% Лекция 4 (18.09.23)

\paragraph{Модель решётки.}

Пусть $X$ --- конечное множество. Бинарное отношение <<$\leq$>> на множестве $X$
называется \emph{отношением частичного порядка}, когда для любых $a, b, c \in X$
выполняются три свойства:
\begin{enumerate}
  \item рефлексивность: $a \leq a$;
  \item транзитивность: $(a \leq b, b \leq c) \implies (a \leq c)$;
  \item антисимметричность: $(a \leq b, b \leq a) \implies (a = b)$.
\end{enumerate}

Множество $X$ с заданной на нём частичной упорядоченностью называется
\emph{частично упорядоченным}.

Если $a, b \in X$ и $a \leq b$, то, в зависимости от обстоятельств, говорят,
что $a$ \emph{меньше или равно} $b$, $a$ \emph{содержится в} $b$, $a$
\emph{предшествует} $b$.

Для $a, b \in X$ элемент $c = a \oplus b \in X$ называется \emph{наименьшей
верхней гранью}, когда выполняются условия:
\begin{enumerate}
  \item $a \leq c, b \leq c$;
  \item для $d \in X$ истинно $(a \leq d, b \leq d) \implies (c \leq d)$.
\end{enumerate}

Для $a, b \in X$ элемент $c = a \otimes b \in X$ называется \emph{наибольшей
нижней гранью}, когда выполняются условия:
\begin{enumerate}
  \item $c \leq a, c \leq b$;
  \item для $d \in X$ истинно $(d \leq a, d \leq b) \implies (d \leq c)$.
\end{enumerate}

Для пары элементов частично упорядоченного множества $X$ не обязательно
существует наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань, но, если она
существует, то из антисимметричности следует её единственность.

Эти элементы называют также \emph{точными} (\emph{верхней} и \emph{нижней}
соответственно) \emph{гранями} подмножества $X^* \subseteq X$.

Пусть $X$ --- частично упорядоченное множество. $(X, \leq)$ называется
\emph{решёткой}, если каждое его конечное подмножество имеет точную нижнюю и
точную верхнюю грани, то есть, когда $\forall a, b \in X$ существуют
$a \otimes b \in X$ и $a \oplus b \in X$.

\begin{lemma} %% TODO: пронумеровать (лемма 1)
  Для любого набора $S = \set{a_1, a_2, \dots, a_n}$ элементов решётки $(X,
  \leq)$ существуют единственные элементы:
  \begin{itemize}
    \item
      $\oplus S = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n$ --- наименьшая
      верхняя грань $S$;
    \item
      $\otimes S = a_1 \otimes a_2 \otimes \dots \otimes a_n$ --- наибольшая
      нижняя грань $S$.
  \end{itemize}
\end{lemma}

Для решётки $(X, \leq)$ существует максимальный элемент $high = \oplus X$ и
минимальный элемент $low = \otimes X$.

\emph{Линейная решётка (линейная шкала)} из $n$ элементов --- это линейное
упорядоченное множество; можно всегда считать $X = \set{0, 1, \dots, n}$.

Как правило, решётки представляют с помощью ориентированных графов. При этом
вершинами графа являются элементы множества $X$, и если для $a_1, a_2 \in X$
справедливо неравенство $a_1 \leq a_2$, то в графе существует путь из $a_1$ в
$a_2$.

Частным важным случаем решёток является \emph{решётка подмножеств некоторого
конечного множества $U$}. Пусть $U$ --- конечное множество, $X = 2^{U}$ ---
множество всех подмножеств множества $U$. Определим решётку $(X, \leq)$ с
бинарным отношением частичного порядка <<$\leq$>>, где для $a, b \subseteq U$,
$a, b \in X$ выполняется условие: $a \leq b \iff a \subseteq b$. При этом $a
\oplus b = a \cup b,\, a \otimes b = a \cap b$.

Пусть $(L, \leq)$ --- линейная решётка, $(X, \leq)$ --- решётка подмножеств $U$.
Определим \emph{решётку многоуровневой безопасности} $(X \times L, \leq)$ с
бинарным отношением частичного порядка <<$\leq$>>, где для $(a, \alpha),
(b, \beta) \in X \times L$ выполняется условие: $(a, \alpha) \leq (b, \beta)
\iff a \subseteq b, a \leq b$.

При этом
\begin{align*}
  (a, \alpha) \oplus (b, \beta) &= (a \cup b, \max\set{\alpha, \beta}) \\
  (a, \alpha) \otimes (b, \beta) &= (a \cap b, \min\set{\alpha, \beta}) \\
\end{align*}

На практике при использовании решёток многоуровневой безопасности решётка
$(L, \leq)$ является линейной шкалой уровней конфиденциальности, а $(X, \leq)$
--- решёткой подмножеств множества неирархических категорий информации.