From b782fe9a251cf07e30525aac7fdc8c780a232dee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrew Guschin Date: Sat, 2 Apr 2022 08:18:10 +0400 Subject: =?UTF-8?q?=D0=9F=D0=B5=D1=80=D0=B5=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D0=B8?= =?UTF-8?q?=D0=BB=20=D0=B2=D1=81=D0=B5=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8?= =?UTF-8?q?=D0=B8=20=D0=BF=D1=8F=D1=82=D0=BE=D0=B3=D0=BE=20=D1=81=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D1=80=D0=B0=20=D0=B2=20=D0=BA=D0=BE?= =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B5=D0=BD=D1=8C=20=D0=BF=D1=80=D0=BE=D0=B5=D0=BA=D1=82?= =?UTF-8?q?=D0=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex | 154 -------------------------- 1 file changed, 154 deletions(-) delete mode 100644 sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex (limited to 'sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex') diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex deleted file mode 100644 index 1907f9d..0000000 --- a/sem5/information-theory/lectures/lecture6.tex +++ /dev/null @@ -1,154 +0,0 @@ -% Лекция (14.10.21) -\begin{enumerate} - \item - Критерий равномерного приближения - $$\max_{t \in T} |u(t) - u^*(t)| \leq \xi_{\text{доп}}$$ - $$sup_{u_i(t) \in U} |u_i(t) - u^*_i(t)| \leq \xi_\text{доп}$$ - \item - Критерий среднеквадратичного отклонения - $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{T} \int_T|u(t) - u^*(t)|^2 dt} \leq \sigma_\text{доп}$$ - $$\sigma_\Sigma = \Sigma_{i = 1}^N$$ - \item - Интегральный критерий - $$\varepsilon = \frac{1}{T} \int_T |u(t) - u^*(t)| dt$$ - - Интегральный критерий для ансамбля вычисляют путём усреднения по ансамблю. - \item - Допустимый уровень вероятности того, что ошибка не превысит допустимое значение - -\end{enumerate} - -Использование каждого из критериев будет зависеть от требований, предъявляемых к системе. - -\subsection{Теорема Котельникова} -Как отмечалось ранее, наиболее широкое применение имеет линейная дискретизация, -при этом для выбора величины шага дискретизации используется модель сигнала в -виде эргодического случайного процесса, при этом каждая реализация которого -представляет собой функцию с ограниченным спектром. Теоретической основой для -такого подходя является теорема Котельникова. - -\begin{theorem}[Теорема Котельникова] - Любая функция $u(t)$, допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный - спектр, ограниченная полосой частот $[0; \frac{\omega}{2\pi}]$ полностью - определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанный через - интервал времени $\Delta t = \frac{1}{2f_c} = \frac{\pi}{\omega}$ -\end{theorem} -\begin{proof} - Поскольку по предложению теоремы функция $u(t)$ имеет ограниченный спектр, то - есть $S(j \omega) = 0 \quad \omega > \omega_c$, то функцию $u(t)$ мы можем - записать следующим видом: - - \begin{equation*} - u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega - \end{equation*} - - Тогда функцию $S(j \omega)$ на интервале $[-\omega_c; \omega_c]$ можно - разложить в ряд Фурье. - - Тогда пару преобразования Фурье запишем, полагая, что $S(j\omega)$ условно - продолжающаяся с периодом $2\omega_c$. - - \begin{equation*} - \begin{cases} - S(j\omega) = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^\infty H_k e^{jk\omega \Delta t} \\ - A_k = \frac{1}{\omega_c} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-jk \Delta t \omega} d\omega - \end{cases} - \end{equation*} - - Используя данную пару преобразования Фурье, предварительно предположив, что - $t_k = k \Delta t$, будет иметь следующий вид: - \begin{equation*} - u(k \Delta t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{jk\Delta t \omega} d \omega - \end{equation*} - - \begin{equation*} - A_k = \frac{2\pi}{\omega_c} u(-k \Delta t) - \end{equation*} - - \begin{equation*} - S(j\omega) = \frac{\pi}{\omega_c} \sum u(-k \Delta t) e^{jk \Delta t \omega} - \end{equation*} - - В последнем равенстве знак - перед $k$ мы можем поменять на обратный, так - как суммирование ведётся как по положительным, так и по отрицательным числам. - Подставив ... получим: - \begin{equation*} - u(t) = \frac{1}{2\omega_c} \int_{-\infty}^\infty |\sum_{-\infty}^\infty u(k\Delta t) e^{-j k \Delta t \omega}| - \end{equation*} - - Проинтегрировав последнюю часть данного равенства получим следующую функцию. - \begin{equation*} - u(t) = \sum_{-\infty}^\infty u(k \Delta t) \frac{\sin \omega_c (t - k\Delta t)}{\omega_c (t - k \Delta t)} - \end{equation*} - - Таким образом мы выразили функцию $u(t)$ через её дискретные значения взятые в моменты - $k \Delta t$. Предположим, что время $t$ будет выражаться как $n \Delta t, \quad n \in \N$. - Тогда $\omega_c(n\Delta t - k \Delta t) = \omega_c \Delta t (n - k)$. - - Так как $\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c} \implies \omega_c \Delta t (n - k) = (n - k) \pi$ - - Таким образом, данная часть функции будет равна единице, если $t = k \Delta t$. - И 0, если $t = n \Delta t, \, n \neq k$. Это означает, что функция $u(t)$ - в момент времени $[t_k; k \Delta t]$ представляет собой ни что иное, как - отсчёты. То есть функция ограничена спектром и может быть представлена рядом, - коэффициенты которого представляют собой отсчёты значения функции взятые через - интервал времени $\Delta t$ -\end{proof} - -На основании этой теоремы строится общая схема приёма и передачи сигнала. на -передающей стороне мгновенные значения сигнала передаются через интервал времени -$\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c}$, на принимающей стороне последовательность -импульсов пропускается через идеальный фильтр с частотой среза -$\frac{\omega_c}{2\pi}$. Тогда при длительной передаче на выходе фильтров будет -точное воспроизведение переданного непрерывного сигнала. - -В реальности сигнал всегда имеет конечную длину и, следовательно, его спектр не -ограничен. При этом ошибка возникает не только из-за искусственного ограничения -спектра, но и из-за конечного числа отсчётов, которые в соответствии с теоремой -будут вычисляться как $N = 2 f_c T$. При этом представление сигнала с -ограниченным спектром исключает возможность сигнала переносить информацию. - - -\section{Квантование сигнала} - -Физически реализуемые непрерывный сигнал всегда ограничен диапазон $[u_{min}; -u_{max}]$. В добавок устройство может воспроизводить лишь конечное число -значений сигнала из этого диапазона, в частности, вся непрерывная шкала -амплитудных значений может быть разита на $N$ одинаковых сигналов. А -разрешённые значения равноотстоять друг от друга. Тогда мы можем говорить о -равномерном квантовании. Если же постоянная интервала не соблюдается, то -квантование будет неравномерно, а соответственно постоянная будет - -Из множества мгновенных значений принадлежащих $i$-му шагу квантования только -одно значение $u(t)$ является разрешённым, а любые другие округляются до него. - -Пусть имеется равномерное с шагом $\Delta = \frac{|u_{max} - u_{min}|}{n}$ -И предположим, что при данном равномерном квантовании уровни квантования $u_i$ -размешаются ровно в середине каждого шага. Тогда ошибка квантования будет минимальная -и не будет превышать $0.5 \Delta$. При этом среднеквадратичная ошибка квантования -будет определяться следующим образом: -\begin{equation*} - \sigma_i = \sqrt{\int_{u_{i-1}}^{u_i} (u(t) - u_i)^2 p(u) du} -\end{equation*} - -где $p(u)$ --- функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала $u$. - -Если шаг квантования сигнала мал по сравнению с диапазоном значения, то в -пределах каждого шага плотность вероятности можно считать постоянной и равной -величине $P(u_i)$. Тогда данную ошибку можно написать следующим образом: -\begin{equation*} - \sigma_i = \sqrt{P(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}} -\end{equation*} - -С учётом того, что плотность вероятности $p(u_i) > 0$ и $\Delta_i > 0$ -для всех $i = 1, n$ можно записать дисперсию ошибки квантования, которая будет равна -\begin{equation*} - \sigma_i^2 = p(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12} -\end{equation*} - -Дисперсия полной ошибки квантования будет определяться как мат ожидание -дисперсии на каждом шаге квантования и будет равна $\sigma^2 = \frac{\Delta^2}{12}$ - -Если на квантуемый сигнал воздействует помеха, то он может попасть в интервал -соответствующий другому уровню квантования и соответственно предсказать сигнал -будет невозможно. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.3