% Лекция 7 (09.10.23)

\paragraph{Нормальные формы эллиптической кривой, дискриминант и $j$-инвариант.}

\emph{Эллиптическая кривая} --- это пара $(E, P_\infty)$, где $E$ --- гладкая
кубическая кривая и $P_\infty \in E$. Существуют наиболее употребительные
(нормальные) формы уравнения эллиптической кривой, получаемые линейной заменой
переменных. Большинство из них являются частными случаями \emph{обобщённой
формы Вейерштрасса}, содержащей единственную бесконечно удалённую точку, которая
является точной перегиба, а бесконечно удалённая прямая является касательной в
этой точке.

\emph{Эллиптическая кривая} $E$ записывается \emph{уравнением Вейерштрасса} вида
\begin{equation}
  y^2 + a_1 x y + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6
  \label{eq:weierstrass}
\end{equation}

Если $a_1, a_2, a_3, a_4, a_6 \in F$, то говорят, что $E$ определена над $F$.

%% TODO: Примечание
Заметим, что в уравнении (\ref{eq:weierstrass}) нет коэффициента $a_5$. Это
объясняется тем, что индексы коэффициентов имеют следующий смысл. Видим, что
$y = x^\frac{3}{2} + o(x)$. Сделав замену
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    x = t^2 + o(t) \\
    y = t^2 + o(t)
  \end{cases}
\end{equation*}
можно переписать (\ref{eq:weierstrass}) в виде
\begin{equation*}
  t^6 + a_1 t^5 + a_3 t^3 = t^6 + a_2 t^4 + a_4 t^2 + a_6
\end{equation*}
%% END

Для обозначения эллиптической кривой используют запись $E$ или $E/F$, чтобы
подчеркнуть, что кривая определена над $F$.

Точки, лежащие на эллиптической кривой, являются решениями $(x, y) \in F^2$
уравнения (\ref{eq:weierstrass}) (это так называемые \emph{аффинные точки});
единственную, лежащую на $E$ (в проективной плоскости), точку на бесконечности,
в дальнейшем будем обозначать $\mathcal{O}$.

Если $K$ --- некоторое расширение поля $F$, то $E(K)$ обозначает множество
точек $(x, y) \in K^2$, которые удовлетворяют (\ref{eq:weierstrass}), их
называют $K$-рациональными вместе с точкой $\mathcal{O}$

Для того, чтобы кривая (\ref{eq:weierstrass}) была эллиптической, она
должна быть гладкой. Это означает, что не существует подходящих $(x, y)
\in E(\overline{F})$, где $\overline{F}$ --- алгебраической замыкание $F$,
удовлетворяющих двум уравнениям
\begin{align*}
  a_1 y &= 3x^2 + 2a_2 x + a_4, \\
  2y + a_1 x + a_3 &= 0.
\end{align*}

\emph{Дискриминантом} уравнения Вейерштрасса является величина
\begin{equation*}
  \Delta = -b_2^2 b_8 - 8 b_4^3 - 27 b_6^2 + 9 b_2 b_4 b_6,
\end{equation*}
где
\begin{align*}
  b_2 &= a_1^2 + 4 a_2, \\
  b_4 &= 2 a_4 + a_1 a_3, \\
  b_6 &= a_3^2 + 4 a_6, \\
  b_8 &= a_1^2 a_6 + 4 a_2 a_6 - a_1 a_3 a_4 + a_2 a_3^2 - a_4^2. \\
\end{align*}

В случае $\Delta \neq 0$ $j$-инвариантом эллиптической кривой $F$ называется
величина
\begin{equation*}
  j(E) = \frac{c_4^3}{\Delta},
\end{equation*}
где $c_4 = b_2^2 - 24 b_4$.

%% TODO: теорема 20
\begin{theorem}[Критерий гладкости кривой, заданной уравнением Вейерштрасса]
  Кривая $E$, заданная уравнением Вейерштрасса (\ref{eq:weierstrass}), гладкая
  $\iff \Delta(E) \neq 0$.
\end{theorem}

Будем рассматривать только гладкие кубические кривые. Две эллиптические кривые
$E$ и $\widetilde{E}$ над полем $F$, заданные уравнениями
%% TODO: дописать

Эллиптические кривые, заданные над полем $F$, могут быть не изоморфными над
этим полем, но могут стать изоморфными над расширением.

\begin{theorem}[Критерий изоморфности эллиптических кривых] %% NOTE: 21
  Две эллиптические кривые $E_1$ и $E_2$ изоморфны над $\overline{F} \iff
  j(E_1) j(E_2)$.
\end{theorem}

%% TODO: ссылка на уравнение (3)
Замена переменных (3) в уравнении (\ref{eq:weierstrass}) называется
\emph{допустимой}. Это преобразование обратимо и обратное преобразование также
допустимо. Кроме того, допустима тождественная замена переменных, поэтому
всякая эллиптическая кривая изоморфна сама себе.

Композиция допустимых преобразований также является допустимой. Таким образом,
изоморфизм эллиптических кривых является отношением эквивалентности, и
множество эллиптических кривых разбивается на классы эквивалентных, причём
каждый класс эллиптических кривых, изоморфных над алгебраическим данного поля,
однозначно определяется величиной $j$-инварианта.

\begin{theorem}[Об изоморфных эллиптических кривых над полем характеристики 2]
  Всякая эллиптическая кривая над полем характеристики 2 изоморфны некоторой
  эллиптической кривой одного из следующих видов:
  \begin{equation}
    y^2 + xy = x^3 + b_2 x^2 + b_6
    \label{eq:char2_1}
  \end{equation}
  или
  \begin{equation}
    y^2 + b_3 y = x^3 + b_4 x + b_6
    \label{eq:char2_2}
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Пусть $F$ --- поле характеристики 2, $E$ --- эллиптическая кривая, заданная
  уравнением (\ref{eq:weierstrass}).

  Если $a_1 \neq 0$, то произведём в (\ref{eq:weierstrass}) замену переменных
  \begin{equation*}
    (x, y) \mapsto (a_1^2 x + a_1^{-1} a_3, a_1^3 y),
  \end{equation*}
  получим
  \begin{align*} %% TODO: сделать красиво
    &(a_1^3 y)^2 + a_1 (a_1^2 x + a_1^{-1} a_3) a_1^3 y + a_3 a_1^3 y = \\
    &= (a_1^2 x + a_1^{-1} a_3)^3 + a_2 (a_1^2 x + a_1^{-1} a_3)^2 + a_4 (a_1^2 x
    + a_1^{-1} a_3) + a_6, \\
    &a_1^6 y^2 + a_1^6 xy + a_1^3 a_3 y + a_1^3 a_3 y = \\
    &= (a_1^4 x^2 + 2 a_1^2 x a_1^{-1} a_3 + a_1^{-2} a_3^2)(a_1^2 x + a_1^{-1}
    a_3 + a_2) + a_1^2 a_4 x + a_1^{-1} a_4 a_3 + a_6,\\
    &a_1^6 y^2 + a_1^6 xy = \\
    &= a_1^6 x^3 + a_1^3 a_3 x^2 + a_1^4 a_2 x^2 + a_3^2 x +
    a_1^{-3} a_3^3 + a_1^{-2} a_2 a_3^2 + a_1^2 a_4 x + a_1^{-1} a_4 a_3 + a_6,\\
    &a_1^6 y^2 + a_1^6 xy =\\
    &= a_1^6 x^3 + (a_1^3 a_3 + a_1^4 a_2) x^2 + (a_3^2 + a_1^2 a_4) x +
    a_1^{-3} a_3^3 + a_1^{-2} a_2 a_3^2 + a_1^{-1} a_4 a_3 + a_6.
  \end{align*}

  Получим, что данная замена переводит $E$ в кривую
  \begin{equation}
    y^2 + xy = x^3 + \widetilde{a}_2 x^2 + \widetilde{a}_4 x + \widetilde{a}_6
    \label{eq:char2_tmp1}
  \end{equation}

  Произведём в (\ref{eq:char2_tmp1}) замену переменных $(x, y) \mapsto (x, y +
  \widetilde{a}_4)$:
  \begin{align*}
    y^2 + \widetilde{a}_4^2 + xy &= x^3 + \widetilde{a}_2 x^2 + \widetilde{a}_6, \\
    y^2 + xy &= x^3 + \widetilde{a}_2 x^2 + (\widetilde{a}_6 - \widetilde{a}_4^2).
  \end{align*}

  Получим, что данная замена переводит кривую (\ref{eq:char2_tmp1}) в кривую
  (\ref{eq:char2_1}).

  Если $a_1 = 0$, то замена переменных $(x, y) \mapsto (x + a_2, y)$ переводит
  $E$ в кривую вида (\ref{eq:char2_2}).
\end{proof}

%% TODO: 23
\begin{theorem}[Об изоморфных эллиптических кривых над полем характеристики $\neq 2$]
  Всякая эллиптическая кривая над полем характеристики $\neq 2$ изоморфна
  некоторой эллиптической кривой вида
  \begin{equation}
    y_2 = x^3 + b_2 x^2 + b_4 x + b_6.
    \label{eq:isom_neq2}
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Пусть $F$ --- поле характеристики $\neq 2$, $E$ --- эллиптическая кривая,
  заданная уравнением (\ref{eq:weierstrass}).

  Сделаем замену переменных
  \begin{equation*}
    (x, y) \mapsto (x, y - \frac{a_1}{2} x - \frac{a_3}{2}),
  \end{equation*}
  получим
  %% TODO: дописать eq1

  Таким образом, получили, что данная замена переводит кривую $E$ в кривую
  (\ref{eq:isom_neq2}).
\end{proof}
