From b782fe9a251cf07e30525aac7fdc8c780a232dee Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sat, 2 Apr 2022 08:18:10 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9F=D0=B5=D1=80=D0=B5=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=BB=20=D0=B2=D1=81=D0=B5=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=20=D0=BF=D1=8F=D1=82=D0=BE=D0=B3=D0=BE=20=D1=81=D0=B5?=
 =?UTF-8?q?=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D1=80=D0=B0=20=D0=B2=20=D0=BA=D0=BE?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B5=D0=BD=D1=8C=20=D0=BF=D1=80=D0=BE=D0=B5=D0=BA=D1=82?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex | 92 ----------------------------
 1 file changed, 92 deletions(-)
 delete mode 100644 sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex

(limited to 'sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex')

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
deleted file mode 100644
index 4707dd5..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,92 +0,0 @@
-% Лекция 3 (17.09.21)
-\begin{example}
-  На $Z$ рассматривается бинарное отношение $(x, y) \in \varepsilon \iff |x| = |y|$. 
-  Очевидно, что $\varepsilon$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. 
-  $\varepsilon$ является эквивалентным на $Z$ с классами $\varepsilon(x) \{ x, -x \}$  
-\end{example}
-
-\begin{example}
-  На $Z$ для фиксированного $m \in N$ $(x, y) \in \varepsilon \iff$ $x - y$ делится
-  на $m$ то есть $x - y = k \cdot m$ для некоторого $k \in Z$.
-  \begin{itemize}
-    \item 
-      \textit{Рефлексивность}. $(x, x) \in \varepsilon$ равносильна 
-      $x - x = m \cdot k$, ($\exists k \in R$) --- выполняется 
-      $x - x = m \cdot O$ для $O \in Z$
-    \item 
-      \textit{Симметричность}. 
-      $(x, y) \in \varepsilon \implies (y, x) \in \varepsilon$, 
-      то есть $x \cdot y = m \cdot k, \, \exists k \in Z \implies 
-      y \cdot x = m \cdot l, \, (\exists l \in Z)$ --- верно, 
-      то есть $l = -k \in Z$
-    \item
-      \textit{Транзитивность}. 
-      $(x, y) \in \varepsilon \land (y, z) \in \varepsilon \implies 
-      (x, z) \in epsilon$, то есть 
-      $x - y = m \cdot k, \, (\exists k \in Z) \lor 
-      y - z = m \cdot l, \, (\exists l \in Z) \implies 
-      x -z = m \cdot p, \, (\exists p \in Z)$.
-  \end{itemize}
-
-  $x - z = (x - y) + (y - z) = m \cdot k + m \cdot l = m \cdot (k + l)$ для $k + l \in Z$
-  
-  Получаем, что $\varepsilon$ --- отношение эквивалентности, которое 
-  обозначается $\text{mod}\, m$ и называется отношением сравнения по модулю $m$.
-
-  Классы отношения эквивалентности $\varepsilon$ : 
-  \begin{eqnarray}
-    \varepsilon(0) &= \{ 0, m, 2m, \dots, -m, -2m \} = m \cdot \Z \\
-    \varepsilon(1) &= \{ 1, m + 1, 2m + 1, \dots, -m + 1, -2m + 1 \} = m \cdot \Z + 1 \\
-    &\dots \\
-    \varepsilon(m - 1) &= \{ m - 1, 2m - 1, \dots \} = m \cdot \Z + (m - 1) \\
-    \varepsilon(m) &= m \cdot \Z + m = m \cdot (Z + 1) = m \cdot Z = m(0)
-  \end{eqnarray}
-
-  Фактор-множество $\Z/\text{mod}\, m = \{ \varepsilon(0), \dots, \varepsilon(m - 1) \}$
-\end{example}
-
-\begin{example}
-  На множестве $V$ всех векторов на плоскости рассмотрим бинарное отношение $\varepsilon$:
-  $(a, b) \in \varepsilon \iff (a \upuparrows b \land |a| = |b|)$. 
-  $\varepsilon$ является отношением эквивалентности с классами эквивалентности 
-  $\varepsilon(a) = \{ x \in V : a \upuparrows x \land |a| = |x| \}$.
-  Фактор-множество: $V/\varepsilon = \{ \varepsilon(a) : a \in V \}$
-\end{example}
-
-\begin{definition}
-  Бинарное отношение $\varepsilon$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
-  эквивалентности} (или просто \textit{эквивалентностью}), если оно рефлексивно,
-  симметрично и транзитивно.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  \textit{Ядром отображения} $\phi: A \to b$ называется бинарное отношение 
-  $ker \phi$ на множестве $A$, которое определяется по формуле 
-  \begin{equation*}
-    ker \phi \{ (a, b) \in A^2 : \phi(a) = \phi(b) \}
-  \end{equation*}
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  \textit{Каноническим отображением} эквивалентности $\varepsilon$ называется
-  отображение $nat \varepsilon$ множества $A$ на фактор-множество $A/\varepsilon$,
-  которое каждому элементу $a \in A$ ставит в соответствие содержащий его класс
-  эквивалентности $[a]$. Легко видель, что $ker nat \varepsilon = \varepsilon$
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  Подмножество $T \subset A$ называется полной системой представителей классов
-  эквивалентности $\varepsilon$ на множестве $A$, если:
-  \begin{enumerate}
-    \item $\varepsilon(T) = A$
-    \item из условия $t_1 \equiv t_2(\varepsilon)$ следует $t_1 = t_2$
-  \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-Классы эквивалентности $[t] \in A/\varepsilon$ могут быть отождествленны со 
-своими представителями $t$ и фактор-множество $A/\varepsilon$ может быть 
-отождествленно с множеством $T$.
-
-...
-
-Извествен алгоритм построения СДНФ для любой формулы $\Phi (\neq 0)$
-- 
cgit v1.2.3

