From 14ba71d9e77e449888e85c4c5e14c4d93ad11dbf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Fri, 5 May 2023 15:05:42 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D1=8B?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D0=B8=2026=20=D0=B8=2028?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture28.tex | 125 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 125 insertions(+)
 create mode 100644 cryptography/lectures/lecture28.tex

(limited to 'cryptography/lectures/lecture28.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture28.tex b/cryptography/lectures/lecture28.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d097a4
--- /dev/null
+++ b/cryptography/lectures/lecture28.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+% Лекция 28 (05.05.23)
+
+% TODO: дописать
+
+В 1977--78 годах, работая в Массачусетском технологическом институте, они
+создали шифр, названный RSA (по первым буквам фамилий), который произвёл
+переворот в криптографии и открыл новый период в сфере защиты информации.
+
+В настоящее время RSA --- самый распространённый метод шифрования используемый
+в компьютерных сетях. В этом шифре осуществлена другая казавшаяся несбыточной мечта
+криптографов: возможность защищённой связи без передачи секретного ключа.
+
+\begin{enumerate}
+  \item
+    Пусть имеется компьютерная сеть, абоненты которой хотят обмениваться
+    информацией, не предназначенной для непредусмотренных пользователей.
+
+    Абонент A выбирает два больших (примерно по 100--300 цифр) простых числа
+    $p$ и $q$, находит их произведение $n = pq$.
+
+    Затем вычисляется $\varphi(n) = \varphi(pq) = \varphi(p) \varphi(q) = (p -
+    1)(q - 1)$.
+
+    Затем в кольце $\Z_{\varphi(n)}$ подбирает целое число $e > 1$ взаимно
+    простое с $\varphi(n)$. Затем он опубликовывает пару $(n, e)$ --- это его
+    \emph{открытый ключ}, он применяется для шифрования сообщений.
+
+  \item
+    Предположим, что другой абонент B желает отправить для A секретное
+    сообщение. Он переводит открытый текст в числовую форму $m$ (например,
+    заменяя a на 01, b --- на 02, $\dots$, z --- на 26, а пробел между словами
+    --- на 00). Если полученное число $m$ превышает $n$, его можно разбить на
+    последовательные части, каждая меньше $n$, так что для простоты пусть $m <
+    n$. Далее B вычисляет $c = m^e \pmod{n}$. Это криптограмма, которую он и
+    посылает абоненту A.
+
+  \item
+    Для того, чтобы её прочитать, A уже заготовил свой \emph{закрытый ключ} ---
+    число $d$, удовлетворяющее двум требованиям: $1 < d < n$ и $ed \equiv 1
+    \pmod{\varphi(n)}$.
+
+    Так как $e$ взаимно просто с $\varphi(n)$, то это сравнение имеет решение,
+    то есть такое число существует и притом только одно. Теперь A вычисляет
+    $c^d \pmod{n}$ и получает $m$.
+\end{enumerate}
+
+\begin{theorem}[Корректность метода шифрования RSA, Ривест, 1978 г.]
+  По построению шифра RSA $c^d \pmod{n} = m$.
+\end{theorem}
+
+\begin{example}
+  $p = 3, q = 11, n = pq = 3 \cdot 11 = 33$.
+
+  $\varphi(n) = \varphi(pq) = \varphi(p) \varphi(q) = (p - 1) (q - 1) = 2 \cdot
+  10 = 20$.
+
+  $e = 7$ (из кольца $Z_{20}$).
+
+  То есть открытый ключ --- (33, 7).
+
+  $ex = 7x \equiv 1 \pmod{20}$.
+
+  $d = 3; m = 2$.
+\end{example}
+
+Составим криптограмму:
+\begin{equation*}
+  c = m^e \pmod{n} = 2^7 \pmod{33} = 128 \pmod{33} = 29
+\end{equation*}
+
+Таким образом, Боб посылает Алисе криптограмму $c = 29$.
+
+Теперь $m = c^d \pmod{n} = 29^3 \pmod{33} = 2$.
+
+Стойкость шифра RSA основана на задаче разложения на множители для больших
+составных чисел, которая в настоящее время вычислительно (эффективно) не
+разрешима.
+
+
+\subsection{Криптосистема Эль-Гамаля}
+
+Криптосистема Эль-Гамаля была предложена в 1985 году. Криптографическая
+стойкость данной системы основа на сложности проблемы дискретных логарифмов.
+
+\begin{enumerate}
+  \item
+    \textbf{Формирование системы.}
+
+    \begin{enumerate}
+      \item
+        Все участники разделяют в качестве системных параметров простое число
+        $p$ и образующий элемент $\alpha$ и мультипликативной группы $\Z^*_p$;
+      \item
+        Каждый участник $P$ случайным образом выбирает целое число $x_p$, $1
+        \leq x_p \leq p - 2$, которое держит в секрете;
+      \item
+        Каждый участник P вычисляет $y_p = \alpha^{x_p} \pmod{p}$ и
+        объявляет $y_p$ публичным ключом.
+    \end{enumerate}
+
+  \item
+    \textbf{Шифрование сообщения для Боба.}
+
+    Предположим, Алиса хочет послать секретное сообщение Бобу. Сообщение
+    представлено целым числом $0 \leq m \leq p - 1$.
+    \begin{enumerate}
+      \item Алиса выбирает случайное секретное число $0 \leq r \leq p - 1$;
+      \item Алиса вычисляет $R = \alpha^r \pmod{p}$;
+      \item Алиса вычисляет $S = m \cdot y_B^r \pmod{p}$;
+      \item Алиса посылает Бобу пару $(R, S)$.
+    \end{enumerate}
+
+  \item
+    \textbf{Расшифрование сообщения Бобом.}
+    
+    \begin{enumerate}
+      \item
+        Боб получает пару $(R, S)$ и, используя своё секретное $x_B$,
+        восстанавливает сообщение $m$ путём следующего вычисления:
+        \begin{equation*}
+          \frac{s}{R^{x_B}} = m
+        \end{equation*}
+    \end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
-- 
cgit v1.2.3

