From b782fe9a251cf07e30525aac7fdc8c780a232dee Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andrew Guschin <guschin.drew@gmail.com>
Date: Sat, 2 Apr 2022 08:18:10 +0400
Subject: =?UTF-8?q?=D0=9F=D0=B5=D1=80=D0=B5=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=BB=20=D0=B2=D1=81=D0=B5=20=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=86=D0=B8?=
 =?UTF-8?q?=D0=B8=20=D0=BF=D1=8F=D1=82=D0=BE=D0=B3=D0=BE=20=D1=81=D0=B5?=
 =?UTF-8?q?=D0=BC=D0=B5=D1=81=D1=82=D1=80=D0=B0=20=D0=B2=20=D0=BA=D0=BE?=
 =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B5=D0=BD=D1=8C=20=D0=BF=D1=80=D0=BE=D0=B5=D0=BA=D1=82?=
 =?UTF-8?q?=D0=B0?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex | 84 ----------------------------
 1 file changed, 84 deletions(-)
 delete mode 100644 sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex

(limited to 'sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex')

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
deleted file mode 100644
index eb76b95..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
+++ /dev/null
@@ -1,84 +0,0 @@
-% Лекция 4 01.10.21
-\begin{definition}[Принцип двойственности]
-  Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
-  двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
-      то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
-      множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
-    \item
-      Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
-      наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
-      $(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
-  \end{enumerate}
-\end{example}
-
-\subsection{Упорядочивание множества слов}
-
-\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
-\begin{lemma}[Цорна]
-  Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
-  грань, то каждый элемент этого множества содержится в
-  некотором максимальном элементе.
-\end{lemma}
-
-\begin{lemma}[Аксиома выбора]
-  Для любого множества $A$ существует такая функция
-  $f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
-  если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
-\end{definition}
-
-\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
-  Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
-  и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
-  которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  \textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
-  дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.
-
-  Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  $\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
-\end{example}
-
-\subsection{Отношение квазипорядка}
-
-\begin{definition}
-  Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
-  квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
-  и транзитивно.
-
-  Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
-  квазипорядка $\omega$.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
-      $A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
-      $\delta = \Delta_A$ соответственно.
-    \item
-      Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
-      квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
-    \item
-      Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
-      логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
-      является отношение логической равносильности формул.
-    \item
-      Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
-      квазипорядком, ...
-  \end{enumerate}
-\end{example}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.3

