% Лекция 2 (11.09.23) Взяв из каждого класса по одному вычету, получим \emph{полную систему вычетов}. ... Непустое подмножество $H$ группы $G$ называется \emph{подгруппой} этой группы, если $H$ образует группу относительно операции группы $G$. Группа $G$ называется \emph{циклической}, если существует элемент $\alpha \in G$ такой, что для каждого $b \in G$ существует целое число $i$ такое, что $b = \alpha^i$. Такой элемент $\alpha$ называется \emph{образующим элементом} группы $G$. \begin{theorem}[О циклической подгруппе] %% NOTE: 4 Если $G$ --- группа и $a \in G$, то множество всех степеней $a$ образует циклическую подгруппу группы $G$, называемую подгруппой, порождённой $a$, и обозначаемую через $\langle a \rangle$. \end{theorem} Пусть $G$ --- группа и $a \in G$. Порядок элемента $a$ определяется как наименьшее положительное число $t$ такое, что $a^t = 1$, при условии, что такое целое число существует. Если такого $t$ не существует, то порядок $a$ определяется как $\infty$ (элемент бесконечного порядка). \begin{theorem}[О порядке подгруппы] %% NOTE: 5 Пусть $G$ --- группа и $a \in G$ --- элемент конечного порядка $t$. Тогда порядок подгруппы, порождённой $a$, равен $t: |\langle a \rangle| = t$. \end{theorem} \begin{theorem}[Лагранжа] Если $G$ --- конечная группа и $H$ подгруппа $G$, то $|H|$ делит $|G|$. Следовательно, если $a \in G$, то порядок $a$ делит $|G|$. \end{theorem} \begin{theorem}[О циклической группе] Каждая подгруппа циклической группы $G$ также является циклической. На самом деле, если $G$ --- циклическая группа порядка $n$, то для каждого положительного делителя $d$ числа $n$ в $G$ содержится ровно одна подгруппа порядка $d$. \end{theorem} \begin{theorem}[Порядок элемента и количество образующих] Пусть $G$ --- группа. \begin{enumerate} \item Если порядок $a \in G$ равен $t$, то порядок $a^k = \frac{t}{\gcd(t, k)}$, \item Если $G$ --- циклическая группа порядка $n$ и $d \mid n$, то в $G$ ровно $\varphi(d)$ элементов порядка $d$. В частности, $G$ имеет $\varphi(n)$ образующих. \end{enumerate} \end{theorem} Две группы $G$ и $G'$ с операциями $\cdot$ и $\circ$ называются \emph{изоморфными} ($G \cong G'$), если существует отображение $f : G \to G'$, такое, что \begin{enumerate} \item $(\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b)$; \item $f$ --- биективно. \end{enumerate} \begin{theorem}[Об изоморфизме циклических групп] Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного) изоморфны. \end{theorem} Положив $G' = G$ в определении изоморфизма, получается изоморфное отображение $\varphi : G \mapsto G$ группы $G$ на себя, которое называется \emph{автоморфизмом} группы $G$. Отображение $f : G \mapsto G'$ группы $(G, \cdot)$ в группу $(G', \circ)$ называется \emph{гомоморфизмом}, если оно согласовано с операциями на группах $G$ и $G'$, то есть \begin{equation*} (\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b) \end{equation*} Гомоморфизм вида $f : G \mapsto G$ называется эндоморфизмом. Абелева группа называется примарной, если порядок каждого её элемента есть степень одного и того же простого числа $p$. Всякая абелева группа, не содержащая элементов бесконечного порядка, разлагается в прямую сумму примарных групп. %% TODO: 3? 3) \emph{Кольцо} $(R, +, \times)$ состоит из множества $R$ с двумя бинарными операциями, обозначаемыми $+$ (сложение) и $\times$ (умножение) на $R$, удовлетворяющими следующим аксиомам: \begin{enumerate} \item $(R, +)$ --- абелева группа с нейтральным элементом, обозначенным 0; \item Операция $\times$ ассоциативна, то есть \[ (\forall a, b, c \in R) \quad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \] \item Операция $\times$ дистрибутивна над $+$, то есть \[ a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \] и \[ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \] для всех $a, b, c \in R$. \end{enumerate} Кольцо называется \emph{кольцом с единицей}, если оно имеет мультипликативный нейтральный элемент, обозначаемый 1, где $1 \neq 0$, такой, что \begin{equation*} (\forall a \in R) \quad 1 \times a = a \times 1 = a \end{equation*} Кольцо называется коммутативным, если \begin{equation*} (\forall a, b \in R) \quad a \times b = b \times a \end{equation*} Элемента $a$ кольца $R$ называется \emph{обратимым элементом}, если существует элемент $b \in R$ такой, что $a \times b = 1$. %% TODO: 4 4) \emph{Поля} --- это коммутативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы имеют мультипликативные обратные. \emph{Характеристика} поля равна 0, если сумма $\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{m \text{ раз}}$ не равна нулю для любого $m \geq 1$. В противном случае характеристикой поля является наименьшее натуральное число $m$ такое, что $\sum_{i = 1}^m 1 = 0$. \begin{theorem}[Поле $\Z_n$] %$ NOTE: 10 $\Z_n$ является полем (с обычными операциями сложения и умножения по модулю $n$) $\iff$ $n$ --- простое число. Если $n$ --- простое, то $\Z_n$ имеет характеристику $n$. \end{theorem} \begin{theorem}[О характеристике поля] Если характеристика $m$ поля отлична от 0, то $m$ --- простое число. \end{theorem} Подмножество $F$ поля $K$ является \emph{подполем} $K$, если $F$ само является полем по отношению к операциям $K$. В этом случае говорят, что $K$ является \emph{расширением} поля $F$. Определим квадратичный характер $\chi$ поля $K$: \begin{equation*} \begin{cases} %% TODO: выражения \chi(a) = 1, &\text{если a --- квадратичный вычет в поле K} \\ \chi(a) = -1, &\text{если a --- квадратичный невычет в поле K} \\ \chi(0) = 0 & \end{cases} \end{equation*} 5) Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, то \emph{полином} от неопределённого $x$ над кольцом $R$ --- это выражение вида \begin{equation*} f(x) = a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{equation*} где каждое $a_i \in R$ и $n \geq 0$. Элемент $a_i$ называется \emph{коэффициентом} при $x_i$ в $f(x)$. Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, кольцо полиномов $R[x]$ --- это кольцо, образованное множеством всех полиномов от неопределённого $x$, имеющих коэффициенты из $R$. Две операции --- это стандартное полиномиальное сложение и умножение с арифметикой коэффициентов, выполняемой в кольце $R$. Элемент $\alpha \in R$ есть корень полинома $f(x) \in R[x] \iff (x - \alpha) \mid f(x)$. \emph{Кратностью корня} $\alpha \in R$ полинома $f(x) \in R[x]$ называют число $k \in \N$ со свойствами \begin{equation*} (x - \alpha)^k \mid f(x),\, (x - \alpha)^{k + 1} \nmid f(x), \end{equation*} и говорят, что $\alpha$ --- \emph{простой корень} $f(x)$, если $k = 1$, и $\alpha$ --- \emph{кратный корень} $f(x)$, если $k > 1$.