From 14b87aa5dc895ae3afa2c5385d5b1d56d398d55e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrew Guschin Date: Sat, 2 Oct 2021 21:34:13 +0400 Subject: =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=20=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8=D0=B8=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=A2=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BE=D1=80=D0=B8=D0=B8=20=D0=B8=D0=BD=D1=84=D0=BE=D1=80=D0=BC?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=86=D0=B8=D0=B8?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex | 178 ++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 178 insertions(+) create mode 100644 sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex (limited to 'sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex') diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex new file mode 100644 index 0000000..9992bdc --- /dev/null +++ b/sem5/information-theory/lectures/lecture2.tex @@ -0,0 +1,178 @@ +\subsection{Лекция 2 (09.09.21)} + +\subsubsection{Частотное представление периодических сигналов} + +\textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!} + +Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем +$\phi(t) = l^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление +функции базисными сигналами будет называться преобразованием Фурье. +Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность +представить в виде суммы гармоний. Формула Эйлера: +\[\cos \omega t = \frac{ l^{j\omega t} + l^{-j \omega t} }{ 2 }\] + +Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый +сигнал реализуется на интервали $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию +Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или +имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное +число экстремумов. Определим период повторения $T = t_2 - t_1$. При +этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени. +Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[ +\begin{cases} + u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty A(j k \omega) l^{j k \omega_1 t} \\ + A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j k \omega t} dt +\end{cases} +\] A\_j\_k называют комплексным спектром данного сигнала $u(t)$, а +значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться +\emph{комплексной амплитудой}. + +Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного коплексного спектра мы +попробуем построить огибающую. Тогда +\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j \omega t} dt \] + +Показательная форма: +\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) l^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция +$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- +спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма: +\[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \] +\[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \] +\[ B_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \sin(k \omega_1 t) dt \] +Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \] +\[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в +данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для +постоянной (огибающей) состовляющей сигнала: +\[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \] + +Отсюда: +\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty A(k\omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\] + +Спектр амплитуд и спектр фаз согласно данному представлению могут быть +представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует +определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}. +Сигналы, линейчатые спектры которых включают гарминоки некоторых частот, +которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}. + +Согласно этому представлению построим распеределение энергии в спектре +этого сигнала. ??? + +\subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов} + +Пусть имеется период $T$. Тогда Распределение энергии в спектре +периодических сигналов будет определятся интегралом: +\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \] +\[ += \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt + +\left( +\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^\infty A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt + +\right) \] +\[ + \frac{1}{2} \sum\sum A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\] + +\ldots{} +\[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \] +Эти два интеграла будут равны 0, если $k$ + +\[ \int_0^T e^{j \omega_1 t (k - l)} dt = \begin{cases} + T, k = l \\ + 0, k \neq l +\end{cases}\] + +В результате этого у нас останется +\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \] + +Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период +энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой. + +\subsubsection{Частотное представление непериодических сигналов} + +Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу +$u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда +спектральное представление непериодич сигнала $u(t)$ можно строить +путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности. + +С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет +иметь представление: +\[ u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left( \frac{\omega_1}{\pi} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt \right) e^{jk \omega_1 t} \] + +Осуществим предельный переход, при этом $T \to \infty$. При этом сумма +перейдёт в интеграл, $\omega_1 = \Delta \omega \to d \omega$, +$k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразований $u(t)$ +Будет иметь вид: +\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \] + +Обозначим за $j\omega$ Получим: +\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \] +\[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \] + +Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического +сигнала. + +Функция $Sj\omega$ называется комплексной спектральной плотностью или +спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с +период сигн, спектр харка имеет следующие представления: Показательная +форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \] + +$S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$. + +\[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\] +\[ S(j \omega) = A(\omega) * j B(\omega) \] +\[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \] +\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \sin(\omega t) dt \] + +При этом \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \] +\[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \] + +\ldots{} + +\[ S(\omega) = |S(j \omega)| \] + +\ldots{} + +\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega = +\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \] + +А первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким обр мы получим +тригонометрическую форму ряда фурье. +\[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \] + +\ldots{} ограничить функцию \ldots{} + +\[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \] + +Получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \] + +Если у непериодического сигнала взять единичный импульс можно построить +линейчатый спектр его периодической последовательности. + +\subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала} + +Выражение для величины характеризующей \ldots{} запишем след образом: +\[ \int_{-\infty}^\infty |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \] +\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \] +\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \] + +Согласно равенству персиваля +\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соотвии с +этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время +его существования можно определить интегрируя квадрат модуля +спектральной харки в интервале частот. + +Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра. +Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и +имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность +сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствующаю +спектральную характеристику +\[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \] +Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда +\[ = \frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) e^{-j \omega \tau / \lambda} d\tau = \frac{1}{\lambda} S(j \frac{\omega}{\lambda}) \] + +Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в +$\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в +$\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на +ширину спектра. Это связяно с тем, что переменные $t$ и $\omega$ +находятся показатель степени экспоненциальной функции как прямого преобр +фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и +ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными +интервалами. В частности, имеет место соотношение +$\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность +импульса, а $\Delta f$ --- ширина. + -- cgit v1.2.3