% Лекция 2 (11.09.23)

Взяв из каждого класса по одному вычету, получим \emph{полную систему вычетов}.
...

Непустое подмножество $H$ группы $G$ называется \emph{подгруппой} этой группы,
если $H$ образует группу относительно операции группы $G$.

Группа $G$ называется \emph{циклической}, если существует элемент $\alpha \in
G$ такой, что для каждого $b \in G$ существует целое число $i$ такое, что $b =
\alpha^i$.

Такой элемент $\alpha$ называется \emph{образующим элементом} группы $G$.

\begin{theorem}[О циклической подгруппе] %% NOTE: 4
  Если $G$ --- группа и $a \in G$, то множество всех степеней $a$ образует
  циклическую подгруппу группы $G$, называемую подгруппой, порождённой $a$, и
  обозначаемую через $\langle a \rangle$.
\end{theorem}

Пусть $G$ --- группа и $a \in G$. Порядок элемента $a$ определяется как
наименьшее положительное число $t$ такое, что $a^t = 1$, при условии, что такое
целое число существует.

Если такого $t$ не существует, то порядок $a$ определяется как $\infty$ (элемент
бесконечного порядка).

\begin{theorem}[О порядке подгруппы] %% NOTE: 5
  Пусть $G$ --- группа и $a \in G$ --- элемент конечного порядка $t$. Тогда
  порядок подгруппы, порождённой $a$, равен $t: |\langle a \rangle| = t$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Лагранжа]
  Если $G$ --- конечная группа и $H$ подгруппа $G$, то $|H|$ делит $|G|$.
  Следовательно, если $a \in G$, то порядок $a$ делит $|G|$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[О циклической группе]
  Каждая подгруппа циклической группы $G$ также является циклической. На
  самом деле, если $G$ --- циклическая группа порядка $n$, то для каждого
  положительного делителя $d$ числа $n$ в $G$ содержится ровно одна подгруппа
  порядка $d$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Порядок элемента и количество образующих]
  Пусть $G$ --- группа.
  \begin{enumerate}
    \item
      Если порядок $a \in G$ равен $t$, то порядок $a^k = \frac{t}{\gcd(t, k)}$,
    \item
      Если $G$ --- циклическая группа порядка $n$ и $d \mid n$, то в $G$ ровно
      $\varphi(d)$ элементов порядка $d$. В частности, $G$ имеет $\varphi(n)$
      образующих.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

Две группы $G$ и $G'$ с операциями $\cdot$ и $\circ$ называются \emph{изоморфными}
($G \cong G'$), если существует отображение $f : G \to G'$, такое, что
\begin{enumerate}
  \item $(\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b)$;
  \item $f$ --- биективно.
\end{enumerate}

\begin{theorem}[Об изоморфизме циклических групп]
  Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного)
  изоморфны.
\end{theorem}

Положив $G' = G$ в определении изоморфизма, получается изоморфное
отображение $\varphi : G \mapsto G$ группы $G$ на себя, которое называется
\emph{автоморфизмом} группы $G$.

Отображение $f : G \mapsto G'$ группы $(G, \cdot)$ в группу $(G', \circ)$
называется \emph{гомоморфизмом}, если оно согласовано с операциями на группах
$G$ и $G'$, то есть
\begin{equation*}
  (\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b)
\end{equation*}

Гомоморфизм вида $f : G \mapsto G$ называется эндоморфизмом. Абелева группа
называется примарной, если порядок каждого её элемента есть степень одного и
того же простого числа $p$.

Всякая абелева группа, не содержащая элементов бесконечного порядка, разлагается
в прямую сумму примарных групп.

%% TODO: 3?
3) \emph{Кольцо} $(R, +, \times)$ состоит из множества $R$ с двумя бинарными
операциями, обозначаемыми $+$ (сложение) и $\times$ (умножение) на $R$,
удовлетворяющими следующим аксиомам:
\begin{enumerate}
  \item
    $(R, +)$ --- абелева группа с нейтральным элементом, обозначенным 0;
  \item
    Операция $\times$ ассоциативна, то есть \[ (\forall a, b, c \in R) \quad a
    \times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
  \item
    Операция $\times$ дистрибутивна над $+$, то есть \[ a \times (b + c) = (a
    \times b) + (a \times c) \] и \[ (b + c) \times a = b \times a + c \times a
    \] для всех $a, b, c \in R$.
\end{enumerate}

Кольцо называется \emph{кольцом с единицей}, если оно имеет мультипликативный
нейтральный элемент, обозначаемый 1, где $1 \neq 0$, такой, что
\begin{equation*}
  (\forall a \in R) \quad 1 \times a = a \times 1 = a
\end{equation*}

Кольцо называется коммутативным, если
\begin{equation*}
  (\forall a, b \in R) \quad a \times b = b \times a
\end{equation*}

Элемента $a$ кольца $R$ называется \emph{обратимым элементом}, если существует
элемент $b \in R$ такой, что $a \times b = 1$.

%% TODO: 4
4) \emph{Поля} --- это коммутативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые
элементы имеют мультипликативные обратные.

\emph{Характеристика} поля равна 0, если сумма $\underbrace{1 + 1 + \dots +
1}_{m \text{ раз}}$ не равна нулю для любого $m \geq 1$.

В противном случае характеристикой поля является наименьшее натуральное число
$m$ такое, что $\sum_{i = 1}^m 1 = 0$.

\begin{theorem}[Поле $\Z_n$] %$ NOTE: 10
  $\Z_n$ является полем (с обычными операциями сложения и умножения по модулю
  $n$) $\iff$ $n$ --- простое число. Если $n$ --- простое, то $\Z_n$ имеет
  характеристику $n$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[О характеристике поля]
  Если характеристика $m$ поля отлична от 0, то $m$ --- простое число.
\end{theorem}

Подмножество $F$ поля $K$ является \emph{подполем} $K$, если $F$ само является
полем по отношению к операциям $K$. В этом случае говорят, что $K$ является
\emph{расширением} поля $F$.

Определим квадратичный характер $\chi$ поля $K$:
\begin{equation*}
  \begin{cases} %% TODO: выражения
    \chi(a) = 1, &\text{если a --- квадратичный вычет в поле K} \\
    \chi(a) = -1, &\text{если a --- квадратичный невычет в поле K} \\
    \chi(0) = 0 &
  \end{cases}
\end{equation*}


5) Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, то \emph{полином} от
неопределённого $x$ над кольцом $R$ --- это выражение вида
\begin{equation*}
  f(x) = a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
\end{equation*}
где каждое $a_i \in R$ и $n \geq 0$. Элемент $a_i$ называется
\emph{коэффициентом} при $x_i$ в $f(x)$.

Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, кольцо полиномов $R[x]$ --- это
кольцо, образованное множеством всех полиномов от неопределённого $x$, имеющих
коэффициенты из $R$.

Две операции --- это стандартное полиномиальное сложение и умножение с
арифметикой коэффициентов, выполняемой в кольце $R$.

Элемент $\alpha \in R$ есть корень полинома $f(x) \in R[x] \iff (x - \alpha)
\mid f(x)$.

\emph{Кратностью корня} $\alpha \in R$ полинома $f(x) \in R[x]$ называют число
$k \in \N$ со свойствами
\begin{equation*}
  (x - \alpha)^k \mid f(x),\, (x - \alpha)^{k + 1} \nmid f(x),
\end{equation*}
и говорят, что $\alpha$ --- \emph{простой корень} $f(x)$, если $k = 1$, и
$\alpha$ --- \emph{кратный корень} $f(x)$, если $k > 1$.
