% Лекция 3 (18.09.23)

Пусть $R$ --- некоторое кольцо. Подмножество $I \subseteq R, I \neq
\varnothing$, называется \emph{правым идеалом}, если
\begin{enumerate}
  \item
    $I$ является подгруппой аддитивной группы $R$ (то есть для любых $a, b \in
    I$ выполняется $a + b \in I$);
  \item
    Для любых $x \in R$ и $a \in I$ выполняется $ax \in I$, то есть $Ix
    \subseteq I$.
\end{enumerate}

Аналогично определяется \emph{левый идеал}. Если идеал является одновременно
правым и левым, то его называют \emph{двусторонним идеалом} или просто
\emph{идеалом}. В коммутативных кольцах все идеалы двусторонние.

\begin{example}
  Если $r$ --- какой-то элемент из коммутативного кольца $R$, то множество $rR$
  всегда является идеалом в $R$. Говорят, что $rR$ --- \emph{главный идеал},
  порождённый элементом $r \in R$.
\end{example}

\paragraph{Векторные пространства} %% NOTE: 6

\emph{Векторным пространством} $V$ над полем $F$ называется абелева группа
$(V, +)$ вместе с операцией умножения $\cdot : F \times V \to V$ (обычно
обозначаемой сопоставлением) такой, что для всех $a, b \in F$ и $v, w \in V$
выполняются следующие аксиомы:
\begin{enumerate}
  \item $a (v + w) = av + aw$;
  \item $v (a + b) = av + bv$;
  \item $(ab)v = a(bv)$;
  \item $1v = v$.
\end{enumerate}

Элементы $V$ называются \emph{векторами}, а элементы $F$ называются
\emph{скалярами}. Групповая операция $+$ называется \emph{векторным сложением},
а операция умножения --- \emph{скалярным умножением}.

Пусть $S = \set{v_1, v_2, \dots, v_n}$ --- конечное подмножество векторного
пространства $V$ над полем $F$.

Линейная комбинация $S$ --- это выражение вида
\begin{equation*}
  a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n,
\end{equation*}
где каждое $a_i \in F$.

Множество $S$ \emph{линейно зависимо} над $F$, если существуют скаляры $a_1,
a_2,$ $\dots, a_n$, не все нули, такие, что
\begin{equation*}
  a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0
\end{equation*}

Если таких скаляров не существует, то $S$ \emph{линейно независимо} над $F$.

Пусть $V$ --- векторное пространство над полем $F$. Его (конечным)
\emph{базисом} называется такое множество $n$ векторов $v_1, \dots, v_n$, что
любой $w \in V$ однозначно представим в виде линейной комбинации
\begin{equation*}
  w = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n,
\end{equation*}
где $a_i \in F$.

\begin{theorem}[О базисе] %% NOTE: 12
  Пусть $V$ --- векторное пространство. Если существует один конечный базис $V$
  над $F$, то любой другой базис имеет то же число элементов.
\end{theorem}

Если векторное пространство $V$ имеет базис, то количество элементов в базисе
называется \emph{размерностью} $V$ и обозначается $\dim V$.

Если пространство не имеет конечного базиса, оно называется
\emph{бесконечномерным}.

\begin{example}
  Полиномы степени $\leq n$ над любым полем $F$ образуют $(n + 1)$-мерное
  векторное пространство над $F$ с базисом $1, x, x^2, \dots, x^n$ (базис
  не определяется однозначно, например, $1, 1 + x, 1 + x^2, \dots, 1 +
  x^n$ --- тоже базис). Коммутативное кольцо все полиномов $F[x]$ является
  бесконечномерным векторным пространством над полем $F$.
\end{example}

Пусть $K$ --- расширение поля $F$. Тогда $K$ можно рассматривать как векторное
пространство над подполем $F$, где векторное сложение и скалярное умножение ---
это операции сложения и умножения в поле $K$.

Это означает, что $(K, +)$ --- абелева группа и что определено умножение её
элементов на элементы $F$ (скаляры), подчиняющиеся тождествам
\begin{enumerate}
  \item $a (bv) = (ab) v$;
  \item $(a + b) v = av + bv$;
  \item $a (v + w) = av + aw$;
  \item $1v = v$.
\end{enumerate}
для всех $a, b \in F$ и $v, w \in K$.

Размерность этого векторного пространства называется \emph{степенью} $K$ над
$F$ и обозначается $[K: F]$. Если эта степень конечна, то $K$ называется
\emph{конечным расширением} F.

\begin{theorem}[О конечном расширении]
  Пусть $F, K, L$ --- поля. Если $L$ --- конечное расширение $K$ и $K$ ---
  конечное расширение $F$, то $L$ также является конечным расширением $F$ и
  \[ [L: F] = [L: K] [K: F] \]
\end{theorem}


\paragraph{Расширения полей.}

Пусть $F$ и $K$ --- два поля, причём $F \subset K (K / F)$. Поле $K$ называется
\emph{простым расширением} поля $F$, если существует такой элемент $a \in K$,
что $K = F(a)$ --- наименьшее подполе $K$, содержащее $F$ и $a$. Элемент $a$
называется \emph{примитивным элементом} расширения. Подполе поля $K$, отличное
от $K$, называется \emph{собственным полем}. \emph{Простым} называется поле, не
содержащее собственных полей.

Элемент $a \in K$ называется \emph{алгебраическим} над полем $F$, если он
удовлетворяет алгебраическому уравнению
\begin{equation*}
  f(a) = \sum_{k = 0}^n c_k a^k = 0,
\end{equation*}
где $c_0, \dots, c_n \in F$.

Полином $f(x)$ называется \emph{аннулирующим полиномом элемента $a$}.

Среди всех аннулирующих полиномов можно выбрать полином наименьшей степени
со старшим коэффициентом, равным единице. Такой полином называется
\emph{минимальным полиномом} элемента $a$ (минимальный полином неприводим, то
есть не разлагается в произведение полиномов меньшей степени).

Алгебраичность элемента измеряется размерностью подполя, которое он порождает.

Расширение полей $F \subset K$ называется \emph{алгебраическим}, если любой
элемент $a \in K$ алгебраичен над $F$. Коротко говорят, что расширение $K$
конечно (алгебраично) над $F$.

Итак, поле $F(a)$ содержит кольцо $R$ полиномов от переменной $a$ с
коэффициентами из $F$, $R = \set{\sum c_k a^k}$, $c_k \in F$.

Имеет место изоморфизм $R \cong F[x] / f(x)$, более того
\begin{equation*}
  F(a) = R \cong F[x] / f(x),
\end{equation*}
где $F[x]$ --- кольцо полиномов от одной переменной $x$, $x$ --- формальная
переменная, не имеющая отношения к полю $F(a)$, $a$ --- элемент поля $F(a)$,
$f(x)$ --- неприводимый над $F$ полином такой, что $f(a) = 0$.

Элемент $a$ удовлетворяет уравнению $f(a) = 0$, которое называется
\emph{уравнением, определяющим поле $F(a)$.}

Таким образом, любой элемент поля $F(a)$ в этом случае является полиномом. С
такими полиномами можно обращаться как с классами вычетов по модулю $f(x)$, то
есть степень каждого из них меньше степени полинома $f(x)$. Для некоторого
полинома $f(a) \in F[a]$ равенство $f(a) = 0$ эквивалентно сравнению $f(a)
\equiv 0 \pmod{f(a)}$.

\begin{example}
  Пусть $F = \set{0, 1}$. Построим алгебраическое расширение $F(t)$ степени 4.
  Выберем неприводимый полином вида $f(x) = x^4 + x + 1$. Обозначим корень
  этого полинома через $t$. Тогда $F(t) = F[t] / f(t)$.
\end{example}

Поле $K$ называется \emph{алгебраически замкнутым}, если любой полином из
$K[x]$ степени, большей нуля, имеет в $K$ корень, то есть любое алгебраическое
над полем $K$ число принадлежит этому полю (то есть любой полином из $K[x]$
раскладывается на линейные множители).

Поле $K \supset F$ называется \emph{алгебраическим замыканием} поля $F$, если
$K$ алгебраично над $F$ и алгебраически замкнуто.

\begin{theorem}[Об алгебраичности расширения конечной степени]
  Всякое расширение $F \subset K$ конечной степени алгебраично, то есть все
  элементы поля $K$ алгебраичны над полем $F$.
\end{theorem}
