From 1f07d1ba2121f4f21fe800a6b5b807dda32657f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Mon, 7 Nov 2022 13:54:34 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5=D0=BD=D0=B0?=
 =?UTF-8?q?=20=D0=B4=D0=B5=D0=B2=D1=8F=D1=82=D0=B0=D1=8F=20=D0=BB=D0=B5?=
 =?UTF-8?q?=D0=BA=D1=86=D0=B8=D1=8F?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 cryptography/lectures/lecture9.tex | 100 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 100 insertions(+)
 create mode 100644 cryptography/lectures/lecture9.tex

(limited to 'cryptography/lectures/lecture9.tex')

diff --git a/cryptography/lectures/lecture9.tex b/cryptography/lectures/lecture9.tex
new file mode 100644
index 0000000..cb430f9
--- /dev/null
+++ b/cryptography/lectures/lecture9.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+% Лекция 9 (31.10.22)
+
+\subsubsection{Дисковые многоалфавитные шифры замены}
+
+\paragraph{}
+Рассмотрим правило зашифрования и некоторые свойства такого шифра. Пусть
+алфавитом является множество $Z_n = \set{0, 1, \dots, n - 1}$. Запишем
+преобразование символов алфавита, осуществляемое движущимся диском. Рассмотрим
+два соседних угловых положения диска при повороте по часовой стрелке.
+
+Пусть в исходном положении диск реализует подстановку
+$$X = \begin{pmatrix}
+  0   & 1   & \dots & n - 1     \\
+  x_0 & x_1 & \dots & x_{n - 1} \\
+\end{pmatrix}$$
+
+Для того, чтобы выписать подстановку, реализуемую диском после поворота на угол
+$\frac{2 \pi}{n}$ посмотрим на соответствующие рисунки.
+
+\textbf{TODO: рис1}
+% Рисунок --- начальное положение диска.
+
+\textbf{TODO: рис2}
+% Рисунок --- положение диска после поворота.
+
+Так как диск сдвигается как твёрдое тело, символ открытого текста поступающий
+на него с входной розетки, проходит затем по имеющимся в диске соединениям,
+превращаясь в символ шифртекста.
+
+Разница между двумя рассматриваемыми положениями диска состоит в том, что после
+поворота символы с входной розетки поступают на входные контакты диска, номер
+которых уменьшаются на единицу (по модулю $n$).
+
+Можно перенумеровать входные символы, уменьшив каждый на единицу. Тогда входные
+контакты диска будут совпадать с выходными символами, которые пройдя по своим
+траекториям через диск, попадут на контакты выходной розетки.
+
+Чтобы вернуться к исходной нумерации символов, следует их увеличить на единицу.
+Введём подстановку
+$$T = \begin{pmatrix}
+  0 & 1 & \dots & n - 2 & n - 1 \\
+  1 & 2 & \dots & n - 1 & 0     \\
+\end{pmatrix}$$
+
+После поворота диск реализует подстановку, представимую в виде произведения
+подстановок: $$T^{-1} \cdot X \cdot T = \left( \frac{i}{i - 1} \right) \cdot
+\left( \frac{i - 1}{x_{i - 1}} \right) \cdot \left( \frac{x_{i - 1}}{x_{i - 1} +
+1} \right) = \left( \frac{i}{x_{i - 1} + 1} \right)$$
+
+Таким образом, при повороте диска на угол $\frac{2 m \pi}{n}, \, m =
+\overline{1, n - 1}$, диск будет реализовывать подстановку $T^{-m} \cdot X \cdot
+T^m$.
+
+\paragraph{}
+Рассмотрим дисковый шифратор, состоящий из нескольких насаженных на общую
+ось дисков, так что символы с входной розетки, попадая на блок дисков,
+последовательно проходят перепайки каждого из дисков, попадая на контакты
+выходной розетки.
+
+Обычно при работе такого шифратора диски при шифровании очередного знака
+открытого текста сдвигаются по определённому правилу на некоторые угловые
+положения, кратные $\frac{2 \pi}{n}$.
+
+Схема движения дисков является ключевым элементом шифратора.
+Найдём правило зашифрования текущего знака открытого текста такого шифратора.
+
+Пусть в начальных угловых положениях рассматриваемые диски реализуют подстановки
+$X_1, \dots, X_N$ из симметрической группы $S_n$ (они также являются ключевыми
+элементами) и в данный такт шифрования данные диски находятся в соответствующих
+угловых положениях $\gamma_1, \dots, \gamma_N, \, \gamma_i \in \overline{0, n -
+1}$.
+
+Это означает, что $i$-й диск реализует подстановку $T^{-\gamma_i} \cdot X_i
+\cdot T^{\gamma_i}$.
+
+Тогда очередная буква открытого текста $x$ будет зашифрована в букву $y =
+E_k(x)$, где $$y = T^{-\gamma_1} \cdot X_1 \cdot T^{\gamma_1 - \gamma_2} \cdot
+X_2 \cdot T^{\gamma_2 - \gamma_3} \cdot \dots T^{\gamma_{N - 1} - \gamma_N}
+\cdot X_N \cdot T^{\gamma_N}(x)$$.
+
+\paragraph{}
+Формально определить правило зашифрования любого открытого текста для дискового
+шифратора сложно в связи с обилием различных ключевых элементов.
+
+Для поточных шифров, как правило, бывает достаточно знания правила зашифрования
+буквы текста.
+
+Число простых замен, из которых <<состоит>> многоалфавитный шифр, реализуемый
+дисковым шифратором, может быть очень большим. Чем больше это число, тем сложнее
+криптоанализ такого шифра. В связи с этим параметры дисковых схем должны быть
+тщательно продуманы.
+
+Схемы токопрохождения электрических импульсов в дисковом шифраторе могут
+усложняться за счёт введения <<отражающего экрана>> вместо выходной розетки.
+В результате этого импульс тока вторично проходит через блок дисков, только в
+противоположную сторону.
+
+Криптоанализ дисковых шифраторов является весьма сложной задачей.
+
+\textbf{TODO: Дописать}
-- 
cgit v1.2.3

