From 813824fa9425adbb2e41cd109070ad703d6ed642 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Mon, 28 Nov 2022 15:39:30 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D0=B0?=
 =?UTF-8?q?=2013=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=20=D0=BF=D0=BE=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=BE=D0=B3=D1=80=D0=B0=D1=84?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=D0=B8?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture13.tex | 138 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 138 insertions(+)
 create mode 100644 cryptography/lectures/lecture13.tex

(limited to 'cryptography/lectures/lecture13.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture13.tex b/cryptography/lectures/lecture13.tex
new file mode 100644
index 0000000..bd2b326
--- /dev/null
+++ b/cryptography/lectures/lecture13.tex
@@ -0,0 +1,138 @@
+% Лекция 13 (28.11.22)
+
+Таким образом, задача построение рассматриваемого шифра сводится к выбору
+множества шифрующих преобразований $\set{\varphi_\alpha}$ и отображения $\psi$,
+задающего распределитель.
+
+В соответствии с этим поточная шифрсистема представляется в виде двух основных
+блоков:
+\begin{itemize}
+  \item
+    \emph{Управляющий блок} --- отвечает за выработку распределителя, то есть
+    вырабатывает последовательность номеров шифрующих преобразований, которая
+    называется \emph{управляющей последовательностью} (или \emph{управляющей
+    гаммой});
+  \item
+    \emph{Шифрующий блок} --- в соответствии со знаком управляющей
+    последовательности реализует алгоритм шифрования текущего знака.
+\end{itemize}
+
+Достаточно, чтобы в каждом такте шифрующий блок обеспечивал возможность
+шифрования лишь текущего знака $a_j$ открытого текста в соответствии с (12).
+
+Обычно управляющая гамма представляет собой псевдослучайную последовательность,
+удовлетворяющую некоторой рекуррентной зависимости.
+
+В общем случае рекуррентная последовательность на заданном множестве $A$
+определяется формулой $$x(i + m) = f(x(i), \dots, x(i + m - 1)),\, i \geq 0,$$
+в которой $f : A^m \to A$ --- некоторая функция от $m$ переменных.
+
+Для получения рекуррентных последовательностей используются различные датчики
+псевдослучайных чисел, например:
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Линейный конгруэнтный генератор над кольцом или полем:
+    $$x(i + 1) = a \cdot x(i) + b,\, i \geq 0$$
+  \item
+    Обобщение линейного генератора: $$x(i + 1) = f(x(i)),\, i \geq 0,$$ где
+    $f : A \to A$ --- произвольное отображение, легко вычисляемое для любого
+    аргумента;
+  \item
+    Линейные регистры сдвига (ЛРС), на которых основаны большинство датчиков.
+\end{enumerate}
+
+Требования к управляющему блоку:
+\begin{itemize}
+  \item
+    Период управляющей гаммы должен превышать максимально возможную длину
+    открытых сообщений, подлежащих шифрованию;
+  \item
+    Статистические свойства управляющей гаммы должны приближаться к свойствам
+    случайной равновероятной последовательности;
+  \item
+    В управляющей гамме должны отсутствовать простые аналитические зависимости
+    между близко расположенными знаками;
+  \item
+    Криптографический алгоритм получения знаков управляющей гаммы должен
+    обеспечивать высокую сложность определения секретного ключа.
+\end{itemize}
+
+Требование к шифрующему блоку: применение алгоритма шифрования должно носить
+универсальный характер и не зависеть от вида шифруемой информации.
+
+
+\subsection{Линейные регистры сдвига}
+
+В криптографических приложениях широкое распространение получили линейные
+регистры сдвига над конечными полями и кольцами.
+
+\emph{Последовательностью} над полем $P$ называется любая функция $u : \N_0 \to
+P$, заданная на множестве целых неотрицательных чисел и принимающая значения в
+поле.
+
+Последовательность $u$ называется \emph{линейной рекуррентной
+последовательностью (ЛРП) порядка $m > 0$ над полем $P$}, если существуют
+константы $f_0, \dots, f_{m - 1} \in P$ такие, что
+\begin{equation*}
+  u(i + m) = \sum_{j = 0}^{m - 2} f_j \cdot u(i + j),\, i \geq 0.
+\end{equation*}
+
+ЛРП реализуется схемой линейного регистра сдвига, изображённой на рисунке.
+\textbf{TODO: Рисунок 1}
+
+В очередном такте работы регистра значения, содержащиеся в ячейках накопителя,
+умножаются на соответствующие коэффициента $f_j$ и суммируются, после чего
+происходит (левый) сдвиг информации в регистре, а в освободившуюся крайнюю
+ячейку записывается вычисленное значение суммы (операции сложения и умножения
+выполняются в поле $P$).
+
+Равенство, выражающее зависимость между знаками линейной рекуррентной
+последовательности, называется \emph{законом рекурсии}, многочлен $F(x) = x^m -
+\sum_{j = 0}^{m - 1} f_j \cdot x^j$ --- \emph{характеристическим многочленом}
+ЛРП $u$, а вектор $u(\overline{0, m - 1}) = (u(0), \dots, u(m - 1))$ --- \emph{%
+начальным вектором} ЛРП (или \emph{начальным заполнением} ЛРС).
+
+Характеристический многочлен ЛРП $u$, имеющий наименьшую степень, называется её
+\emph{минимальным многочленом}, а степень минимального многочлена --- \emph{%
+линейной сложностью} ЛРП $u$ (она определяет минимальную длину ЛРС, реализующую
+данную последовательность).
+
+\emph{Периодом} последовательности $u$ называется наименьшее натуральное число
+$t$, для которого существует натуральное число $\lambda > 0$ такое, что для всех
+$i \geq 0$ справедливо равенство $u(\lambda + i + t) = u(\lambda + i)$.
+
+Когда $P$ --- конечное поле из $q$ элементов, максимальное значение периода ЛРП
+порядка $m$ равно $q^m - 1$.
+
+Последовательности, имеющие максимально возможный период, называются линейными
+рекуррентными последовательностями \emph{максимального периода} или просто
+\emph{максимальными линейными рекуррентными последовательностями}.
+
+Значения периодов ЛРП определяется свойствами их минимальных многочленов. В
+частности, для того, чтобы ЛРП порядка $m$ над полем из $q$ элементов имела
+максимальный период, необходимо и достаточно, чтобы её минимальный многочлен был
+\emph{примитивным}, то есть
+\begin{enumerate}
+  \item $F(x)$ --- неприводимый над полем $P$;
+  \item
+    $\text{ord}\, F(x) = q^m - 1$, то есть $F(x)$ делит многочлен $x^{q^m - 1} -
+    1$ и не делит ни один из многочленов вида $x^d - 1$, где $d$ делит $q^m - 1$
+    и $d \neq q^m - 1$.
+\end{enumerate}
+
+Закон рекурсии даёт удобный способ вычисления очередного знака ЛРП через
+предыдущие, но при изучении её свойств предпочтительной формой задания является
+формула общего члена последовательности, представляющая собой аналитическое
+выражение члена последовательности в виде функции от его номера.
+
+Пусть $p = GF(q)$ и $Q$ --- поле из $q^m$ элементов, являющееся расширением поля
+$P$. Тогда функцией \emph{<<след>> из поля $Q$ в поле $P$} называется
+отображение $\text{tr}_q^{q^m}(a) : Q \to P$ вида
+\begin{equation*}
+  \text{tr}_q^{q^m}(a) = a + a^q + a^{q^2} + \dots + a^{q^{m - 1}}
+\end{equation*}
+
+\begin{theorem}
+  Пусть $F(x) = x^m - \sum_{j = 0}^{m - 1}
+\end{theorem}
+
-- 
cgit v1.2.3

