From 6346c39c3b4349f3381172d7300bb985212b8f98 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Tue, 25 Oct 2022 13:50:08 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=BA=D1=83=D0=BC=D0=B5=D0=BD=D1=82=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=BF=D0=BE=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=BE=D0=B3=D1=80?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=84=D0=B8=D0=B8=20=D1=80=D0=B0=D0=B7=D0=B4=D0=B5=D0=BB?=
 =?UTF-8?q?=D1=91=D0=BD=20=D0=BD=D0=B0=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture6.tex | 165 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 165 insertions(+)
 create mode 100644 cryptography/lectures/lecture6.tex

(limited to 'cryptography/lectures/lecture6.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture6.tex b/cryptography/lectures/lecture6.tex
new file mode 100644
index 0000000..54d51b8
--- /dev/null
+++ b/cryptography/lectures/lecture6.tex
@@ -0,0 +1,165 @@
+% Лекция 6 (10.10.22)
+
+палец -> ЕПЦЛА
+волна -> НВАЛО
+Ключ: 41532
+
+Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут один
+за другой в открытом тексте, то буквы, стоящие на тех же местах в каждом из
+остальных сообщений, соединяются подобным же образом.
+
+Значит, они могут служить проверкой правильности первого предположения.
+
+К каждому из указанных двубуквенных сочетаний можно добавить третью букву
+для образования триграммы и так далее.
+
+Если располагать не менее чем 4 сообщениями одинаковой длины, то можно с
+уверенностью гарантировать их вскрытие подобным образом.
+
+Если ключ зашифрования совпадает с ключом расшифрования, то такие шифры называют
+\emph{симметричными}, иначе --- \emph{асимметричными}.
+
+\subsection{(1.6) Шифры простой замены}
+
+\subsubsection{(1) \emph{Шифр замены}}
+
+\emph{Шифр замены} --- шифр, при котором фрагменты открытого текста (отдельные
+буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в криптограмме.
+
+Определим модель \(\Sigma_A = (X, K, Y, E, D)\) произвольного шифра замены.
+
+Будем считать, что открытые и шифрованные тексты являются словами в алфавитах A
+и B соответственно. \(X \subset A^*, \, Y \subset B^*, \, |A| = n, \, |B| = m\).
+
+Перед зашифрованием открытый текст предварительно представляется в виде
+последовательностей подслов, называемых \emph{шифровеличинами} (слова из
+\(A^*\)).
+
+При зашифровании шифрвеличины заменяются некоторыми их эквивалентами в
+шифртексте, которые называются \emph{шифробозначениями} (слова из \(B^*\)).
+
+Пусть
+\(U = (u_1, \dots, u_N)\) --- множество возможных шифрвеличин.
+\(V = (v_1, \dots, v_N)\) --- множество возможных шифробозначений.
+При этом \(N \geq n, \, M \geq m, \, M \geq N\).
+
+Для определения правила зашифрования \(E_k(x)\) в общем случае понадобится ряд
+обозначений и понятие \emph{распределителя}, который, по сути, и будет выбирать
+в каждом такте шифрования замену соответствующей шифровеличине.
+
+Поскольку \(M \geq N\), множество \(V\) можно представить в виде объединения \(V
+= \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}\) непересекающихся непустых подмножеств \(V^{(i)}\).
+
+Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из \(r\) таких разбиений множества
+\(V\): $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
+r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \{
+V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых \(\varphi_\alpha (u_i) =
+V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}\).
+
+Рассмотрим также произвольное отображение \(\psi : K \times \mathbb{N} \to
+\mathbb{N}^*_r\), где \(\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}\), такое, что для
+любых \(k \in K, \, l \in \mathbb{N}\) $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l,
+\, a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$
+
+Последовательность \(\psi(k, l)\) называется \emph{распределителем}, отвечающим
+данным значениям \(k \in K,\, l \in \mathbb{N}\).
+
+Теперь можно определить правило зашифрования произвольного шифра замены. Пусть
+$$x \in X, x = x_1 \dots x_l, x_i \in U, i = \overline{1, l}, k \in K, \quad
+\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l$$
+
+Тогда \(E_k(x) = y\), где \(y = y_1 \dots y_l, y_j \in
+\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j), j = \overline{1, l} \quad (1) !!!\).
+
+В качестве \(y_j\) можно выбрать любой элемент множества
+\(\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)\).
+
+Всякий раз при шифровании этот выбор можно производить случайно, например, с
+помощью некоторого \emph{рандомизатора} типа игровой рулетки.
+
+Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования \(E_k(x)\)
+является однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
+$$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных шифров замены,
+например, шифров пропорциональной замены: $$\exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha|
+> 1$$
+
+Далее будем заниматься в основном изучением однозначных замен, получивших
+наибольшее практическое применение.
+
+Итак, далее \(M = N\) и \(\varphi_\alpha(u_i) = v^{(i)}_\alpha, i = \overline{1,
+M}\).
+
+Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования можно
+уточнить в формуле (1) включение следует заменить равенством $$y_j =
+\varphi_{\alpha_j^{(k)}} (x_j), j = \overline{1, l} \quad (1')$$
+
+Если для некоторого числа \(q \in N\) выполняются включения \(v_i \in B^q, i
+= \overline{1, N}\), то соответствующий шифр замены называется \emph{шифром
+равнозначной замены}, в противном случае --- \emph{шифром разнозначной замены}.
+
+В подавляющем большинстве случаев используются шифры замены, для которых \(U \in
+A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
+
+При \(p = 1\) говорят о \emph{поточных шифрах замены}, при \(p > 1\) --- о
+\emph{блочных шифрах замены}.
+
+В случае \(r = 1\) шифр замены называют \emph{одноалфавитным шифром замены}
+или \emph{шифром простой замены}. В противном случае --- \emph{многоалфавитным
+шифром замены}.
+
+\subsubsection{(2) Одноалфавитные однозначные замены называются \emph{шифрами простой замены}.}
+
+Введём шифр простой замены в алфавите \(A\).
+
+Пусть \(X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)\), где \(S(A)\) ---
+симметрическая группа подстановок множества \(A\).
+
+Для любого ключа \(k \in K\), открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_l)\)
+и шифрованного текста \(y = (y_1, \dots, y_i)\) правила зашифрования и
+расшифрования шифра простой замены в алфавите \(A\) определяются формулами:
+\begin{align*}
+  E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_1)), \\
+  D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_1)),
+\end{align*}
+где \(k^{-1}\) --- подстановка, обратная к \(k\).
+
+Например, в рассказе Артура Конана Дойля "Пляшущие человечки", бандит Аб Слени
+использовал шифр, где заменялись схематическими человеческими фигурками в разных
+позах, при этом каждая поза этих человечков является отдельной буквой.
+
+\subsubsection{(3) Лозунговый шифр}
+
+При этом методе осуществляется посимвольная замена букв открытого текста на
+буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов.
+
+В первой строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых
+текстов.
+
+Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль).
+
+Затем на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
+записывается полный алфавит с пропуском тех букв, которые встречаются в пароле.
+
+Закончив движение по строке, возвращаемся в её начало, процесс продолжается.
+
+\emph{ПРИМЕР!!!}
+
+\subsubsection{(4) Шифр простой неравнозначной замены}
+
+Пример --- шифр Марк.
+
+\emph{ПРИМЕР!!!}
+
+Буквы, стоящие во второй строке таблицы при шифровании заменяются стоящими над
+ними, остальные буквы --- двузначными числами "строка-столбец".
+
+\subsubsection{(5) Анализ шифров простой замены}
+
+(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены.
+
+(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены основан на том, что с
+точностью до переобозначений частотные характеристики $m$-грамм криптограммы и
+открытого текста одинаковы.
+
+При этом используются частотные характеристики предполагаемого открытого текста,
+полученные с учётом "характера переписки".
-- 
cgit v1.2.3

