From d32512643f5bd0629f2f2c928520377a94ede36e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sat, 3 Dec 2022 19:57:21 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=92=D0=BD=D0=B5=D1=81=D0=B5=D0=BD=D1=8B=20=D0=BF?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B0=D0=B2=D0=BA=D0=B8=20=D0=BE=D1=82=20=D0=A1=D0=B5?=
 =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=B8?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture6.tex | 45 +++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 25 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture6.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture6.tex b/cryptography/lectures/lecture6.tex
index 756db81..6154cc4 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture6.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture6.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
   \end{tabular}
 \end{table}
 
-Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут один
+Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут одна
 за другой в открытом тексте, то буквы, стоящие на тех же местах в каждом из
 остальных сообщений, соединяются подобным же образом. Значит, они могут служить
 проверкой правильности первого предположения.
@@ -50,21 +50,21 @@ $V = (v_1, \dots, v_M)$ --- множество возможных шифробо
 в каждом такте шифрования замену соответствующей шифровеличине.
 
 Поскольку $M \geq N$, множество $V$ можно представить в виде объединения $V =
-\cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}$ непересекающихся непустых подмножеств $V^{(i)}$.
+\bigcup_{i = 1}^{N} V^{(i)}$ непересекающихся непустых подмножеств $V^{(i)}$.
 
 Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из $r$ таких разбиений множества
-$V$: $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
-r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \{
-V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых $\varphi_\alpha (u_i) =
+$V$: $$V = \bigcup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
+r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \set{
+V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha},$$ для которых $\varphi_\alpha (u_i) =
 V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}$.
 
-Рассмотрим также произвольное отображение $\psi : K \times \mathbb{N} \to
-\mathbb{N}^*_r$, где $\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}$, такое, что для любых
-$k \in K, \, l \in \mathbb{N}$ $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l, \,
-a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$
+Рассмотрим также произвольное отображение $\psi : K \times \N \to \N^*_r$,
+где $\N^*_r = \set{1, 2, \dots, r}$, такое, что для любых $k \in K, \, l \in
+\N$ $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l, \, a^{(k)}_j \in \N^*_r, \, j =
+\overline{1, l}$$
 
 Последовательность $\psi(k, l)$ называется \emph{распределителем}, отвечающим
-данным значениям $k \in K,\, l \in \mathbb{N}$.
+данным значениям $k \in K,\, l \in \N$.
 
 Теперь можно определить правило зашифрования произвольного шифра замены. Пусть
 $$x \in X, x = x_1 \dots x_l, x_i \in U, i = \overline{1, l}, k \in K, \quad
@@ -82,9 +82,14 @@ $\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)$.
 
 Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования $E_k(x)$ является
 однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
-$$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных шифров замены,
-например, шифров пропорциональной замены: $$\exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha|
-> 1$$
+\begin{equation*}
+  \forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1
+\end{equation*}
+
+Для многозначных шифров замены, например, шифров пропорциональной замены:
+\begin{equation*}
+  \exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| > 1
+\end{equation*}
 
 Далее будем заниматься в основном изучением однозначных замен, получивших
 наибольшее практическое применение.
@@ -94,7 +99,7 @@ M}$.
 
 % Ручная нумерация формулы
 Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования можно
-уточнить в формуле (1) включение следует заменить равенством $$y_j =
+уточнить в формуле (1): включение следует заменить равенством $$y_j =
 \varphi_{\alpha_j^{(k)}} (x_j), j = \overline{1, l} \quad (1')$$
 
 Если для некоторого числа $q \in \N$ выполняются включения $v_i \in B^q, i
@@ -117,15 +122,15 @@ A^p$ для некоторого $p \in \mathbb{N}$.
 
 Введём шифр простой замены в алфавите $A$.
 
-Пусть $X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)$, где $S(A)$ ---
+Пусть $X = Y = \bigcup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)$, где $S(A)$ ---
 симметрическая группа подстановок множества $A$.
 
 Для любого ключа $k \in K$, открытого текста $x = (x_1, \dots, x_l)$ и
-шифрованного текста $y = (y_1, \dots, y_i)$ правила зашифрования и расшифрования
+шифрованного текста $y = (y_1, \dots, y_l)$ правила зашифрования и расшифрования
 шифра простой замены в алфавите $A$ определяются формулами:
 \begin{align*}
-  E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_1)), \\
-  D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_1)),
+  E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_l)), \\
+  D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_l)),
 \end{align*}
 где $k^{-1}$ --- подстановка, обратная к $k$.
 
@@ -139,7 +144,7 @@ A^p$ для некоторого $p \in \mathbb{N}$.
 буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов. В первой
 строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых текстов.
 Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль). Затем
-на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
+на оставшихся местах второй строки, начиная с места, следующего за паролем,
 записывается полный алфавит с пропуском тех букв, которые встречаются в пароле.
 Закончив движение по строке, возвращаемся в её начало, процесс продолжается.
 
@@ -177,7 +182,7 @@ A^p$ для некоторого $p \in \mathbb{N}$.
 \subsubsection{Анализ шифров простой замены}
 
 \paragraph{}
-Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены основан на том, что с
+Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены основаны на том, что с
 точностью до переобозначений частотные характеристики $m$-грамм криптограммы и
 открытого текста одинаковы.
 
-- 
cgit v1.2.3

