1 \\
+   0 & -1 &  1
+\end{pmatrix} = (6, 5, 20) = \text{еду}$$
+
+Для нахождения обратимых матриц над кольцом \(Z_m\) предложен следующий
+практический способ:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Нужно взять произвольную нижнюю треугольную матрицу над \(Z_m\) с
+    определителем, равным 1 (для этого достаточно положить равными 1 все
+    элементы главной диагонали).
+  \item Далее берётся верхняя треугольная матрица над \(Z_m\) с определителем, равным 1.
+  \item Перемножив эти матрица, получаем обратимую матрицу над кольцом \(Z_m\).
+\end{enumerate}
+
+Пример:
+$$\begin{pmatrix}
+  1 & 0 & 0 \\
+  1 & 1 & 0 \\
+  1 & 1 & 1
+\end{pmatrix} \cdot
+\begin{pmatrix}
+  1 & 1 & 1 \\
+  0 & 1 & 1 \\
+  0 & 0 & 1
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+  1 & 1 & 1 \\
+  1 & 2 & 2 \\
+  1 & 2 & 3
+\end{pmatrix}$$
+
+Особенно удобно для практического применения шифра Хилла, когда матрица \(A\)
+является \emph{инволютивной}, то есть \(A^{-1} = A\). Тогда \(\vec{x} = (\vec{y}
+- \vec{a}) A\).
+
+Как построить инволютивную матрицу?
+
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Пусть для заданных \(m\) и \(n\) имеется пара взаимнообратных матриц \(A\)
+    и \(A^{-1}\). Возьмём любую диагональную инволютивную матрицу \(I\) (можно
+    просто выбрать элементы главной диагонали равными 1 и -1).
+  \item Тогда \(A I A^{-1}\) --- инволютивная матрица.
+\end{enumerate}
+
+\begin{remark}
+  К настоящему времени не найдена простая формула для подсчёта
+  количества инволютивных матриц над $Z_m$.
+\end{remark}
+
+Увеличение значности шифрвеличин резко усложняет попытки вскрытия открытого
+текста по известному тексту криптограмм.
+
+Однако свойство линейности является их криптографической слабостью, например,
+задача нахождения ключа является не слишком трудоёмкой, если известны \(n + 1\)
+пар блоков открытого текста и соответствующих их блоков шифртекста, полученные
+на данном ключе.
+
+\section{2. Шифры многоалфавитной замены}
+
+Напомним, что правило зашифрования многоалфавитного шифра однозначной замены
+определяется следующим образом.
+
+Пусть $x = (x_1, \dots, x_l)$ --- открытый текст, представленный
+последовательностью шифрвеличин $x_i \in U, i = \overline{1, l}$ и $k$ ---
+произвольный ключ.
+
+Тогда $E_k = (\pi_1(x_1), \dots, \pi_l(x_l))$, где $\pi_i, i = \overline{1, l}$
+--- некоторые подстановки на множестве всех шифрвеличин, однозначно определяемые
+данным ключом.
+
+При этом здесь и далее ограничимся рассмотрением случая, когда множества
+шифрвеличин и шифрообозначений совпадают друг с другом ($U = V$).
+
+На практике используются в основном поточные многоалфавитные шифры, среди
+которых выделяется два больших подкласса --- шифры, реализуемые дисковыми
+шифраторами и шифры гаммирования.
+
+\subsection{2.1 Дисковые шифраторы}
+
+\subsubsection{Шифр Альберти}
+
+Л. Альберти в 1466 г. написал труд о шифрах. В этой работе был предложен шифр,
+основанный на использовании \textit{шифровального диска}.
+
+\textbf{!!!КАРТИНКА С ПРИМЕРОМ!!!}
+
+Шифровальный диск представлял собой пару соосных дисков разного диаметра.
+
+Больший из них --- неподвижный, его окружность разделена на 24 равных
+сектора, в которые вписаны 20 букв латинского алфавита в их естественном
+порядке и 4 цифры (от 1 до 4).
+
+При этом из 24-буквенного алфавита были удалены 4 буквы, без которых можно
+было обойтись, подобно тому, как в русском языке обходятся без Ъ, Ё, Й.
+
+Меньший диск --- подвижный, по его окружности, разбитой также на 24 сектора,
+были вписаны все буквы перемешанного латинского алфавита.
+
+Имея два таких прибора, корреспонденты договаривались о первой индексной
+букве на подвижном диске.
+
+При шифровании сообщения отправитель ставил индексную букву против любой
+буквы большего диска.
+
+Он информировал корреспондента о таком положении диска, записывая эту букву
+внешнего диска в качестве первой буквы шифртекста.
+
+Очередная буква открытого текста отыскивалась на неподвижном диске и стоящая
+против неё буква меньшего диска являлась результатом её зашифрования.
+
+После того как были зашифрованы несколько букв текста, положение индексной
+буквы изменялось, о чём также каким-либо образом передавалось корреспонденту.
+
+Такой шифр имел две особенности:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Шифровальный диск использовал несколько алфавитов для зашифрования
+    (\textit{многоалфавитные шифры}).
+  \item
+    Шифровальный диск позволял использовать так называемые \textit{коды с
+    перешифрованием}: для этой цели на внешнем диске имелись цифры.
+
+    Альберти составил \textit{код}, состоящий из 336 кодовых групп,
+    занумерованных от 11 до 4444.
+
+    Каждому кодовому обозначению соответствовала некоторая законченная фраза.
+
+    Когда такая фраза встречалась в открытом сообщении, на заменялась
+    соответствующим кодовым обозначением, а с помощью диска цифры
+    зашифровывались как обычные знаки открытого текста, превращались в буквы.
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{Колёсные шифраторы}
+
+Почти половина XX века была связана с использованием колёсных шифраторов.
+
+Различные их конструкции были запатентованы в одно и то же время (в период
+1917--1919 гг.) в разных странах: американцем Э.~Х.~Хеберном (шифрующий диск),
+голландцем Х.~Ф.~Кохом (шифрующий диск, в котором роль электричества выполняла
+пневматика), немцем А.~Шербиусом (шифромашина <<Энигма>>) и шведом А.~Г.~Даммом
+(дисковая машина, которая никогда не была реализована).
+
+Шифрмашина <<Энигма>> в двух отношениях отличалась от других дисковых машин:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    После блока дисков была расположена неподвижная обратимая розетка
+    (пластина), контакты которой были попарно соединены друг с другом. Импульс
+    тока, приходивший на этот контакт, заворачивался и вновь проходил через блок
+    дисков в противоположном направлении. Это давало двойное шифрование каждой
+    буквы;
+  \item
+    Неравномерное движение дисков, которое управлялось зубчатыми колёсами.
+
+    В довоенный период и во время второй мировой войны <<Энигма>> широко
+    использовалась в германской армии, ВМС и ВВС.
+
+    Она была портативной, работала от батареи, имела деревянный футляр.
+
+    Недостаток --- она не печатала шифртекст (а имела лишь загорающиеся
+    лампочки, отвечающие буквам), и для быстрой работы требовались 3--4
+    человека.
+
+\end{enumerate}
+
+С <<Энигмой>> теснейшим образом связан ход многих событий периода второй
+мировой войны.
+
+С <<Энигмой>> связано также появление первой в истории вычислительной
+машины, сконструированный в 1942 году для перебора ключевых элементов
+группой специалистов-криптографов под руководством А. Тьюрингом.
+
+В 1934 году Б. Хагелин создал свою очередную машину B-211, которую снабдил
+печатающим устройством, работавшим со скоростью около 200 знаков в минуту.
+
+На тот момент она была самой портативной печатающей шифрмашиной.
+
+В том же 1934 году французский генштаб заказал Б. Хагелину карманную
+печатающую машину, которая могла бы обслуживать одним человеком. Через
+некоторое время такая машина была изготовления.
+
+Она реализовывала шифр гаммирования, причём для выработки гаммы была
+использована идея суммирующего устройства, состоящего из комбинационных линеек,
+расположенных в цилиндрическом барабане.
+
+На линейках рядами были расположены так называемые рейтеры.
+
+При повороте барабана на 360 градусов рейтеры, вступая во взаимодействие с
+другими элементами схемы, могли выдвигать некоторые линейки влево, причём
+число выдвинутых линеек и определяло значение гаммы (от 0 до 25) в данный такт
+шифрования.
+
+Во взаимодействие с рейтерами вступали штифты, расположенные на колёсах блока
+дисков, составляющего вторую основную часть машины.
+
+Размеры и схема движения дисков обеспечивали период, приблизительно равный $1.01
+\cdot 10^8$.
+
+Расположение рейтеров и штифтов могло легко меняться, они являлись ключевыми
+элементами.
+
+Это машина С-36.
+
+По размерам она была меньше телефонного аппарата, весила вместе с футляром около
+2.5 килограмм.
+
+Французы сразу же сделали заказ на 5000 машин.
+
+Позднее машина была существенно усовершенствована, ею заинтересовались в США.
+
+В 1939 г. она была взята на вооружение США.
+
+Под военным наименованием М-209 она использовалась в качестве полевого шифра
+на протяжении всей второй мировой войны.
+
+Всего было произведено около 140000 таких машин.
+
+Позже фирма Хагелин стала производить широко известные машины С-48, C-52, T-55
+и многие другие.
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

