From f2fa3573d229dc3c4d56b042d0c6c8ecf556eb11 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Tue, 25 Oct 2022 15:11:46 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9E=D1=82=D1=80=D0=B5=D0=B4=D0=B0=D0=BA=D1=82=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=BE=D0=B2=D0=B0=D0=BD=D0=B0=20=D1=88=D0=B5=D1=81=D1=82?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=8F=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F=20=D0=BF?=
 =?UTF-8?q?=D0=BE=20=D0=BA=D1=80=D0=B8=D0=BF=D1=82=D0=B5?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture6.tex | 131 ++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 65 insertions(+), 66 deletions(-)

(limited to 'cryptography/lectures/lecture6.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture6.tex b/cryptography/lectures/lecture6.tex
index 54d51b8..4d706e1 100644
--- a/cryptography/lectures/lecture6.tex
+++ b/cryptography/lectures/lecture6.tex
@@ -1,84 +1,85 @@
 % Лекция 6 (10.10.22)
 
-палец -> ЕПЦЛА
-волна -> НВАЛО
-Ключ: 41532
+\begin{tabular}{l}
+  палец $\to$ ЕПЦЛА \\
+  волна $\to$ НВАЛО \\
+  Ключ: 41532 \\
+\end{tabular}
 
 Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут один
 за другой в открытом тексте, то буквы, стоящие на тех же местах в каждом из
-остальных сообщений, соединяются подобным же образом.
+остальных сообщений, соединяются подобным же образом. Значит, они могут служить
+проверкой правильности первого предположения.
 
-Значит, они могут служить проверкой правильности первого предположения.
-
-К каждому из указанных двубуквенных сочетаний можно добавить третью букву
-для образования триграммы и так далее.
-
-Если располагать не менее чем 4 сообщениями одинаковой длины, то можно с
-уверенностью гарантировать их вскрытие подобным образом.
+К каждому из указанных двухбуквенных сочетаний можно добавить третью букву для
+образования триграммы и так далее. Если располагать не менее чем 4 сообщениями
+одинаковой длины, то можно с уверенностью гарантировать их вскрытие подобным
+образом.
 
 Если ключ зашифрования совпадает с ключом расшифрования, то такие шифры называют
 \emph{симметричными}, иначе --- \emph{асимметричными}.
 
 \subsection{(1.6) Шифры простой замены}
 
-\subsubsection{(1) \emph{Шифр замены}}
+\subsubsection{(1) Шифр замены}
 
 \emph{Шифр замены} --- шифр, при котором фрагменты открытого текста (отдельные
 буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в криптограмме.
 
-Определим модель \(\Sigma_A = (X, K, Y, E, D)\) произвольного шифра замены.
+Определим модель $\Sigma_A = (X, K, Y, E, D)$ произвольного шифра замены.
 
 Будем считать, что открытые и шифрованные тексты являются словами в алфавитах A
-и B соответственно. \(X \subset A^*, \, Y \subset B^*, \, |A| = n, \, |B| = m\).
+и B соответственно. $X \subset A^*, \, Y \subset B^*, \, |A| = n, \, |B| = m$.
 
 Перед зашифрованием открытый текст предварительно представляется в виде
 последовательностей подслов, называемых \emph{шифровеличинами} (слова из
-\(A^*\)).
+$A^*$).
 
 При зашифровании шифрвеличины заменяются некоторыми их эквивалентами в
-шифртексте, которые называются \emph{шифробозначениями} (слова из \(B^*\)).
+шифртексте, которые называются \emph{шифробозначениями} (слова из $B^*$).
 
 Пусть
-\(U = (u_1, \dots, u_N)\) --- множество возможных шифрвеличин.
-\(V = (v_1, \dots, v_N)\) --- множество возможных шифробозначений.
-При этом \(N \geq n, \, M \geq m, \, M \geq N\).
+$U = (u_1, \dots, u_N)$ --- множество возможных шифрвеличин.
+$V = (v_1, \dots, v_N)$ --- множество возможных шифробозначений.
+При этом $N \geq n, \, M \geq m, \, M \geq N$.
 
-Для определения правила зашифрования \(E_k(x)\) в общем случае понадобится ряд
+Для определения правила зашифрования $E_k(x)$ в общем случае понадобится ряд
 обозначений и понятие \emph{распределителя}, который, по сути, и будет выбирать
 в каждом такте шифрования замену соответствующей шифровеличине.
 
-Поскольку \(M \geq N\), множество \(V\) можно представить в виде объединения \(V
-= \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}\) непересекающихся непустых подмножеств \(V^{(i)}\).
+Поскольку $M \geq N$, множество $V$ можно представить в виде объединения $V =
+\cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}$ непересекающихся непустых подмножеств $V^{(i)}$.
 
-Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из \(r\) таких разбиений множества
-\(V\): $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
+Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из $r$ таких разбиений множества
+$V$: $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
 r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \{
-V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых \(\varphi_\alpha (u_i) =
-V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}\).
+V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых $\varphi_\alpha (u_i) =
+V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}$.
 
-Рассмотрим также произвольное отображение \(\psi : K \times \mathbb{N} \to
-\mathbb{N}^*_r\), где \(\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}\), такое, что для
-любых \(k \in K, \, l \in \mathbb{N}\) $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l,
-\, a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$
+Рассмотрим также произвольное отображение $\psi : K \times \mathbb{N} \to
+\mathbb{N}^*_r$, где $\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}$, такое, что для любых
+$k \in K, \, l \in \mathbb{N}$ $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l, \,
+a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$
 
-Последовательность \(\psi(k, l)\) называется \emph{распределителем}, отвечающим
-данным значениям \(k \in K,\, l \in \mathbb{N}\).
+Последовательность $\psi(k, l)$ называется \emph{распределителем}, отвечающим
+данным значениям $k \in K,\, l \in \mathbb{N}$.
 
 Теперь можно определить правило зашифрования произвольного шифра замены. Пусть
 $$x \in X, x = x_1 \dots x_l, x_i \in U, i = \overline{1, l}, k \in K, \quad
 \psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l$$
 
-Тогда \(E_k(x) = y\), где \(y = y_1 \dots y_l, y_j \in
-\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j), j = \overline{1, l} \quad (1) !!!\).
+% Ручная нумерация формулы
+Тогда $E_k(x) = y$, где $y = y_1 \dots y_l, y_j \in \varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j),
+j = \overline{1, l} \quad (1)$.
 
-В качестве \(y_j\) можно выбрать любой элемент множества
-\(\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)\).
+В качестве $y_j$ можно выбрать любой элемент множества
+$\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)$.
 
 Всякий раз при шифровании этот выбор можно производить случайно, например, с
 помощью некоторого \emph{рандомизатора} типа игровой рулетки.
 
-Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования \(E_k(x)\)
-является однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
+Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования $E_k(x)$ является
+однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
 $$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных шифров замены,
 например, шифров пропорциональной замены: $$\exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha|
 > 1$$
@@ -86,42 +87,45 @@ $$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных ш
 Далее будем заниматься в основном изучением однозначных замен, получивших
 наибольшее практическое применение.
 
-Итак, далее \(M = N\) и \(\varphi_\alpha(u_i) = v^{(i)}_\alpha, i = \overline{1,
-M}\).
+Итак, далее $M = N$ и $\varphi_\alpha(u_i) = v^{(i)}_\alpha, i = \overline{1,
+M}$.
 
+% Ручная нумерация формулы
 Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования можно
 уточнить в формуле (1) включение следует заменить равенством $$y_j =
 \varphi_{\alpha_j^{(k)}} (x_j), j = \overline{1, l} \quad (1')$$
 
-Если для некоторого числа \(q \in N\) выполняются включения \(v_i \in B^q, i
-= \overline{1, N}\), то соответствующий шифр замены называется \emph{шифром
+Если для некоторого числа $q \in N$ выполняются включения $v_i \in B^q, i
+= \overline{1, N}$, то соответствующий шифр замены называется \emph{шифром
 равнозначной замены}, в противном случае --- \emph{шифром разнозначной замены}.
 
-В подавляющем большинстве случаев используются шифры замены, для которых \(U \in
-A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
+В подавляющем большинстве случаев используются шифры замены, для которых $U \in
+A^p$ для некоторого $p \in \mathbb{N}$.
 
-При \(p = 1\) говорят о \emph{поточных шифрах замены}, при \(p > 1\) --- о
+При $p = 1$ говорят о \emph{поточных шифрах замены}, при $p > 1$ --- о
 \emph{блочных шифрах замены}.
 
-В случае \(r = 1\) шифр замены называют \emph{одноалфавитным шифром замены}
-или \emph{шифром простой замены}. В противном случае --- \emph{многоалфавитным
+В случае $r = 1$ шифр замены называют \emph{одноалфавитным шифром замены} или
+\emph{шифром простой замены}. В противном случае --- \emph{многоалфавитным
 шифром замены}.
 
-\subsubsection{(2) Одноалфавитные однозначные замены называются \emph{шифрами простой замены}.}
+\subsubsection{(2) Шифры простой замены}
 
-Введём шифр простой замены в алфавите \(A\).
+Одноалфавитные однозначные замены называются \emph{шифрами простой замены}.
 
-Пусть \(X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)\), где \(S(A)\) ---
-симметрическая группа подстановок множества \(A\).
+Введём шифр простой замены в алфавите $A$.
 
-Для любого ключа \(k \in K\), открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_l)\)
-и шифрованного текста \(y = (y_1, \dots, y_i)\) правила зашифрования и
-расшифрования шифра простой замены в алфавите \(A\) определяются формулами:
+Пусть $X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)$, где $S(A)$ ---
+симметрическая группа подстановок множества $A$.
+
+Для любого ключа $k \in K$, открытого текста $x = (x_1, \dots, x_l)$ и
+шифрованного текста $y = (y_1, \dots, y_i)$ правила зашифрования и расшифрования
+шифра простой замены в алфавите $A$ определяются формулами:
 \begin{align*}
   E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_1)), \\
   D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_1)),
 \end{align*}
-где \(k^{-1}\) --- подстановка, обратная к \(k\).
+где $k^{-1}$ --- подстановка, обратная к $k$.
 
 Например, в рассказе Артура Конана Дойля "Пляшущие человечки", бандит Аб Слени
 использовал шифр, где заменялись схематическими человеческими фигурками в разных
@@ -130,16 +134,11 @@ A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
 \subsubsection{(3) Лозунговый шифр}
 
 При этом методе осуществляется посимвольная замена букв открытого текста на
-буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов.
-
-В первой строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых
-текстов.
-
-Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль).
-
-Затем на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
+буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов. В первой
+строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых текстов.
+Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль). Затем
+на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
 записывается полный алфавит с пропуском тех букв, которые встречаются в пароле.
-
 Закончив движение по строке, возвращаемся в её начало, процесс продолжается.
 
 \emph{ПРИМЕР!!!}
@@ -151,7 +150,7 @@ A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
 \emph{ПРИМЕР!!!}
 
 Буквы, стоящие во второй строке таблицы при шифровании заменяются стоящими над
-ними, остальные буквы --- двузначными числами "строка-столбец".
+ними, остальные буквы --- двузначными числами <<строка-столбец>>.
 
 \subsubsection{(5) Анализ шифров простой замены}
 
@@ -162,4 +161,4 @@ A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).
 открытого текста одинаковы.
 
 При этом используются частотные характеристики предполагаемого открытого текста,
-полученные с учётом "характера переписки".
+полученные с учётом <<характера переписки>>.
-- 
cgit v1.2.3

