From cda2ab427e58bf65c51f644b10921a6ce649fe13 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Tue, 25 Oct 2022 14:15:56 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9E=D1=82=D1=80=D0=B5=D0=B4=D0=B0=D0=BA=D1=82=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=BE=D0=B2=D0=B0=D0=BD=D0=B0=20=D1=82=D1=80=D0=B5=D1=82?=
 =?UTF-8?q?=D1=8C=D1=8F=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=20=D0=BF?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture3.tex | 165 ++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 82 insertions(+), 83 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture3.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture3.tex b/cryptography/lectures/lecture3.tex
index 930b360..9ace74a 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture3.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture3.tex
@@ -1,102 +1,104 @@
 % Лекция 3 (19.09.22)
 \subsection{Алгебраические структуры}
 
-Множество R с двумя бинарными ассоциативными операциями сложения "+" и умножения
-"$\cdot$" называется \textbf{кольцом}, если выполнены следующие условия:
+Множество $R$ с двумя бинарными ассоциативными операциями сложения <<$+$>> и умножения
+<<$\cdot$>> называется \textbf{кольцом}, если выполнены следующие условия:
 \begin{enumerate}
   \item
-    множество R с бинарной операцией сложения является абелевой группой
+    Множество $R$ с бинарной операцией сложения является абелевой группой
     (нейтральный элемент кольца называют \emph{нулём} кольца и обозначают через
-    0)
+    0);
   \item
-    операция "*" удовлетворяет условию дистрибутивности относительно операции
-    "+" то есть \((a + b) * c = a * c + b * c\) и \(a * (b + c) = a * b + a *
-    c\)
+    Операция <<$\cdot$>> удовлетворяет условию дистрибутивности относительно
+    операции <<$+$>> то есть $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ и $a
+    \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
 \end{enumerate}
 
 Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным. Пример
---- множество \(Z_n\), образующее полную систему вычетов целых чисел по модулю
-\(n\) с операциями сложения и умножения по модулю \(n\), причём это кольцо
-является коммутативным.
-
-Кольцо вычетов \(Z_4\):
-
-\_+4\_| 0 1 2 3
-----+--------
-0   | 0 1 2 3
-1   | 1 2 3 0
-2   | 2 3 0 1
-3   | 3 0 1 2
-
-\_*4\_| 0 1 2 3
-----+--------
-0   | 0 1 2 3
-1   | 1 2 3 0
-2   | 2 3 0 1
-3   | 3 0 1 2
-
-x  | 0 1 2 3
----+--------
--x | 0 3 2 1
-
-
-Если в кольце существует элемент 1 такой, что \(g \cdot 1 = 1 \cdot g =
-g\) (нейтральный элемент относительно умножения), такое кольцо называется
+--- множество $Z_n$, образующее полную систему вычетов целых чисел по модулю
+$n$ с операциями сложения и умножения по модулю $n$, причём это кольцо является
+коммутативным.
+
+Кольцо вычетов $Z_4$:
+\begin{table}[H]
+  \centering
+  \begin{tabular}{c|cccc}
+    $+ \pmod{4}$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
+    0            & 0 & 1 & 2 & 3 \\
+    1            & 1 & 2 & 3 & 0 \\
+    2            & 2 & 3 & 0 & 1 \\
+    3            & 3 & 0 & 1 & 2
+  \end{tabular}
+\end{table}
+
+\begin{table}[H]
+  \centering
+  \begin{tabular}{c|cccc}
+    $\cdot \pmod{4}$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
+    0                & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+    1                & 0 & 1 & 2 & 3 \\
+    2                & 0 & 2 & 0 & 2 \\
+    3                & 0 & 3 & 2 & 1
+  \end{tabular}
+\end{table}
+
+\begin{table}[H]
+  \centering
+  \begin{tabular}{c|cccc}
+    $x$  & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
+    $-x$ & 0 & 3 & 2 & 1 \\
+  \end{tabular}
+\end{table}
+
+Если в кольце существует элемент 1 такой, что $g \cdot 1 = 1 \cdot g =
+g$ (нейтральный элемент относительно умножения), такое кольцо называется
 \emph{кольцом с единицей}.
 
 \emph{Полем} называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в
-котором любой ненулевой элемент обратим.
-
-Кольцо вычетов целых чисел по модулю \(Z_n\) является полем в том и только том
-случае, когда \(n\) --- простое число.
-
+котором любой ненулевой элемент обратим. Кольцо вычетов целых чисел по модулю
+$Z_n$ является полем в том и только том случае, когда $n$ --- простое число.
 Поля вычетов являются конечными полями. Конечные поля называются \emph{полями
 Галуа}.
 
-
 \subsection{Открытые сообщения}
-\label{sec:orga0e3510}
 
 \subsubsection{Характеристики}
-\label{sec:org72d8f1b}
 
 \begin{itemize}
   \item
-    Открытый и шифрованные тексты представляют собой последовательности символов,
-    взятых из конечного набора, называемого \emph{алфавитом}.
+    Открытый и шифрованные тексты представляют собой последовательности
+    символов, взятых из конечного набора, называемого \emph{алфавитом}.
   \item Элемент алфавита называется \emph{буквой}.
   \item Число символов алфавита называется \emph{мощностью} алфавита.
 \end{itemize}
 
 Примеры --- Алфавиты:
 \begin{enumerate}
-  \item \(A_1\) --- алфавит прописных букв, \(|A_1| = 33\) : А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я
+  \item $A_1$ --- алфавит прописных букв, $|A_1| = 33$ : А, Б, В, \dots, Э, Ю, Я
   \item
-    \(A_2\) --- прописные и строчные буквы, целые числа, пробел и знаки
-    препинания (мощность алфавита примерно равна 84): А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я,
-    а, б, в,
-  \dots{}, э, ю, я, \dots{}, 0, 1, \dots{}, 9, пробел, запятая, точк, :, ;, ", ?, !.
-  \item \(A_3\) --- элементы множества \(\{0, 1\}\).
+    $A_2$ --- прописные и строчные буквы, целые числа, пробел и знаки препинания
+    (мощность алфавита примерно равна 84): А, Б, В, \dots, Э, Ю, Я, а, б, в,
+    \dots, э, ю, я, \dots, 0, 1, \dots, 9, пробел, запятая, точк, :, ;, ", ?, !.
+  \item $A_3$ --- элементы множества $\{0, 1\}$.
 \end{enumerate}
 
-В основном используются производные от \(A_3\) алфавиты, совпадающие с
-множеством \(V_n\) двоичных n-мерных векторов.
-
-Мощность алфавитов равна \(2^n\), и, как правило, \(5 \leq n \leq 8\).
+В основном используются производные от $A_3$ алфавиты, совпадающие с множеством
+$V_n$ двоичных $n$-мерных векторов. Мощность алфавитов равна $2^n$, и, как
+правило, $5 \leq n \leq 8$.
 
-Часто в процессе шифрования наз символами алфавита производятся вычислительные
+Часто в процессе шифрования над символами алфавита производятся вычислительные
 действия, поэтому удобно их представлять в виде чисел или двоичных наборов.
 
-Рассмотрим в качестве алфавита \(Z_m = \{ 0, 1, \dots, m - 1 \}\)
+Рассмотрим в качестве алфавита $Z_m = \{ 0, 1, \dots, m - 1 \}$.
 
 Всякий текст, записанный в некотором алфавите имеет \emph{длину}, равную числу
 букв в соответствующей записи.
 
-Последовательность \(k\) соседних букв текста, \(k \geq 2\), называется \$k\$-граммой (при
-\(k = 2\) --- биграммой и т.д.).
+Последовательность $k$ соседних букв текста, $k \geq 2$, называется $k$-граммой
+(при $k = 2$ --- биграммой и т.д.).
 
-Помимо алфавита \(Z_m\) могут рассматриваться производные от него алфавиты \(Z_m(t)\)
-представляющие собой набор всевозможных $t$-грамм исходного алфавита.
+Помимо алфавита $Z_m$ могут рассматриваться производные от него алфавиты
+$Z_m(t)$ представляющие собой набор всевозможных $t$-грамм исходного алфавита.
 
 \subsubsection{Детерминированные модели открытых текстов}
 
@@ -105,7 +107,7 @@ g\) (нейтральный элемент относительно умноже
 характеристиках сообщений.
 
 Всякий язык и всякий источник открытых сообщений можно характеризовать
-разбиением множества всех $k$-грамм, \(k = 2, 3, \dots\), на \emph{допустимые}
+разбиением множества всех $k$-грамм, $k = 2, 3, \dots$, на \emph{допустимые}
 (встречающиеся в каких-либо текстах) и \emph{запрещённые} (не встречающиеся
 ни в каких текстах), что определяет \emph{детерминированную модель} источника
 открытых сообщений.
@@ -118,11 +120,11 @@ g\) (нейтральный элемент относительно умноже
 В вероятностных моделях источник открытых сообщений рассматривается как источник
 случайных последовательностей.
 
-Пусть источник генерирует в алфавите \(Z_m\) текст конечной или бесконечной
-длины, в результате чего получается последовательность случайных переменных
-\(x_1, x_2, \dots, x_{n - 1}, \dots\), принимающих значения в \(Z_m\).
+Пусть источник генерирует в алфавите $Z_m$ текст конечной или бесконечной длины,
+в результате чего получается последовательность случайных переменных $x_1, x_2,
+\dots, x_{n - 1}, \dots$, принимающих значения в $Z_m$.
 
-\emph{Вероятность случайного сообщения} \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\)
+\emph{Вероятность случайного сообщения} $(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})$
 определяется как вероятность такой последовательности событий: $$P(a_0, a_1,
 \dots, a_{n - 1}) = P(x_0 = a_0, x_1 = a_1, \dots, x_{n - 1} = a_{n - 1})$$
 
@@ -130,17 +132,14 @@ g\) (нейтральный элемент относительно умноже
 выполнены условия:
 \begin{enumerate}
   \item
-    \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) \geq 0\) для любого случайного сообщения
-    \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\).
+    $P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) \geq 0$ для любого случайного сообщения
+    $(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})$.
+  \item $\sum_{(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})} P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = 1$
   \item
-    \(\displaystyle\sum_{(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})} P(a_0, a_1, \dots, a_{n -
-    1}) = 1\)
-  \item
-    для любого случайного сообщения \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\), и любого
-    \(s > n\) \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \sum_(a_n, \dots, a_{s - 1})
-    P(a_0, a_1, \dots, a_{s - 1})\), то есть вероятность всякого случайного
-    сообщения \(n\) есть сумма вероятностей всех продолжения этого сообщения до
-    длины \(s\).
+    $\forall$ случайного сообщения $(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})$, и $\forall s
+    > n: P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \sum_{(a_n, \dots, a_{s - 1})} P(a_0,
+    a_1, \dots, a_{s - 1})$, то есть вероятность всякого случайного сообщения
+    $n$ есть сумма вероятностей всех продолжений этого сообщения до длины $s$.
 \end{enumerate}
 
 Текст, порождаемый таким источником, является вероятностным аналогом языка. Он
@@ -152,17 +151,17 @@ g\) (нейтральный элемент относительно умноже
 (\emph{позначная модель открытых текстов}) предполагается, что вероятности
 сообщений полностью определяются вероятностями использования отдельных букв
 алфавита в случайном тексте
-
-$$P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} P(x_i = a_i)$$
-
-где для всех \(i \in {0, 1, \dots, n - 1}\) и любого \(a \in Z_m P(x_i = a) >
-0\); \(\sum_{a \in Z_m} P(x_i = a) = 1\).
+\begin{equation*}
+  P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} P(x_i = a_i)
+\end{equation*}
+где $\forall i \in {0, 1, \dots, n - 1}$ и $\forall a \in Z_m P(x_i = a) >
+0$ выполняется $\sum_{a \in Z_m} P(x_i = a) = 1$.
 
 Открытый текст такого источника является реализацией последовательности
 независимых испытаний в полиномиальной вероятностной схеме с числом исходов,
-равным \(m\).
+равным $m$.
 
-Множество исходов взаимнооднозначно соответствует множеству всех символов
+Множество исходов взаимно однозначно соответствует множеству всех символов
 алфавита.
 
 Частота букв в разных языках:
@@ -187,7 +186,7 @@ $$P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} P(x_i = a_i)$$
 Информация, которую реально несёт каждая буква сообщения меньше, чем её
 максимальная информация при случайном и равновероятном появлении.
 
-В связи с ним возник термин "избыточность языка".
+В связи с ним возник термин <<избыточность языка>>.
 
 Поэтому часть букв открытого текста можно опустить без потери содержания
 потерянная информация будет восстановлена другими буквам сообщения вследствие
-- 
cgit v1.2.3

