From d07c4227e4be97220a6f944c6d49161cadd438db Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Wed, 14 Dec 2022 01:34:52 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D1=80=D0=B8=D1=81=D1=83=D0=BD=D0=BA=D0=B8=20=D0=B2=2014=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=2015=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=D1=85?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture14.tex | 96 ++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 83 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture14.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture14.tex b/cryptography/lectures/lecture14.tex
index 301925f..1d84680 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture14.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture14.tex
@@ -9,8 +9,10 @@
 
 Первый способ заключается в применении к элементам ЛРП некоторой функции $f$
 (см. рисунок).
-
-% TODO: рис. 1
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{lecture14/lrs}
+\end{figure}
 
 Подобные узлы усложнения ЛРП называются фильтрующими генераторами. Их
 результирующей последовательностью является нелинейно <<фильтрованное>>
@@ -29,15 +31,19 @@
 Генератор псевдослучайных последовательностей, реализующий усложнение нескольких
 линейных рекуррент с помощью одной общей функции усложнения, получил название
 комбинирующего генератора (см. рисунок).
-
-% TODO: Рис. 2
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{lecture14/combine}
+\end{figure}
 
 \paragraph{Композиции линейных регистров сдвига}
 
-Так называется схема, в которой выход одного из регистров подаётся на вход другого
-регистра (см. рисунок).
-
-% TODO: Рис. 3
+Так называется схема, в которой выход одного из регистров подаётся на вход
+другого регистра (см. рисунок).
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=\textwidth]{lecture14/compose}
+\end{figure}
 
 Функционирование такой схемы описывается следующим образом.
 
@@ -74,14 +80,78 @@
 
 На рисунке приведена схема работы генератора, когда процессами записи и
 считывания управляет одна и та же последовательность.
-
-% TODO: Рис. 4
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{lecture14/memory}
+\end{figure}
 
 Пусть $u$ и $v$ --- последовательности над полем $P$, а выходная
 последовательность $\gamma$ вырабатывается с использованием $q$ ячеек памяти
-$R_0, \dots, R_{q - 1}$. Если $R_j(i)$ --- заполнение $j$-
-
-% TODO: Дописать
+$R_0, \dots, R_{q - 1}$. Если $R_j(i)$ --- заполнение $j$-й ячейки памяти перед
+началом $i$-го такта работы схемы, то преобразование информации в $i$-м такте
+описывается формулами
+\begin{align*}
+  \gamma(i) &= R_{v(i)}(i), \\
+  R_j(i + 1) &= \begin{cases}
+    R_j(i), &\text{если } j \neq v(i) \\
+    u(i),   &\text{если } j = v(i)
+  \end{cases}
+\end{align*}
+
+Таким образом, последовательность $v$ определяет адреса, по которым в память
+записываются элементы последовательности $u$.
+
+%% NOTE: Теорема 6
+\begin{theorem}
+  Пусть $\tau$ --- период последовательности $u$, $t$ --- период
+  последовательности $v$, причём $\text{НОД}(\tau, t) = 1, \, t < \tau$. Тогда
+  для значения периода $T$ выходной последовательности $\gamma$ выполняется
+  равенство $T = \tau s$, где $s = \frac{t}{d},\, d \leq e^\frac{q}{e}$.
+\end{theorem}
 
 \subsection{Поточная шифрсистема A5}
 
+A5 --- шифрсистема гаммирования, применяемая для шифрования телефонных сеансов
+в системе GSM, а именно канала <<телефон --- базовая станция>>.
+
+Поточная шифрсистема A5/1 --- одна из разновидностей алгоритма A5. Генератор
+A5/1 состоит из трёх ЛРС над $GF(2)$ длины 19, 22 и 23 с характеристическими
+многочленами соответственно
+\begin{align*}
+  f_1(x) &= x^{19} + x^5 + x^2 + x + 1, \\
+  f_2(x) &= x^{22} + x + 1, \\
+  f_3(x) &= x^{23} + x^{15} + x^2 + x + 1. \\
+\end{align*}
+
+Сумма битов, снимаемых с трёх ЛРС образует гамму генератора.
+
+Нелинейность алгоритма (они придают системе принципиально новые свойства)
+достигается за счёт неравномерного движения всех ЛРС, контролируемого блоком
+управления движения (БУД). После вычисления знака гаммы происходит сдвиг
+некоторых (не менее чем двух) регистров. Сдвиг зависит от значения трёх битов:
+10-го бита ЛРС-1, 11-го бита ЛРС-2 и 12-го бита ЛРС-3 --- и определяется по
+правилу: если все три бита одинаковы, то сдвигаются все регистры, в противном
+случае сдвигаются два регистра, чьи биты совпадают.
+
+Криптосистема генератора шифра A5/1 представлена на рисунке:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{lecture14/a5_1}
+  \caption{Криптосистема A5/1}
+\end{figure}
+
+Открытый текст представляет собой набор 114-битовых блоков. Перед шифрованием
+каждого блока происходит перезагрузка состояний регистров, которая определяется
+однозначно передаваемым в линию несекретным номером блока и секретным 64-битовым
+сеансовым ключом шифра. Определение сеансового ключа шифра равносильно
+определению состояния регистров после перезагрузки, так как сеансовый ключ
+восстанавливается однозначно по состоянию регистров и по номеру блока из решения
+линейной системы уравнений от 64 переменных над полем $GF(2)$.
+
+После перезагрузки регистров осуществляется 100 тактов холостого прогона,
+то есть 100 первых знаков гаммы игнорируются. В последующие 114 тактов
+вырабатываемые генератором биты используются для гаммирования блока открытого
+текста.
+
+Поточная шифрсистема A5/2 отличается пониженной криптостойкостью за счёт
+добавления ещё одного регистра (17 бит) управляющего сдвигами остальных.
-- 
cgit v1.2.3

