% Лекция 5 (25.09.23)

%% NOTE: 8
\paragraph{Конечное поле} --- это поле $F$, содержащее конечное число элементов.

\begin{theorem}[Существование и единственность конечных полей]
  \begin{enumerate}
    \item
      Если $F$ --- конечное поле, то $F$ содержит $p^m$ элементов для некоторого
      простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$.
    \item
      Для каждого простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$ существует
      единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле порядка $p^m$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

Конечное поле порядка $p^m$ обозначается $\FF_{p^m}$ или $GF(p^m)$ и
называется \emph{полем Галуа}. Заметим, что если $p$ --- простое число, то
$\Z_p$ --- поле, а значит, каждое поле порядка $p$ изоморфно $\Z_p$.

\begin{theorem}[О свойствах поля $\mathbb{F}_q$]
  Если $\FF_q$ --- конечное поле порядка $q = p^m$, $p$ --- простое число,
  то характеристикой $\FF_q$ является $p$. Более того, $\FF_q$ содержит в
  качестве подполя простое поле $\FF_p = \Z_p$. Следовательно, $\FF_q$ можно
  рассматривать как расширение поля $\Z_p$ степени $m$.
\end{theorem}

Группа ненулевых элементов $\FF_q$ обозначается $\FF^*_q$.
\emph{Образующий элемент $g$} конечного поля $\FF_q$ есть элемент порядка $q -
1$.

\begin{theorem}[О циклической группе $\FF_q$]
  Каждое конечное поле имеет образующий элемент. Если $g$ --- образующий элемент
  $\FF^*_q$, то $g^j$ также является образующим элементом $\iff \gcd(j, q - 1) =
  1$. Таким образом, всего имеется $\varphi(q - 1)$ различных образующих
  элементов $\FF^*_q$, где $\varphi$ --- функция Эйлера.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Единственность конечного поля порядка $q = p^f$]
  Если $\FF_q$ --- поле из $q = p^f$ элементов, то каждый элемент удовлетворяет
  уравнению $x^q - x = 0$, а $\FF_q$ --- это в точности множество корней этого
  уравнения.

  Обратно, для каждой степени простого числа $q = p^f$ поле разложения над
  $\FF_p$ многочлена $x^q - x$ является полем из $q$ элементов.
\end{theorem}

Пусть $K$ --- расширение степени $n$ конечного поля $F = \FF_p$. \emph{След
элемента $x \in K$} в поле $F$ определяется как сумма
\begin{equation*}
  Tr(x) = x + x^p + \dots + x^{p^{n - 1}}
\end{equation*}

\begin{theorem}[След элемента]
  След $Tr$ является гомоморфизмом аддитивных групп $K \to F$.
\end{theorem}

%% NOTE: 9
\paragraph{Логарифмирование.}

Наличие в конечном поле примитивного элемента $a$ позволяет ввести понятие
логарифма для ненулевых элементов этого поля. Пусть $G$ --- конечная
мультипликативная группа. \emph{Задача дискретного логарифмирования} состоит в
решении при заданных $a, b \in G$ уравнения \[a^x = b\] относительно целого $x$,
$0 \leq x < n = \text{ord } a$.

Решение $x$ называется \emph{дискретным логарифмом}, или \emph{индексом}, $b$
по основанию $a$ и обозначается $\text{ind}_a b$.

\emph{Примечание} --- Когда групповая операция в $G$ записывается аддитивно, то
рассматривается уравнение $xa = b$.

По сути, \emph{эллиптическая кривая над конечным полем} --- это конечная абелева
группа, в которой можно ставить задачу о вычислении дискретных логарифмов.

\subsection{Введение в эллиптические кривые}

\paragraph{Аффинные алгебраические многообразия, проективная плоскость.}

Пусть $F$ --- поле, $F^*$ --- множество обратимых элементов поля $F$.

\emph{Аффинным $n$-мерным пространством $A^n(F)$} над $F$ называется множество
точек \[\set{P = (x_1, \dots, x_n)} \in F^n\] значения $x_1, \dots, x_n$
называются \emph{аффинными координатами}.

\emph{Аффинное алгебраическое многообразие (множество) $V$} --- это подмножество
аффинного пространства, на котором обращаются в нуль полиномы $f_1, \dots, f_k
\in F[x_1, \dots, x_n]$:
\begin{equation*}
  V = \set{P \in F^n | f_1(P) = 0, \dots, f_k(P) = 0}
\end{equation*}

В случае $n = 2$ аффинное пространство называется \emph{аффинной плоскостью}, а
алгебраическое многообразие, идеал которого образован одиночным полиномом, ---
(плоской) \emph{алгебраической кривой}.

Степень полинома, задающего кривую, называется \emph{степенью кривой}.

\emph{Неприводимая алгебраическая кривая} задаётся неприводимым (над алгебраическим
замыканием $\overline{F}$ поля $F$) полиномом из кольца $F[x, y]$.

\begin{example}
  Алгебраическая кривая, заданная полиномом
  \begin{equation*}
    f(x, y) = (xy + 1)(x^2 + y^2 + 1)
  \end{equation*}

  Полином $f(x, y)$ раскладывается на множители, поэтому алгебраическая кривая
  является объединением кривых
  \begin{equation*}
    xy + 1 = 0 \land x^2 + y^2 + 1 = 0
  \end{equation*}

  Вместо этой кривой можно рассмотреть две более простых алгебраических кривых,
  задаваемых неразложимыми делителями левой части уравнения. Таким образом,
  изучение алгебраической кривой сводится к изучению её подмножеств, задаваемых
  нулями неприводимых полиномов.
\end{example}

Алгебраическую кривую $E$, заданную уравнением с коэффициентами из поля $F$,
будем обозначать $E/F$; алгебраическую кривую, точки которой лежат в $F^2$,
будем обозначать $E(F)$.

Даже если уравнение $f(x, y) = 0$, задающее кривую $E$, имеет коэффициенты
из простого поля $F$, множество решений этого уравнения (и, соответственно,
множество точек кривой) может рассматриваться над расширением поля $F$,
например, над его алгебраическим замыканием.

\emph{Аффинная прямая $A^1(F)$} над полем $F$ представляет собой поле $F$.

\emph{Проективной прямой $P^1(F)$} над полем $F$ называется множество пар
\begin{equation*}
  \set{X, Y} \in F^2 \backslash (0, 0)
\end{equation*}
с эквивалентностью $(X, Y) \equiv (aX, aY)$, если $a \in F^*$.

Если $Y \neq 0$, то каждая точка $(X, Y) \in P^1(F)$ эквивалентна точке $(x,
1)$ аффинной прямой: просто полагаем $x = X / Y$. Но на проективной прямой есть
точка вида $(X, 0)$, соответствующая аффинной точке.

Эта точка $P_\infty$ называется \emph{бесконечно удалённой}. Поэтому
\begin{equation*}
  P^1(F) = A^1(F) \cup \set{P_\infty}
\end{equation*}

\emph{Проективной плоскостью} $P^2(F)$ над полем $F$ называется множеством троек
\begin{equation*}
  \set{X, Y, Z} \in F^3 \backslash (0, 0, 0)
\end{equation*}
с эквивалентностью $(X, Y, Z) \equiv (aX, aY, aZ)$, если $a \in F^*$. Здесь
$X, Y, Z$ --- проективные координаты.

Свяжем аффинную плоскость с проективной. Полагая
\begin{equation*}
  x = \frac{X}{Z}, y = \frac{Y}{Z}, Z \neq 0,
\end{equation*}
получаем биекцию между множеством точек $(x, y)$ аффинной плоскости и
подмножеством точек $(x, y, 1)$ проективной плоскости.

Однако на проективной плоскости есть точки с нулевой $Z$-координатой, которые не
соответствуют никаким точкам аффинной плоскости.

Тем самым проективную плоскость можно представить как объединение всех точек
$(x, y)$ обычной (<<аффинной>>) плоскости с точками, для которых $Z = 0$.
