From e7c9963bd7a3e069a3590d28e64f64759d1bd195 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Tue, 25 Oct 2022 14:39:28 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9E=D1=82=D1=80=D0=B5=D0=B4=D0=B0=D0=BA=D1=82=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=BE=D0=B2=D0=B0=D0=BD=D0=B0=20=D1=87=D0=B5=D1=82=D0=B2?=
 =?UTF-8?q?=D1=91=D1=80=D1=82=D0=B0=D1=8F=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D1=8F=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture4.tex | 145 ++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 77 insertions(+), 68 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture4.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture4.tex b/cryptography/lectures/lecture4.tex
index 16eb0d2..b2089d9 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture4.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture4.tex
@@ -2,26 +2,26 @@
 \subsection{Критерий распознавания открытого текста}
 
 (а) Открытый текст представляет собой реализацию независимых испытаний случайной
-величины, значениями которой являются буквы алфавита \(A = {a_1, a_2, \dots,
-a_n}\), появляющиеся в соответствии с распределением вероятностей \(P(A) =
-(p(a_1), p(a_2), \dots, p(a_n))\).
+величины, значениями которой являются буквы алфавита $A = \{a_1, a_2, \dots,
+a_n\}$, появляющиеся в соответствии с распределением вероятностей $P(A) =
+(p(a_1), p(a_2), \dots, p(a_n))$.
 
-Требуется определить, является ли случайная последовательность \(c_1 c_2 \dots
-c_l\) букв алфавита \(A\) открытым текстом или нет.
+Требуется определить, является ли случайная последовательность $c_1 c_2 \dots
+c_l$ букв алфавита $A$ открытым текстом или нет.
 
-Пусть \(H_0\) --- гипотеза, состоящая в том, что данная последовательность ---
-открытый текст, \(H_1\) --- альтернативная гипотеза.
+Пусть $H_0$ --- гипотеза, состоящая в том, что данная последовательность ---
+открытый текст, $H_1$ --- альтернативная гипотеза.
 
-В простейшем случае при гипотезе \(H_1\) последовательность \(c_1 c_2
-\dots c_l\) можно рассматривать как случайную и равносильную, то есть при
-расшифровании криптограммы с помощью ложного ключа получается "бессмысленная"
+В простейшем случае при гипотезе $H_1$ последовательность $c_1 c_2 \dots
+c_l$ можно рассматривать как случайную и равносильную, то есть при
+расшифровании криптограммы с помощью ложного ключа получается <<бессмысленная>>
 последовательность знаков.
 
-В более общем случае можно считать, что при гипотезе \(H_1\) последовательность
-\(c_1 c_2 \dots c_l\) представляет собой реализацию независимых испытаний
+В более общем случае можно считать, что при гипотезе $H_1$ последовательность
+$c_1 c_2 \dots c_l$ представляет собой реализацию независимых испытаний
 некоторой случайной величины, значениями которой являются буквы алфавита
-\(A = \{ a_1, \dots, a_n \}\), появляющиеся в соответствии с распределением
-вероятностей \(Q(A) = (q(a_1), \dots, q(a_n))\).
+$A = \{ a_1, \dots, a_n \}$, появляющиеся в соответствии с распределением
+вероятностей $Q(A) = (q(a_1), \dots, q(a_n))$.
 
 При таких договорённостях можно применить, например, \emph{наиболее мощный
 критерий} различения двух простых гипотез, который даёт \emph{лемма
@@ -31,63 +31,62 @@ c_l\) букв алфавита \(A\) открытым текстом или н
 двух родов:
 \begin{enumerate}
   \item
-    критерий может принять открытый текст за случайный набор знаков. Такая
-    ошибка называется \emph{ошибкой первого рода}, её вероятность равна \(\alpha
-    = p(H_1/H_0)\).
+    Критерий может принять открытый текст за случайный набор знаков. Такая
+    ошибка называется \emph{ошибкой первого рода}, её вероятность равна $\alpha
+    = p(H_1/H_0)$;
   \item
     Критерий может принять случайный набор знаков за открытый текст. Такая
-    ошибка называется \emph{ошибкой второго рода} и её вероятность \(\beta =
-    p(H_0/H_1)\).
+    ошибка называется \emph{ошибкой второго рода} и её вероятность $\beta =
+    p(H_0/H_1)$.
 \end{enumerate}
 
 Эти ошибки определяют качество работы критерия. В криптографических
 исследованиях естественно минимизировать вероятность ошибки первого рода, чтобы
-не "пропустить" открытый текст.
+не <<пропустить>> открытый текст.
 
 Лемма Неймана-Пирсона при заданной вероятности первого рода минимизирует также
 вероятность ошибки второго рода.
 
 (б) Критерии на открытый текст, использующие запретные сочетания знаков,
-например, k-граммы подряд идущих букв, называются \emph{критериями запретных
-k-грамм}.
+например, $k$-граммы подряд идущих букв, называются \emph{критериями запретных
+$k$-грамм}.
 
-Отбирается некоторое число \(s\) редких k-грамм, которые объявляются запретными.
+Отбирается некоторое число $s$ редких $k$-грамм, которые объявляются запретными.
 
-Теперь, просматривая последовательно k-грамму за k-граммой анализируемой
-последовательности \(c_1 c_2 \dots c_l\), она объявляется случайной, как только
+Теперь, просматривая последовательно $k$-грамму за $k$-граммой анализируемой
+последовательности $c_1 c_2 \dots c_l$, она объявляется случайной, как только
 в ней встретится одна из запретных k-грамм, и открытым текстом в противном
 случае.
 
 Такие критерии также могут совершить ошибки в принятии решения. В простейших
 случаях их можно рассчитать. Несмотря на свою простоту, критерии запретных
-k-грамм являются весьма эффективными.
+$k$-грамм являются весьма эффективными.
 
 \subsection{(1.4) Математические модели шифров}
 
 \subsubsection{(1) Алгебраическая модель шифра}
 
-Введём алгебраическую модель шифра (шифрсистемы), предложенную К. Шенноном.
+Введём алгебраическую модель шифра (шифрсистемы), предложенную К.~Шенноном.
 
-Пусть \(X, K, Y\) --- конечные множества возможных открытых текстов, ключей и
-криптограмм соответственно; \(E_k : X \to Y\) --- правило зашифрования на ключе
-\(k \in K\).
+Пусть $X, K, Y$ --- конечные множества возможных открытых текстов, ключей и
+криптограмм соответственно; $E_k : X \to Y$ --- правило зашифрования на ключе
+$k \in K$.
 
-Множество \(\{ E_k : k \in K \}\) обозначим через \(E\), а множество \(\{ E_k(x)
-: x \in X \}\) --- через \(E_k(X)\).
+Множество $\{ E_k : k \in K \}$ обозначим через $E$, а множество $\{ E_k(x) : x
+\in X \}$ --- через $E_k(X)$.
 
-Пусть \(D_k : E_k(X) \to X\) --- правило расшифрования на ключе \(k \in K\), и
-\(D\) --- множество \(\{ D_k : k \in K \}\).
+Пусть $D_k : E_k(X) \to X$ --- правило расшифрования на ключе $k \in K$, и $D$
+--- множество $\{ D_k : k \in K \}$.
 
-Если ключ \(k \in K\) представляется в виде \(k = (k_o, k_p)\), где \(k_o\)
---- ключ зашифрования, а \(k_p\) --- ключ расшифрования (причём \(k_o \neq
-k_p\)), то \(E_k\) понимается как функция \(E_{k_p}\), а \(D_k\) --- как функция
-\(D_{k_p}\).
+Если ключ $k \in K$ представляется в виде $k = (k_o, k_p)$, где $k_o$ --- ключ
+зашифрования, а $k_p$ --- ключ расшифрования (причём $k_o \neq k_p$), то $E_k$
+понимается как функция $E_{k_p}$, а $D_k$ --- как функция $D_{k_p}$.
 
 \emph{Шифром (шифрсистемой)} называется совокупность $$\sum_A = (X, K, Y, E,
 D)$$ введённых множеств, для которых выполняются следующие свойства:
 \begin{enumerate}
-  \item Для любых \(x \in X\) и \(k \in K\) выполняется равенство \(D_k(E_k(x)) = x\);
-  \item \(Y = \cup_{k \in K} E_k(X)\).
+  \item Для любых $x \in X$ и $k \in K$ выполняется равенство $D_k(E_k(x)) = x$;
+  \item $Y = \cup_{k \in K} E_k(X)$.
 \end{enumerate}
 
 Неформально, шифр --- это совокупность множеств возможных открытых текстов (то,
@@ -95,51 +94,50 @@ D)$$ введённых множеств, для которых выполняю
 шифртекстов (то, во что шифруется), правил зашифрования и правил расшифрования.
 
 Условие (1) отвечает требованию однозначности расшифрования. Из условия (1)
-следует свойство инъективности функции \(E_k\): если \(x_1, x_2 \in X\), причём
-\(x_1 \neq x_2\), то при любых \(k \in K\) выполняется неравенство \(E_k(x_1)
-\neq E_k(x_2)\).
+следует свойство инъективности функции $E_k$: если $x_1, x_2 \in X$, причём
+$x_1 \neq x_2$, то при любых $k \in K$ выполняется неравенство $E_k(x_1) \neq
+E_k(x_2)$.
 
-Условие (2) означает, что любой элемент \(y \in Y\) может быть представлен в
-виде \(E_k(x)\) для подходящих элементов \(x \in X\) и \(k \in K\).
+Условие (2) означает, что любой элемент $y \in Y$ может быть представлен в виде
+$E_k(x)$ для подходящих элементов $x \in X$ и $k \in K$.
 
-В общем случае утверждение "для любых \(k \in K\) и \(y \in E_k(X)\) выполняется
-равенство \(E_k(D_k(y)) = y\)" является неверным.
+В общем случае утверждение <<для любых $k \in K$ и $y \in E_k(X)$ выполняется
+равенство $E_k(D_k(y)) = y$>> является неверным.
 
-Реальный шифр отождествляется с его математической моделью \(\sum_A\), которая
+Реальный шифр отождествляется с его математической моделью $\sum_A$, которая
 называется \emph{алгебраической моделью шифра}.
 
 \subsubsection{(2) Вероятностная модель шифра}
 
-Следуя К. Шеннону, введём априорные распределения вероятностей \(P(X)\) и
-\(P(K)\) на множестве \(X\) и \(K\) соответственно.
+Следуя К.~Шеннону, введём априорные распределения вероятностей $P(X)$ и $P(K)$
+на множестве $X$ и $K$ соответственно.
 
-Для любого \(x \in X\) определена вероятность \(p_X(x) \in P(X)\) и для любого
-\(k \in K\) --- вероятность \(p_K(k) \in P(K)\), причём выполняются равенства
-$$\sum_{x \in X} p_X(x) = 1 \text{ и } \sum_{k \in K} p_K(k) = 1$$
+Для любого $x \in X$ определена вероятность $p_X(x) \in P(X)$ и для любого $k
+\in K$ --- вероятность $p_K(k) \in P(K)$, причём выполняются равенства $$\sum_{x
+\in X} p_X(x) = 1 \, \land \, \sum_{k \in K} p_K(k) = 1$$
 
-В тех случаях, когда требуется знание распределений \(P(X)\) и \(P(K)\),
-используется вероятностная модель \(\Sigma_B\), состоящая из пяти множеств,
+В тех случаях, когда требуется знание распределений $P(X)$ и $P(K)$,
+используется вероятностная модель $\Sigma_B$, состоящая из пяти множеств,
 связанных условиями (1) и (2) определения шифра и двух вероятностных
-распределений:
-
-$$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$
+распределений: $$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$
 
 Вероятностные характеристики шифров используются только в криптоанализе.
 
-В большинстве случаев множества \(X\) и \(Y\) представляют собой объединения
-декартовых степеней некоторых множеств \(A\) и \(B\) соответственно, так что для
-некоторых натуральных \(L\) и \(L_1\): $$X = \cup_{L = 1}^L A^l \text{ и } Y =
+В большинстве случаев множества $X$ и $Y$ представляют собой объединения
+декартовых степеней некоторых множеств $A$ и $B$ соответственно, так что для
+некоторых натуральных $L$ и $L_1$: $$X = \cup_{L = 1}^L A^l \, \land \, Y =
 \cup_{L = 1}^{L_1} B^l$$
 
-Множества \(A\) и \(B\) называются соответственно \emph{алфавитом открытого
-текста} и \emph{алфавитом шифрованного текста}.
+Множества $A$ и $B$ называются соответственно \emph{алфавитом открытого текста}
+и \emph{алфавитом шифрованного текста}.
 
 \subsubsection{(3) Основные требования к шифрам}
 
-Для современны криптографических систем защиты информации сформулированы
+Для современных криптографических систем защиты информации сформулированы
 следующие общепринятые требования:
 \begin{enumerate}
-  \item зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа;
+  \item
+    зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа;
   \item
     число операция, необходимых для определения использованного ключа шифрования
     по фрагменту шифрованного сообщения и соответствующего ему открытого текста,
@@ -155,7 +153,18 @@ $$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$
     изменению вида зашифрованного сообщения даже при использовании одного и того
     же ключа;
   \item структурные элементы алгоритма шифрования должны быть неизменными;
-  \item дополнительные биты \dots{}
+  \item
+    дополнительные биты, вводимые в сообщение в процессе шифрования, должны
+    быть полностью и надёжно скрыты в шифрованном тексте;
+  \item длина шифрованного текста должна быть равной длине исходного текста;
+  \item
+    не должно быть простых и легко устанавливаемых зависимостью между ключами,
+    последовательно используемыми в процессе шифрования;
+  \item
+    любой ключ из множества возможных должен обеспечивать надёжную защиту
+    информации;
+  \item
+    алгоритм должен допускать как программную, так и аппаратную реализацию,
+    при этом изменение длины ключа не должно вести к качественному ухудшению
+    алгоритма шифрования.
 \end{enumerate}
-
-\emph{\emph{ДОПИСАТЬ!!!}}
-- 
cgit v1.2.3

