From 1155995f9ef0e44b839e43c2d9d609d2e6cfaa4f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sun, 4 Dec 2022 15:52:05 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=BF=D0=B8=D1=81=D0=B0=D0=BD=D1=8B=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=B5=D0=B4=D0=BE=D1=81=D1=82=D0=B0=D1=8E=D1=89=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B5=20=D1=87=D0=B0=D1=81=D1=82=D0=B8=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA?=
 =?UTF-8?q?=D1=86=D0=B8=D0=B9=20=D0=B8=20=D0=B4=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2?=
 =?UTF-8?q?=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B=20=D1=80=D0=B8=D1=81=D1=83=D0=BD=D0=BA?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture13.tex | 45 +++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 43 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture13.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture13.tex b/cryptography/lectures/lecture13.tex
index bd2b326..cc9ee50 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture13.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture13.tex
@@ -78,7 +78,11 @@ P$, заданная на множестве целых неотрицатель
 \end{equation*}
 
 ЛРП реализуется схемой линейного регистра сдвига, изображённой на рисунке.
-\textbf{TODO: Рисунок 1}
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lecture13/linear_registry.pdf}
+  \caption{Линейный регистр сдвига}
+\end{figure}
 
 В очередном такте работы регистра значения, содержащиеся в ячейках накопителя,
 умножаются на соответствующие коэффициента $f_j$ и суммируются, после чего
@@ -133,6 +137,43 @@ $P$. Тогда функцией \emph{<<след>> из поля $Q$ в пол
 \end{equation*}
 
 \begin{theorem}
-  Пусть $F(x) = x^m - \sum_{j = 0}^{m - 1}
+  Пусть $F(x) = x^m - \sum_{j = 0}^{m - 1} f_j \cdot x^j$ --- неприводимый
+  многочлен над полем $P$ степени $m$, $\theta$ --- корень $F(x)$ в поле $Q$.
+  Тогда для ЛРП $\set{u(i)}$ с характеристическим многочленом $F(X)$
+  существует единственная константа $\alpha \in P$ такая, что
+  \begin{equation*}
+    u(i) = \text{tr}_q^{q^m} (\alpha \cdot \theta^i),\, i \geq 0
+  \end{equation*}
 \end{theorem}
 
+Пусть $u$ --- ЛРП минимального периода над полем $P$ и $\nu(\alpha_1, \dots,
+\alpha_k)$ --- число решений системы уравнений
+\begin{equation*}
+  \begin{cases}
+    u(i + j) = \alpha_j,\, j = \overline{1, k} \\
+    0 \leq i < q^m - 1
+  \end{cases}
+\end{equation*}
+то есть число появлений мультиграммы $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ на периоде
+последовательности $u$.
+
+% NOTE: Утверждение 5
+\begin{statement}
+  Пусть $F(x)$ --- примитивный многочлен степени $m$ над полем $P$ и $\theta$
+  --- корень $F(x)$ в поле $Q$. Тогда любая ненулевая мультиграмма $(\alpha_1,
+  \dots, \alpha_k)$ встречается на периоде ЛРП $u$ ровно $\nu(\alpha_1, \dots,
+  \alpha_k) = q^{m - 1}$ раз, а число вхождений нулевой мультиграммы на единицу
+  меньше.
+\end{statement}
+
+Таким образом, ЛРП над полем позволяет обеспечить первые два из трёх требований
+к псевдослучайным последовательностям, используемым при построении управляющих
+блоков поточных шифрсистем.
+
+За счёт выбора закона рекурсии можно также гарантировать достаточную величину
+периода получаемой псевдослучайной последовательности и хорошие статистические
+качества. Вместе с тем аналитическое строение ЛРП оказывается достаточно
+простым.
+
+Для определения начального вектора по некоторому отрезку последовательности
+достаточно решить систему линейных уравнений.
-- 
cgit v1.2.3

